《新高考数学一轮复习讲义：导数及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学一轮复习讲义：导数及其应用.pdf（100页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、新高考数学一轮复习讲义：导数及其应用3.1 导数的概念及运算 考试要求1 .通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率.了解导数概念的实际背景.2 .通过函数图象，理解导数的几何意义.3 .了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5 .能求简单的复合函数(形如F(ax+6)的导数.【知识梳理】1 .导数的概念一般地,函数y=f(x)在 处 的 瞬 时 变 化 率 是!如 四我们称它为函数 尸“在 x=总处的导数，记 作/(%)或 y，即f(%)=l i m?-式 一 7)A A-0 A xf A o+X -f X o=l i
2、m-;-.ALO X(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,6)内的每一点处都有导数，其导数值在(a,6)内构成一个新函数，这个函数称为函数尸f(x)在开区间(a,6)内的导函数.简称导数，记 作，(x)或y.2 .导数的几何意义函数y=f(x)在 x=*(,处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点尸(的，(木)处的切线的斜率，相应的切线方程为y/5)=F (电)迎).3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c 为常数)f(%)=0f(x)Xa(6 7 e Q,a K O)f(x)=q/Tfx =si n xf1(x)=c o s Xf(x)=c o s Xf(x)=si
3、 n xf(x)=a(a 0 且f(x)=a n aftx)=e*f(x)=/(x)=log4(a0 且 aWl)f (x)=xln af(x)=ln xf (x)X4.导数的运算法则若f (x),H(x)存在，则有f(x)g(x)=r (x)g(x)；Ax)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x)；c f(x)r =cf(*).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y=f(力 和 U=g(x),如果通过中间变量u,y 可以表示成X的函数，那么称这个函数为函数尸f(u)与 u=g(x)的复合函数，记 作 尸/(g(x).复 合 函 数 y=f(g(x)的 导 数 和 函 数
4、 y=式励，u=g(x)的 导 数 间 的 关 系 为/,=y g ，,即 y 对 x 的导数等于y 对的导数与u 对 x 的导数的乘积.【思考】1.根 据，(x)的几何意义思考一下，随着(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提 示 I，(x)l越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.2.函 数 f(x)在点一处的切线与函数f(x)过点尸的切线有什么区别？提示 在 点 P 处的切线，点户一定是切点；过点厂的切线，点户不一定是切点.【基础自测】题 组 一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(X)f (荀)=(荀).(X
5、)(3)f(x)在某点处的切线与/(x)过某点处的切线意义相同.(X)若/(才)=2”,则/(x)=x 2(x)题 组 二 教材改编2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是尔力)=1 0 4.9 1 +8 t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5 秒时的瞬时速度为()A.9.1 米/秒 B.6.75 米/秒C.3.1 米/秒 D.2.75 米/秒答 案 c解析 h1(f)=-9.8r+8,：.h(0.5)=-9.8 X 0.5+8=3.1.3.已知函数 F(x)=xln x+a V+2,若/(e)=0,贝 ij a=.答 案 e解析 f (x)=l+ln x+2ax,
6、：.f(e)=2ae+2=0,A a=-.4.函 数 f(x)=e+l在 x=l 处的切线方程为X-答案 尸(el)x+2解析 f (x)=e-：,：.ff(l)=e-l,又 A D =e+L 切点为(1,e+1),切线斜率A=/(l)=e-l,即切线方程为y-(e+1)=(e-D(x-l),即 y(el)x+2.题 组 三 易错自纠5.已知函数/(x)=xcos x+asin x 在 x=0 处的切线与直线3xy+l=0 平行，则实数a的值为.答 案 2解析 ff(x)=cos x+x (sin x)+acos x=(l+a)cos x-x s in x,:f(0)=l+a=3,.a=2.6
