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1、新高考数学一轮复习讲义：解析几何 8.1 直线的方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线1 与 X轴相交时，我们以X轴作为基准，X轴正向与直线,向上的方向之间所成的角a 叫做直线1的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角a的取值范围为0 Wa0不存在A -2C.苗或 AW-2D.答 案 D解析 直 线 八 y=4(x 2)+1
2、经过定点户(2,1),*k?A=3-12,kpB-1-1-2-21-2又直线/：尸女(工一2)+1 与 线 段 相 交,【引申探究】本例(2)直 线，改 为/=h，若/与 线段四相交，则 衣 的 取 值 范 围 是.答 案(一8,1 U3,+8)解析 直线/过定点(0,0),的=3,km=；,3 或思 维 升 华(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法:图形观察(数形结合)；充分利用函数4=ta n a的单调性.跟踪训练1(1)若图中直线4,h,入的斜率分别为,左,左，则()A.kKkKka B.ks kKkzC.kq kk D.kkkz答 案 D解析 因为直线h,
3、A的倾斜角为锐角，且 直 线 4的倾斜角大于直线4的倾斜角，所以0k30n kO.于是l-2 A 0I 勿I (12A)=g(4_4%)g 4+2 (一力 -k -4.当且仅当T=-4 L 即 A=g 时，/仍面积有最小值为4,此时，直 线，的方程为yl=一：(才 2),即 方法二 设所求直线/的方程为-X+V=l(a 0,母0),a b9 1则一+工=1a b2 1 l2 1 2 1 1 1又 一+7 2 2、/-7=铲 心 4,当且仅当一=7=7?即 a=4,方=2 时，力/面 积 S=j/有a b j ab 2 a b 2 2最小值为4.此时，直线/的方程是：+=L【引申探究】本例中，当
4、|物I 1/监I取得最小值时，求直线/的方程.(2k 解 方法一 由本例知/(二一，0J,8(0,12公(旅0).：.MA MB=+1 -V 4+4?=2 p=2 k +,4.当且仅当一么=一；，即 4=一1 时取等号.k此时直线1 的方程为x+y3=0.2 1方法二 由本例知力(a,0),B(0,m,a0,60,-+7=1.a b：.MA|监|=|砺|.血=一 砺 初=一(a2,-1)(-2,61)=2(a-2)+6-l=2 a+Z?-5=(2 a+6)+5=2 +翡 4,当且仅当a=6=3 时取等号，此时直线1 的方程为x+y 3=0.思 维 升 华(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方
5、程的结构特征，对照得到定点坐标.(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练2 已知直线2 弱一y+l+2A=0(%GR).(1)证明：直线/过定点；(2)若直线不经过第四象限，求发的取值范围；(3)若 直 线/交 x 轴负半轴于4交 y 轴 正 半 轴 于 瓦 如 的 面 积 为 S(。为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线1的方程.(1)证明 直线/的方程可化为(x+2)+(l力=0,令.x+2 O,1-7=0,解得X 2,尸L.
6、无论在取何值，直线/总经过定点(-2,1).I J-2A-(2)解 由方程知，当 AW0时直线在x 轴上的截距为一 ,在 y 轴上的截距为1+2%,Kf _ l+2A _2要使直线不经过第四象限，则必须有J k11+2 杉 1,解得k 0；当 4=0 时，直线为y=l,符合题意，故左的取值范围是 0,+8).(3)解 由题意可知衣#0,再由/的方程，/口 (1+24 八,、得 4 6(，1+2 h(1+2 J -7|1+2用=5-;-4A+-7+4 -X (2X2+Z Z K Z K Z K J Z4)=4,“=”成立的条件是k Q且4 k q 即 k g,；.%“=4,此时直线1的方程为x-
7、2 y+4=0.课时精练【基础保分练】1 .倾 斜 角 为 1 2 0。且在y 轴上的截距为一2的直线方程为()A.y=y ix+2 B.y=2C.尸 小 x+2 1).y=/x2答 案 B解析 斜率为t an 1 2 0 =一 小,利用斜截式直接写出方程，即 y=-/x2.2 .若平面内三点4(1,a),6(2,a2),C(3,3)共线，则 a 等于()A.1 土 隹 或 0 B.2心或 0C 岑 D.20答 案 Ao2-|-o o3-|-o解 析 由 题 意 知 4 0=服 即,2 1 3 1即 a(#一2 a 1)=0,解得 a=0 或 a=1 土铺.3 .若过点P(l-&1 +a 和
8、0(3,2 a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是()A.(2,1)B.(1,2)C.(-8,0)D.(-8,-2)U (1,+8)答 案 A解 析 由 题 意 知 等 0,即 会 0,解得一2 a 0,c 0 B.a 0,c 0C.a 0 D.a0,c 0,在 y 轴上的截距c 0.5.直线2 x c os a _73 =of a E/,的倾斜角的取值范围是()JT JI&9 TB.JI4JT JT Jl 冗2 冗-C.R,y j 叫 彳,答 案 B解析 直线2 x c os。-y 3 =0的斜率A=2 c os a,因 为 a S,所以g c os a因此 A=2 c o s小.