7、.已知函数/X x)=ln(32 x)+e 2 T,则，J)=.2答 案-+2e2-32x3解析 f (3-2X)Z+e 2 i (2 x-3)32x题 型 一 导数的运算1 .（多选）下列求导运算正确的是（）(s in a)=cos a(a 为常数)(s in l x)=2 cos 2x(e,In x+2 f)e-F 4%答 案 B C D解 析 为 常 数，s in a 为常数，/.（s in a）=0,故 A错误.由导数公式及运算法则知B,C,D正确，故选B C D.ein v2 .已知函数人=2一-+7,则/（力=cos X X -s in x cos x-s in x cos x3
8、.已知函数/(x)=In(2 x 3)+己 9-,若 尸(2)=1,贝！J a=,答 案 e2解析 f(x)=丁 二 (2%3)+ae、+ax (e.)2 x 3:.f(2)=2+非 一 2 2 把 一 2 =2 一兆一2 =1,则 a=e2.4 .已知函数/(x)的导函数为/(x),f(x)=2-3x ff(l)+ln x,则 F(l)=.7答案一彳解 析.()=2/3/(l)+ln x,(x)=4 x 3 F (1)+-,将 x=l 代入，5得/=4-3/+1,得/=；.f(x)=2 x%+ln x、思 维 升 华(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避
9、免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错.(2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幕，再求导.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.题型二导数的几何意义命题点1 导数与函数图象例 1 (1)已知函数y=F(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=F(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答 案 B解 析 由 尸 (x)的图象是先上升后下降可知，函 数 尸 F(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y=f(x)是可导函数，如图，直 线 y=4 x+2 是曲线y=f(x)在 x=3处的切线，令g(x)=x f(x),g (x)是 g(x)的导函
10、数，则 g (3)=.答 案 0解析 由题图可知曲线片/X x)在 x=3处切线的斜率等于一，(3)=一；.O O；以 力=(力，二 川(x)=f(x)+x f(%),.g =f(3)+3 f(3),又由题图可知A 3)=l,.g =1 +3*卜；)=0.命题点2 求切线方程例 2 (1)函数f(x)=x -2/的图象在点(1,F(D)处 的 切 线 方 程 为()A.y=-2 x 1 B.y=2x+lC.y=2 x 3 D.y=2 x+l答 案 B解析 f(l)=1 -2=1,切点坐标为(1,1),f(x)=4，-6/,所 以 切 线 的 斜 率 为(l)=4 X 1 3-6 X 1 2 =
11、-2,切线方程为 y+l=-2(x 1),即 y=2 x+l.(2)已知函数/(x)=x lnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=F(x)相切，则直线/的方程为.答案 x-y-l=0解 析 ：点(0,-1)不在曲线f(x)=x ln x上，.设切点为(照，必).又,：F(x)=l+lnx,.直线/的方程为y+1=(1 +In xa)x.,jb=A bln Ab,r，由，解 得-)=1 ,必=0.必+1=1 +ln x x ,直线/的方程为y=x 1,即 x y 1=0.命题点3 求参数的值(范围)例 3 (1)已 知曲线尸ae+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2 x+6,
12、则()A.a e,b l B.a e,b1C.a e,b I).a=e，b 答 案 D解析 因为 _/=ae+ln x+1,所以 y|*=i=ae+l,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y ae=(ae+1)(x 1),即 y=(ae+l)x 1,ae+l=2,a e,所 以，解 得，b 1,1 6=-1.(2)若函数f(x)=ln*+2/-ax 的图象上存在与直线2 x y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是答 案 2,+8)解析 直线2 x y=o 的斜率=2,又曲线A x)上存在与直线2 x-y=0平行的切线，：.f(x)=1+4 x a=2 在(0,+8)内有解，X则 a=4x+
13、-2f x 0.x又Ax+2j4x ：=4，当且仅当时取.a4-2=2.的取值范围是 2,+8).思 维 升 华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上：切点在曲线上.(2)注意区分“在点一处的切线”与“过 点 P处的切线”：在“点尸处的切线”，说明点P为切点，点 P既在曲线上，又在切线上；“过 点。处的切线”，说明点P 不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上.跟 踪 训 练(1)已知曲线/(才)=炉一*+3在点一处的切线与直线x+2 y-l=0 垂直，则尸点的 坐 标 为()A.(1,3)B.(-1,3
14、)C.(1,3)或(一 1,3)D.(1,-3)答 案 C解 析 设 切 点 P(荀，),f(x)=3 f 1,又直线A-+2/-1=0的斜率为一；，：.f(荀)=3/1=2,/.Ao=l,Ab=i 1,又切点%)在y=F(x)上，切=京一施+3,当照=1 时，Jb =3;当 Ab=-1 时，外=3.切 点。为(1,3)或(一1,3).V 1(2)函 数 尸 一 在 点(0,1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()D1-2C1-4R1-8九答 案 Bx 1解 析.,尸F T，x+1,x+1-x 1 2=x+i ”:k=y|A.=0=2,切线方程为y+l=2(x0),即y=2x,令%=0
15、,得 y=-1；令 y=0,得 x=g.故所求的面积为g x IX(3)已知曲线f(x)=e-2 e+ax-l 存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是()A.(3,B.(3,+8)C.(-8,9 D.(0,3)答 案 A解析 f(x)=2 e-2 e +a,依题意知f (x)=3有两个实数解，即 Ze 2 e +a=3 有两个实数解，即 a=-2 e2 l+2 e,+3有两个实数解，令 t=e,：.t 0,a=-212+2 +3(t 0)有两个实数解，.尸a 与 0(=-2产+2 二+3(0 0)的图象有两个交点,0(0=-2 +2 +3 =2 1 一；)+(*.*to,又 0(0)=
16、3,7故 3 ax2=6-西，J (%)=i -Fl+41n%(x0),x x2 2 40|(x)=7 H-一x x x_ 4 r-2 x-232 2 x+1 x 1当 xW(0,1)时，O (x)0,当 xC(l,+8)时，(x)0,0(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，0 (X)*M=0 (1)=4,又 X f +8时，0(X)f +8,故 O(x)的值域为 4,+8),所 以 4 a 2 4,即 a2 l,故实数a 的取值范围是 1,+8).课时精练【基础保分练】1.下 列 求 导 运 算 正 确 的 是()G9=i+%C.(5)=5l o g 5X答 案 BB.(l
17、 o g)D.(j f co s x)f=2xs i n x解 析(1。叱)=康,故 B正确.1 21n x2.曲线/U)=在点。(1,7 U)处的切线/的方程为()XA.x+y 2=0 B.2x+y3=0C.3%+y+2=0 D.3 x+y-4=0答 案 D.、，z、121n x.-3+21n x解析 因为(*)=-,所 以 f (x)=-：.X X又 f(l)=l,且 f(1)=-3,故所求切线方程为y1=3(x1),即 3 x+y4=0.3 .已知函数f(x)=；*+co s x,则其导函数F (x)的图象大致是()(*)为奇函数，排除B,D,(J I、J T J I J I 1 司=T
18、 s m T=72 2r (2)B.f(3)r (3)D.A3)-r(2)r (3)0,故 A 错误，B正确.设 4(2,f(2),6(3,A3),f Q f 9则/(3)f(2)=,=媪,由 图 知 产 (2),即 1(3)/(3)-r(2)0,即 452+4S+1 0,所以 a W 所 以a的取值范围为(一8,g)u(3，+j.1 2.设函数f(x)=a 2曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7 x 4 y 1 2=0.X 求 欢 的解析式;(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.7解 方 程7 x 4 y 1 2=0