9、设 直 线 的 倾 斜 角 为 则 有t a n。仁1,镉.P n n -又 夕e 0,J I）,所以 丁，,4 J即倾斜角的取值范围是 十，T-6.（多选）在下列四个命题中，错误的有（）A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线倾斜角的取值范围是 0,几）C.若一条直线的斜率为t an a,则此直线的倾斜角为aD.若一条直线的倾斜角为明则此直线的斜率为t an a答 案A C D解 析 对 于A,当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为9 0 ,斜率不存在，A错误；对于B,直线倾斜角的取值范围是 0,n）,，B正确；对于C,一条直线的斜率为t an a,此直线的倾斜角不一定为a,；.C错
10、误；对于D,一条直线的倾斜角为。时，它的斜率为t a n。或不存在，D错误.故选A C D.7.（多选）若直线过点J（l,2）,且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线1的方程为（）A.x-y+l=0 B.x+y-3 =0C.2%y=0 D.x y10答 案A B C9 0解析 当直线经过原点时，斜率为4=2,所求的直线方程为y=2 x,即2 x一 尸0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x土 尸h把点展1,2）代入可得1-2 =卜 或1 +2=k,求得在=-1,或4=3,故所求的直线方程为x y+1 =0,或x+y 3 =0.综上知，所求的直线方程为2%y=0,X y+l=0,或 x+p 3
11、=0.8.（多选）垂直于直线3 x 4 y 7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在彳轴上的截距是（）A.4B.-4C.3D.-3答 案C D解析 设直线方程是4 x+3 y+=0,分别令k0和 尸0,得直线在两坐标轴上的截距分别是一景所以6=/X 9 X (=.所以=1 2,则直线在x 轴上的截距为3 或一3.9.直线/过(一1,-1),(2,5)两点，点(1 0 1 1,6)在 上，则 6 的值为.答案 2 0 2 3解 析 直 线/的 方 程 为 y-1 x-1，1 Z 1即 小=中，即 y=2 x+i.O 5令 x=l O i l,得 y=2 0 2 3,Ab=2 0 2 3
12、.1 0.设直线，的方程为2 x+a-3)y-2 X+6 =0(2 3),若直线1的斜率为-1,则k=_；若 直 线/在 x 轴、y 轴上的截距之和等于0,则k=.答 案 5 12 9解析 因为直线1的斜率存在，所以直线1的方程可化为y=-K-x 3+2f由题意得一厂Kf 3=1,解得Q5.直线，的 方 程 可 化 为 六+尹 1,由题意得 3+2=。,解得Q 1.1 1.已知三角形的三个顶点/(一5,0),8(3,-3),以0,2),则 8c 边上中线所在的直线方程为.答案 x+1 3 y+5=0解析形的中点坐标为I?-9y.8C Q V-I 5边上中线所在直线方程为 上=产，即 x+I3
13、y-1-2+5=0.1 2.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_.答案-3解析方法一设正方形一边所在直线的倾斜角为。，其斜率A=t an a.JI(n A则其中一条对角线所在直线的倾斜角为。+了，其斜率为t an(。+旬./冗、t an a+t an 。依题意知：t an l +-)=2,即-=詈 -2,t an a=-,I 4/n 1 t an a 31 -t an o t an -.正方形一边的斜率k=4,可知相邻一边所在直线的斜率为-3.O方法二正方形两条相邻边与对角线的夹角为t，设正方形的边所在直线的斜率为k,jy k 2 1则由夹角公式得t