19、可化为尸尸一3,当x=2时，尸;.又因为F (x)=a+2,X解得5=1,b=3 3所以 f(x)=x-.x3设夕(刘，珀 为 曲 线y=F(x)上任一点，由/=l+w知曲线在点照，处的切线方程x为 y%=(1+斗(x-两)，即 y(蜀一。)=(1+与(*一两).k x j x j x j令%=0,得y=一士 所以切线与直线x=0的交点坐标为(0,令y=x,得y=x=2粉所以切线与直线y=X的交点坐标为(2%,2冬).所 以 曲 线 尸f(x)在 点P5,必)处的切线与直线x=o和y=所围成的三角形的面积s=；6 .-|2的|=6.吊故 曲 线 尸 f（x）上任一点处的切线与直线x=0 和 尸
20、 x所围成的三角形面积为定值，且此定值 为 6.【技能提分练】13.已知(x)=sin x+cos x,+i(x)是(x)的导函数，即 五(x)=(x),(x)=(x),，+i(x)=(x),6N*,则。2 式 等于()A.-sin%-cos x B.sin x-cos xC.sin x+cos x D.sin x+cos x答 案 C解析 f (x)=sin x+cos x,(x)=cos x-sin x,_fi(x)=E(x)=-sin x-cos x,(公=/(x)=-cos x+sin x,(x)=(必=sin x+cos x,(x)的解析式以4 为周期重复出现，V2 02 2 =4
21、X5 05+2,6 0 2 2(x)=(x)=cos x-sin x.故选C.1 4.已知函数/（x）=x+,若曲线y=f（x）存在两条过（1,0）点的切线，则 a的取值范围是.答案（一8,-2）U （0,+8）解 析 f（x）=l 9，2.x设切点坐标为（新，照+支），.切线的斜率k=F （即）=1 9，2 Ao切线方程为尸-（扬+）=（1 一 盘（入 一 刘），又切线过点（1,0）,即一（司+总=（1 一 舟（1 一8）整理得 2 x：+2 a x o a=0,.曲线存在两条切线，故该方程有两个解，4=4 a2-8(-a)0,解 得 a0或 a 一 2.【拓展冲刺练】1 5.已知曲线F(x
22、)=x：+a x+；在 x=0 处的切线与曲线g(x)=-In x 相切，则 a 的值为.3答 案 一 一解析 f (x)=3 f+a,/.f (0)=a,又 AO)=；，f(x)在 x=0 处的切线方程为y；=a(x 0),即 y=ax+；,故 与 g(x)=In x 相切，设切点坐标为(两，为)，又 g(x)=一士x(1a=-,3=e4,A b%=In Ab,解得%;_3yQ=ax0+-9a=_3-e 11 6.已知函数f(x)2/+3x(*G R)的图象为曲线C.(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线。上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的
23、取值范围.解(D 由题意得，(x)=f-4 x+3,则 f (才)=(2)2一1-1,即曲线，上任意一点处的切线斜率的取值范围是 1,+8).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k#O),产T,则由题意并结合(I)中结论可知，1，解得一1 旅0 或则一 1 W/4 X+一 产-13 0f(x)在(a,6)上单调递增f(x)0 在(a,6)上成立”是“f(x)在(a,6)上单调递增”的什么条件？提示 若/(X)在(a,6)上单调递增，则 F (x)0,所以(x)0 在(a,上成立”是“f(x)在(a,6)上单调递增”的充分不必要条件.2 .若函数f(x)在区间(a,6)上存在递增区间，则在区
24、间(a,份上，(x)应满足什么条件？提示 若/J)在(a,3上存在递增区间，则当x w(a,6)时，/(x)0 有解.基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X ”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有 (x)=0,则/X x)在此区间内没有单调性.(V)在(a )内/(x)WO 且 f (x)=0 的根有有限个，则 f(x)在(a )内单调递减.(V)(3)若函数f(x)在定义域上都有产(x)0,则/(x)在定义域上一定单调递增.(X )(4)函数f(x)=x s i n x在 R上是增函数.(V)题 组 二 教材改编2.如图是函数尸F(x)的导函数(x)的图
25、象，则下列判断正确的是()A.在区间(一2,1)上/1(x)单调递增B.在区间(1,3)上 f(x)单调递减C.在区间(4,5)上/(X)单调递增D.在区间(3,5)上 f(x)单调递增答 案 C解析 在(4,5)上/(%)0恒成立，.()在区间(4,5)上单调递增.3.函数y=x c os A-s i n x在下面哪个区间上单调递增()A-I T )B.(n,2 n)C.(等,D.(2 n ,3 n )答 案 B解析 y=x s i n x,经验证，4个选项中只有在(灭，2 )内 0 恒成立，.*.y=x c os x-s i n x在(n,2 n)上单调递增.4.函数Ax)=(x 2)e”
26、的 单 调 递 增 区 间 为.答 案(1,+8)解 析 f(x)的定义域为R,f (x)(%l)e 令 f(x)=0,得 x=l,当 x d(l,+8)时，f(才)0；当 x G(8,1)时，f(%)0)在2,+8)上单调递增，则 a 的 取 值 范 围 是.X答 案(0,22解 析 方 法 一 由 V=1 2 0，得 xW a 或x：.y=x-的单调递增区间为(一 8,一 司，a 4-oo).x函数在2,+)上单调递增,.2,+8)q 8 +8),.aW2.又 a0,A0a2.2 2方法二/依题意知1一号2 0 在 x G +8)上恒成立，即 a2W/恒成立，x x：x 2,+8),.a
27、V 4,又 a 0,：.0a 2.题型一不含参的函数的单调性1.函数f(x)=*21n x 的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+0)C.(一8,1)D.(-1,1)答 案 A解 析,:f (X)=2-=2-1二 g o),X X令 f(x)=0,得 x=l,.当 XG(O,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.2.函数f(x)=x+2 S 的单调递增区间是()A.(0,1)B.(-8,1)C.(一8,0)D.(0,+8)答 案 C解 析 f(x)的定义域为(-8,1,f(x)=1-J,令 F(%)=0,得 x=0.N l-x当 O K1 时，f(x)0.的单调递增区间为(-8,o),
28、单调递减区间为(0,1).3.已知定义在区间(0,人)上的函数f(x)=x+2cos x,则 f(x)的单调递增区间为解析 f(x)=1 2 s i n x、(0,n ).令 f1(x)=0,得 户微或 x=够，6 6当 0 0,6当时，f(刈，6 65 n当 七Xo,6在(o,和(-，n)上单调递增，在(石，4上单调递减.4.函数/,(x)=(x D e*的 单 调 递 增 区 间 为,单调递减区间为答案(一8,o),(I n 2,+8)(0,I n 2)解 析 f(x)的定义域为R,f(x)=*e*-2 x=x(e*2),令 f(x)=0,得 x=0 或 x=ln 2,当 x变化时，/(x
29、),F(x)的变化情况如下表，X(8,0)0(0,I n 2)I n 2(I n 2,+8)f (%)+0一0+fx)单调递增单调递减单调递增的单调递增区间为(一8,0),(I n 2,+8),单调递减区间为(0,I n 2).思维升华确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要 用“逗号”或“和”隔开.题型二含参的函数的单调性例 1 已知函数f(x)=；a V(a+1)x+l n x,a 0,试讨论函数y=f(x)的单调性.解 函 数 的 定 义 域 为(0,+8),.,.,1 a)f-a+1 x+1 a x x
30、1f(x)=a x-(a+1)+-=-=-.X X X 当 0a l 时，0-l时，函数/(X)在(0,和(1,+8)上单调递增，在1)上单调递减.引申探究若将本例中参数a的范围改为a C R,其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？解 当 a0时，讨论同上；当 aWO 时，ax10；x e (1,+8)时,f UXO,函数/tr)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.综上，当 aWO时，函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减；当 0 l 时，函数/(x)在(0,和(1,+8)上单调递增，在1)上单调递减.思 维 升 华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数
31、对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.跟踪训练1 讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=x a l n x；(2)g(x)=(x a l)e*(x a)；解(D F(x)的定义域为(0,+8),令/(x)=0,得才=,当 a W O 时，f(*)0在(0,+8)上恒成立，在(0,+8)上单调递增,当 a 0 时，x G(0,a)时，f(x)0,综上，当 a W O 时，f(x)在(0,+8)上单调递增，当 a 0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.(2)g(x)的定义域为R,g (x)=(