14、 an T=+2 4=X=g 或 4=3.【技能提分练】1 3 .已知以一3,2),。(3,4)及直线a x+y+3=0.若沿用的方向延长线段0 0与直线有交点(不含0 点)，则a的 取 值 范 围 是.答 案 3解 析 直 线/：a x+y+3=0 是过点4(0,-3)的直线系，斜率为参变数一a,易知P Q,QA,.1 7/的斜率分别为：2公,力=一a.若/与可延长线相交，由图可知阮H w,解得Qv14.已知数列&的通项公式为&=+(WN*),其 前 项 和 =言 则直线行y+匕=1 与坐标轴所围成的三角形的面积为n答 案 45解 析 由&=3 可 知&=宗*，所以 5,=(1_ 目+&_|
15、+q_(|+g _*)=l-露，9 1 9又 知$=诂，所 以 1 一 行 7=正，所以=9.所以直线方程为沈+5=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为g x 10X9=45.【拓展冲刺练】1 5.（多选）已知直线xs i n a+yc o s a +l=O（a G R）,则下列命题正确的是（）A.直线的倾斜角是“一。B.无 论。如何变化，直线不过原点C,直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答 案 B D解析 根据直线倾斜角的范围为 0,“），而 n-aGR,所 以 A不正确；当 矛=尸 0 时，
16、xs i n a+yc o s a +l =l W 0,所以直线必不过原点，B正确；当 时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S=g-=-2 1,所以 D 正确.s i n a c o s Q|s i n 2。|16.如图，射线疡，分别与x 轴正半轴成45和 30角，过点。（1,0）作直线48分别交OA,0B干A,6两点，当 46 的中点C 恰 好 落 在 直 线 上 时，则直线力6的方程是.答 案（3+镉）才 2y34=0解析 由题意可得心=ta n 45 =1,ta n(180 -30)=_ 也3 所以直线 IO AX y=xf IORZ y
17、=3X.设力（/，/），B（一小n,n）,所以四的中点cf 怜，字由点C 在直线上，且 4 P,6三点共线得m-n 1 m 3n 1 7=2*2，.i n0,yf3n 1 -/?0 /7 1解得0=4，所以4(4,4).又产(1,0),所以 kA B=kap=所 以 Zw：/=立=啦(x1),即直线46 的方程为(3+5)了 一 2厂 34=0.8.2两条直线的位置关系工考试要求31.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理一、两条直线的平行与垂直1.两条直线平行对
18、于两条不重合的直线八，12,若其斜率分别为,左,则有l/l k=k=h(2)当 直 线 人 4 不重合且斜率都不存在时,h/h.2.两条直线垂直(1)如果两条直线4,人的斜率存在，设为尢，的则有 左=-1.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0 时，Z72.二、两条直线的交点坐标已知两条直线7 i：4 x+3 y+G=0,72：4 x+Ay+G=0 相交，则 交 点P的坐标是方程组f4x+5i y+G=0,L+G=O 的解.三、三种距离公式1.两点间的距离公式(1)条件：点 4(小，a),P，X 2,y2).(2)结论：|P P zI=yj_X 2-x y-y 特 例：点P ”又
19、 交点位于第一象限，I 6 A+1 八2在+1”解得一，舄 .2.求 经 过 直 线 九3 x+2 y-l=0和A：5 x+2 y+l=0的交点，且垂直于直线A：3 x-5 y+6=0的直线/的方程为.答案 5 x+3 p-l=0解析先解方程组，3 x+2 y 1=0,5 x+2 y+l=0,得A的交点坐标为（-1,2）,再由人的斜率为三求出，的斜率为一6于是由直线的点斜式方程求出/:5y 2=一三（入+1）,即 5 x+3 y 1=0.3 .已知点P（4,a）到直线4 x 3 y 1 =0的距离不大于3,则 a的 取 值 范 围 是.答 案 0,10 解 析 由 题 意 得，点尸到直线的距离