32、x a)e 2(x a)=(x a)(e*2),令 g (x)=0,得 x=a 或 x=l n2,当 a l n 2 时，x G(-8,i n 2)U (a,+8)时，f(x)0,x G(I n 2,a)时，f(x)0,当 a=l n 2 时，f (x)2 0 恒成立，.H x)在 R上单调递增，当 a 0,x G(a,I n 2)时，f (x)l n 2 时，/1(x)在(-8,g 2),(a,+8)上单调递增，在(I n 2,a)上单调递减：当 a=l n 2 时，f(x)在 R上单调递增；当 a l n 2 时，/(x)在(-8,a),(I n 2,+8)上单调递增，在(a,I n 2)
33、上单调递减.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例 2(1)已知函数 f(x)=x s i n x,x R,则 f(V，A l)f 卜 了)的大小关系为()A.H 偿)B.f(D f 停)c-f 舟，H)D C卜彼卜答 案 A解析 因为 f(x)=x s i n x,所以 f x)=(x)s i n(x)=x s i n x=f(x),所以函数 F(x)是偶函数，所 以 f 卜(曰).又当*G(0，5时f(x)=s i n x+x c os x 0,所以函数H x)在(o,勺上是增函数，所以f 得 上 仁)，即 卜刁(9故选A.(2)已知函数f(x)=e e 2 x+l,则不等式/
34、1(2x 3)1的解集为一答 案 修+8)解析/(x)=e e-2 x+l,定义域为 R,f(x)=e*+e)22正 e 2=0,当且仅当x=0 时 取“=”，在 R上单调递增，又 f(0)=1,原不等式可化为f(2x 3)f(0),3即 2x 3 0,解得 x 5，原不等式的解集为(1,+8)命题点2根据函数的单调性求参数的值(范围)例 3已 知 函 数 H x)=l n x%*2x(a W 0)在 1,4 上单调递减，则a的取值范围是答案m+8)解析 因为/(X)在 1,4 上单调递减，所以当X G 1,4 时，f(x)=L a x 2 W0 恒成立,X1 2即 恒成立.x x1 2设 G
35、(X)=F，1,4,x x所以 a G(x).a x,而 G(x)=Q 1)1,因为x l,4,所 以 匕 上，11x L 4 7所以 C(x)m a x=-77(此时 X=4),167所 以 一 存，又因为d/O,16所 以 a的取值范围是 一与，0)U(0,+8).L 16 7引申探究本例中，若 f(x)在 1,4 上存在单调递减区间，求 a的取值范围.解 因为f(x)在 1,4 上存在单调递减区间，则/(x)0 在 1,4 上有解，1 9所以当x G 1,4 时，a ,一1有解，又当 x W 1,4 时，(一-1(此时 x=l),所 以 a 1,又因为a W O,所 以 a的取值范围是(
36、一1,0)U (0,+8).思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y=F(x)在(a,6)上单调，则区间(a,6)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x G(a,6)都 有/(x)0(F(x)W 0),且在(a,6)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.跟踪训练2 已 知 y=F(x)是定义在R 上的函数，且 A 2)=5,对任意的x 都 有f则 f(x)；x+4的解集是.答 案(2,+8)解析 设/(X)=f(x)；.尸(x
37、)=f(X)-；2.(2)设 函 数 f(x)=；/9 1n x 在区间 a1,a+1 上单调递减，则 实 数a的取值范围是答 案(1,2 9解析 易知f(x)的定义域为(0,+8),且 尸(x)=x一二X9又 x 0,由 f(x)=x-W0,得 0 0,所 以,)L+1 W 3,解 得 l aW 2.拓展视野构造函数解不等式f X以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有/X x)g(x),F(x)g(x),等g X特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法
38、则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.一、构造y=f(x)土g(x)型可导函数例 1 设/(x)为 R 上的奇函数，当时，f(x)co s 水0,则不等式f(x)s in x 的解集为.答 案(0,+8)解析 令。(x)=F(x)s in x,.,.当 x 0 时，O (x)=f(x)co s x (x)0,即。(x)0,原不等式的解集为(0,+8).二、利 用 f(x)与 x 构造可导型函数例 2设/X x)是定义在R 上的偶函数，当 K0 时，f C O+x F (x)0,且 f(4)=0,则不等式xf SO的解集为.思路点拨 出 现“+”法形式，优先构造尸(