20、为14义4二7=1 二 151 3 a.O0I 15 3 a l又即 15-3 a|W 15,解得 0 W a +8/2 4=0,由题意可知|P Q的最小值为这两条平行直线间的距离，即-2 4 -5 1R+于2 9To,所以I 00的最小值1,2 9为10,思 维 升 华（1）求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.利用距离公式应注意：点尸（加，）到直线x=a的距离d=|刘一a|,到直线y=6 的距离 d=|及一引；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1中心对称例 1（1）直线x 2 y-3=0 关于定点加一2
21、,1）对称的直线方程是.答案 x-2 y+ll=0解析 设所求直线上任一点（*,y）,则关于欣一2,1）的对称点（一4 一天2-0在已知直线上,.,.所求直线方程为(一4 一x)2(2 力3=0,即 x 2 y+ll=0.过 点 (0,1)作直线/,使它被直线/,：2 x+y 8=0和 72：%-3 y+1 0=0 截得的线段被点尸平分，则直线1的方程为.答案 x+4 y-4=0解析 设乙与/的交点为4(a,8 2 a),则由题意知，点 4关于点P 的对称点庾-a,2 a 6)在/z 上，代 入/z 的方程得一a 3(2 a 6)+10 =0,解得a=4,即点4(4,0)在直线/上,所以直线1
22、的方程为x+4 y 4=0.命题点2 轴对称例2已知入射光线经过点以一3,4),被直线/：x y+3=0 反射，反射光线经过点M 2,6),则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为.答案 6 -y-6=0解析 设点M-3,4)关于直线7：%-y+3=0 的对称点为(a,垃,则反射光线所在直线过 点 ，解得a=1,b=0.又反射光线经过点M 2,6),所以所求直线的方程为2=，B P 6 x-y-6=0.6 0 21(2)直线2 x-y+3=0 关于直线x-y+2=0 对称的直线方程是答案 x-2 y+3=0解析 设所求直线上任意一点P(x,y),则产关于x-y+2=0 的对称点为(的
23、 ，由x+x o y+F i4 2=0,x-x o=yyo ,x o=y-2,.H=x+2,22得；点、F(x。，在直线2 x-y+3=0 上，2 (y-2)(x+2)+3=0,即 x 2 y+3=0.思 维 升 华(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)几个常用结论点(x,力关于x 轴的对称点为(x,-y),关于y 轴的对称点为(x,y).点(力关于直线尸x的对称点为(x)，关于直线旷=一X的对称点为(一y，-%).点(x,力关于直线x=a的对称点为(2 a-x,y),关 于 直 线 尸 6 的对称点为(x,2 6 一0.跟踪训练1 (1)光线沿着直线p=
24、-3 x+A射到直线x+y=O上，经反射后沿着直线尸a x+2射出，则有()A.&=4，6=6 B.a=3,Z?=73 6C.a=3,Z?=7 D.a=-g,Z?=663答 案D解析 由题意，直 线 尸 一3x+b与直线y=a x+2关 于 直 线 尸 一x对称，所 以 直 线 尸a x+2上的点(0,2)关于直线y=一了的对称点(-2,0)在直线y=-3 x+8上，所以(-3)X (2)+6=0,所以 6=6,所以直线y=3 x 6上的点(0,-6)关于直线y=-x的对称点(6,0)在直线y=a x+2上，所以6 a+2=0,所以a=一O 已知直线7：y=3x+3,则点。(4,5)关 于1的
25、对称点的坐标为答 案(一2,7)解析 设点P关 于 直 线/的 对 称 点 为,V ),(x +4 /+5、则线段上的中点“一J，J在直线,上,且直线上垂直于直线八(y+5 x +4 ,=3-7 +3,cx =-2y=7.x 一4 一 -1 1即彳，匚 解得y 5.，点尸的坐标为(-2,7).题型四直线系方程的应用命题点1平行直线系、垂直直线系例3(1)与直线3x+4 y+1=0平行且过点(1,2)的直线1的方程为一答案 3x+4 y-ll=0解析 由题意，可设所求直线方程为3x+4 y+c=0(c W l),又因为直线,过点(1,2),所以 3 X l+4 X 2+c=0,解得 c=-ll.