39、x)=xf(x),然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.答 案(一8,-4)U(0,4)解析 构造尸(x)=xF(x),则，(x)=f(x)+x/(x),当 x 0 时，f(x)+x f(x)0,可以推出当A 0的解集为(-8,-4)U(0,4).例 3 (八省联考)已知a 5 且 ae S=5 e ,氏4且次,=4 e ,c 3 且 ce 3=3 e ，则()A.cba B.bcaC.acb D.a5 a 4 6 3c设/X x)=t,则 (x)X所 以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以 A 3)A 4)A 5),f f(6)f(a),所 以 a 伙c
40、.方 法 二 设 e =3 x,5e =*x,/=，(3)oa,b,c依次为方程的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标,由图可知a b0时，2 f g x f(x),则使得/Xx)。成立的x的 取 值 范 围 是.f V思路点拨 满足(x)一 f(x)”形式，优先构造尸(x)=-p,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.答 案(-1,0)U (0,1)f x ，x .x 2 f x解析 构造6(x)=，则 尸(%)=-T-,当 x 0 时,xf(X)2 f(x)0 时，F UX 0,尸(X)在(0,+8)上单调递减.F C 0 为偶函数，为偶函数，.尸(x)为偶函数,
41、b(x)在(一8,0)上单调递增.根据/(-1)=0 可 得/(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知A x)0 的解集为(-1,0)U (0,1).思 维 升 华(1)出现/1(x)+x f(x)形式，构造函数尸(x)=，/(x)；出 现 一(X)一“(x)形式，构造函数户(x)f X三、利 用 f(x)与 e 构造可导型函数例 5已知/(X)是定义在(-8,+8)上的函数，导函数F (x)满 足/(x)/(X)对于x WR恒成立，贝 11()A.f(2)e 2 f(0),A(2 0 2 1)e2 0 2 1 A O)B.A 2)e2 0 2 1 A O)C.
42、f(2)e (0),f(2 0 2 1)e2 0 2 1 A O)D.A 2)e V(0),f(2 0 2 1)e2 0 2 1 A O)f x思路点拨 满 足“F (x)f(x)0”形式，优先构造尸(x)=,然后利用函数的单调e性和数形结合求解即可.注意选项的转化.答 案 D解析 构造尺则U x I，-=*；导函数e e ef(x)满 足/(x)H x),则/(x)0,且/X0)=1,则不等式f(x)/的解集为答 案(0,+8)解 析 构 造 尺 x)=f(x)/*,.F x)=f(x)e +f(x),2ex=ex _ f(x)+2 f(x)0,.尸(力在R 上单调递增,且尸(0)=f(0)
43、e=L不等式f(x)之可化为f(x)e2 t 1,e即尸(x)尸(0),原不等式的解集为(0,+8).思 维 升 华(1)出现F(X)+f(x)形式，构造函数/(x)=e f(x)；f x 出 现/(X)/(*)形式，构造函数尸()=.e四、利 用/Xx)与 si n X,c o s X 构造可导型函数例 7已知函数y=f(x)对于任意的x G(T，5)满 足 k(x)c o s x+f(x)si n x 0(其中f(x)是函数/(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.S-f B.C.f(O)y 2f用D.AO)0”形式，优先构造网x)=-,然后利用c o s X函数的单调性和数形结合
44、求解即可.注意选项的转化.答 案 Af V解析 构造网x)=-,则/(X)c o s Xx c o s x+f x si n xC OS X导 函 数/(x)满 足/(x)c o s x+F(x)si n x X),则 U(x)0,尸(x)在(一,上单调递增.把选项转化后可知选A.思维升华f(x)与 si n x,c o s x 相结合构造可导函数的几种常见形式F x)=f(x)si n x,F(A)=fr(%)si n x+fx c o s x；,.f x .z x f x si n x f x c o s xF(x)-，/(x)-j ;si n x si n x户(x)=f x)C OS
45、X,F(x)=f(x)c o s x-f(x)si n x；/(*)f xC OS X(x)x c o s x+f x si n xc o s2xFf课时精练立 基 础 保分练1.函数y=f(x)的 导 函 数 尸(x)的图象如图所示，则 函 数 尸 f(x)的图象可能是()答 案 D解析利用导数与函数的单调性进行验证.f W 0的 解 集 对 应 y=f(x)的增区间,f (x)0 时,h(x)0,.(x)在(0,+8)上单调递增.3.已知函数/(x)=1+勺，若函数/(x)在2,+8)上单调递增，则实数a的取值范围为X()A.(一8,8)B.(-8,16C.(-8,-8)U(8,+8)D.