26、因此，所求直线方程为3x+4 y 1 1=0.(2)经过点4(2,1)，且与直线2 x+y-1 0=0垂直的直线1的方程为答 案x-2y=0解析 因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直，所以设该直线方程为x 2y+c=0,又直线过点)(2,1),所以有2 2X l +c=0,解 得c=0,即所求直线方程为x-2y=0.命题点2过两直线交点的直线系例4已知两条直线上：x-2y+4=0和A x+y 2=0的交点为2求过点尸且与直线4：3x-4y+5=0垂直的直线1的方程.解 方法一 解乙与乙组成的方程组得到交点A0,2),因为k=力 所 以 直 线1的斜率k=4 4 T,方程为 y 2=一可X，
27、即 4*+3y 6=0.O O方法二 设所求直线/的方程为4x+3y+c=0,由法一可知尸(0,2),将其代入方程，得c=-6,所以直线/的方程为4x+3y-6=0.方法三 设所求直线/的方程为x 2y+4+4(x+y 2)=0,即(1+4)x+(4 2)y+4 2 4=0,因为直线/与A垂直，所以3(1+4)一 4(4-2)=0,所 以4=11,所以直线/的方程为 4x+3y 6=0.思维升华几种常见的直线系方程与直线力x+取+0=0平行的直线系方程是4x+8 y+=Q(/n W R且m W。.(2)与直线A x+B y+O=Q垂直的直线系方程是8x-/y+c=0G?eR).(3)过 直 线
28、 九4 x+8 y+G=0与4：4 x+居y+G=0的交点的直线系方程为+/(4X+&K+G)=0(a GR),但不包括 A.跟踪训练2求过直线2x+7y 4=0与7x-21y 1=0的交点，且和力(-3,1),8(5,7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x+7y-4+八(7*-21尸)=0,即(2+7 A)x+(7 21 A)y+(4 A)0,由点4(-3,1),8(5,7)到所求直线距离相等，可得2+7 4 X 3+7 21 4 X 1 4 47 2+7-z+7 21,2I 2+7)义5+7-21/义7-4一八|yj 2+7 A 2+7-21 A 2整理可得|43久+3|=|113
29、力一55|,29 解 得A=正 或4=可，35 3所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=l.课时精练E基础保分练1.如果直线人的斜率为a,小 八,则直线4的斜率为（）1 1 1一丁上A.一 B.a C.D.或不存在a a a答 案D解析 设直线人 心的斜率分别是当 a W O 时，由 1I_L/2得&=-L .*.2=a当a=O时，/1与x轴平行或重合，则4与y轴平行或重合，,直 线4的斜率不存在.故直线的斜率为一,或不存在.a2.设 a G R,则“a=l”是“直线 71：a x+2广-1=0 与直线 72：x+（a+1）y+4 =0 平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分
30、条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案A解析 若两直线平行，则a（a+l）=2,即a?+a 2=0,；.a=l或-2,故a=l是两直线平行的充分不必要条件.3.己知直线/过点（0,7）,且 与 直 线 尸 一4 x+2平行，则直线/的方程为（）A.尸 一4 x 7 B.y=4 x-7C.y=4 x+7 D.y=4 x+7答 案D解析 过点（0,7）且与直线y=-4才+2平行的直线方程为y 7 =4 x,即直线，的方程为y=-4 x+7,故选 D.4.若直线/x+4 y 2 =0与直线2 x 5y+/?=0垂直，垂足为（1,p）,则实数的值为（）A.-1 2 B.-2 C.0 D.1 0