46、(-8,-16 U 16,+8)答 案B解析 f (x)=2x一4，X.当王2,+8)时，f (x)=2x恒成立，X即aW 2系恒成立，丁/22,A(2/).in=16,故aW16.4.已知函数/(x)=sin%+cos x2x,a=f(n),b=f庭),c=f(ln 2),则 a,b,c的大小关系是()A.acb B.abcC.bac D.cba答 案A解 析F(%)的定义域为R,f (x)=cos xsin x2=Scos(x+：)2l,0ln 21,A-nln 2A2e),即 acb.5.(多选)若函数f(x)=a f+3*-x+l 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是()A.-3
47、 B.-1 C.0 D.2答 案 B D解 析 依 题 意 知，f (x)=3 af+6 x 1 有两个不相等的零点，故,4=3 6+1 2 a 0解 得 a -3 且 aWO.故选BD.6.(多选)若函数g(x)=ef(x)(e=2.718，e 为自然对数的底数)在/(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有 性质.下列函数不具有 性质的为()A.B.f(x)=V+lXC.F(x)=sin x D.fx=x答 案 A CD1QX QX X-1解析 对于 A,f(x)则 g(x)=工 g(x)=-,当 求 1 且 x#O 时，娟(x)0,g(x)在(-8,o),(0,1)上单调递减，在(1
48、,+8)上单调递增；对于 B,fx)=/+1,则 g(x)=e=(x)=e*(*+l),g(x)=e*(V+l)+2xe=e*(x+l)20 在实数集 R 上恒成立,g(x)=e(x)在定义域R 上是增函数；G+芝对于 C,A%)=sin x,则 g(x)=esin x,g(x)=e(sin%+cos x)=S e s i显然g(x)不单调；对于 D,f(x)=x,则 g(x)=x e,则 g CO=(x+l)e.当 K 1 时，g G)0,当+s)时，f (*)0,.F(x)在(0,上单调递增，在 胃，+8)上单调递减.8.若函数f(x)=l n x+e*si n x,则不等式/Xx 1)0
49、,：.f(x)0,.F(x)在(0,+8)上单调递增,又/(x-l)Wf(l),.,.0 0,解得 a -所 以 a的取值范围是(一+8)1 0.若函数f(x)=2 fl n x在其定义域的一个子区间0 1,4+1)内不是单调函数，则实数 4的 取 值 范 围 是.答 案 1，解 析 F(x)的定义域为(0,+8),当 A-e o,J时，f(x)0,.f(x)在(o,；I上单调递减，在生+8上单调递增,Z+DA1,女 一 1 2 0,依题意有 ;,3解 得 1 WK.1 1.函数 f(x)=(f+a x+6)e-*,若 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 6xy5=0.(1)求 a,6
50、的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(l)f (x)=(2x+a)e (j f +a x+/?),e =x +(.2a)x+a b e：.f(0)=a b,又 A O)=b,f(x)在(0,A O)处的切线方程为y-b=(a-6)x,即(a 8)x y+b 0,j a 6=6,f a=l,.q 解 得，G b=-5,5.(2)V fx)=(*+x5)e，xR,:.F(x)=(+6)e-r=(x+2)(x3)e-x,当 X 3 时，f(x)0；当一20,故f(x)的单调递增区间是(一2,3),单调递减区间是(-8,-2),(3,+8).1 2.讨论函数f(x)=(a 1)I n x+a x+