31、答 案A解析 由2位-2 0=0,得必=1 0.由垂足(1,而在直线0 x+4 y-2 =0上，得=一2,二垂足坐标为(1,-2).又垂足在直线2 x-5y+=0上，得=一1 2.5.若直线A：x+a y+6=0与&(a 2)*+3y+2 a=0平行，则3与A间的距离为()A.V 2 B.乎 C，V 3 D.平答 案B解析 因为a=0或a=2时，4与4均不平行，所以a W O且a W 2.因为 7 1/7 7 2,所以 =含 右a-2 3 2 a解得,3=-1,2所以 7 1：x y+6=0,72：x y+-=Q,所以八与A之间的距离d=8/3,3亚3 Ai)+Z i+c6.(多选)定义点P(
32、%，到 直 线/：a x+c=0(a 2+4#0)的有向距离为d=已知点A,R到直线/的有向距离分别是，办以下命题不正确的是()A.若d =d=l,则直线A R与直线/平行B.若d =l,&=-1,则直线A 8与直线/垂直C.若d +d=O,则直线在上与直线/垂直D.若d d W O,则直线A R与直线/相交答 案BC D解析 设8(小，为)，月(孙 ，对于A,若d、=&=l,则 明+如+c=2必+6度+c=、,+兄 直线A月与直线/平行，正确；对于B,点A,R在直线/的两侧且到直线/的距离相等，不一定与/垂直，错误;对于C,若d =d=O,满 足d +d=O,即 ax +b y +c ax-
33、b yi+c=0,则点A,月都在直线/上，所以此时直线A 8与直线/重合，错误;对于D,若d 4 W 0,即(a x i +6-+c)(a x 2+6%+c)W O,所以点a,旦分别位于直线，的两侧或在直线,上，所以直线夫出与直线，相交或重合，错误.7.(多选)点P在直线3 x+y 5=0上，且点。到直线x y 1=0的距离为乖，则点。的坐标为()A.(1,2)C.(2,-1)答 案ACB.(2,1)D.(2,1)3 照+%5=0,解析设(刘，贝/r-解得Ab=,必=2x o=2,必=-1，或所以点尸的坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC.8.(多选)已知直线人：ax y+=Q,h：x+a
34、 y+l=0,aR,以下结论正确的是()A.不论a为何值时，为与心都互相垂直B.当变化时，4与4分别经过定点/(0,1)和8(1,0)C.不论a为何值时，入与4都关于直线x+y=0对称D.如 果7,与心交于点M,则|的最大值是镜答 案A B D解析 对于A,a Xl+(1)Xa=0恒成立，八与4互相垂直恒成立，故A正确；对于B,直 线 九a x-y+l=0,当a变化时，x=0,y=l恒成立，所 以4恒过定点4(0,1);?2：x+dy+l=0,当 3变化时，x=lf y=0 恒成立，所 以4恒过定点8(1,0),故B正确.对于C,在人上任取点(X，a x+。，关于直线x+y=0对称的点的坐标为
35、(一ax 1,x),代 入，2：x+l=0,则左边不等于0,故C不正确；对于D,联立ax y+l=0fx+ay+l=0,解得 a-1-K Ta+1尸KT即“一+1 a2+l /所以I股I的最大值是正，故D正确.故选A B D.9.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是.答案 3x+4y+5=0解析 在所求直线上任取一点P（x,力，则 点?关 于x轴 的 对 称 点 户（x,一。在已知直线3x4y+5=0 上，所以 3x-4（力+5=0,即 3%+4y+5=0.10.已知点成一3,4）,6（6,3）到直线1：ax+y+l=0的距离相等,则实数a的 值 为 一.1、7答 案.勺 或 一-八
36、-3a-4+11|6a+3+l|解析由点到直线的距图公式得-fT=-=j=T L-，a+1 yja+1一 1 、7解得=一勺或一.11.过 两 直 线 九x-3y+4=0和A 2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.答案 3x+19y=0解析 过两直线交点的直线系方程为X-3y+4+4（2x+y+5）=0,代入原点坐标，求 得A4 4=一 三，故所求直线方程为 x3y+4、（2x+y+5）=0,即 3x+19y=0.12.设光线/从点4（一4,4）出发，经过x轴反射后经过点彳0,叫，则 光 线/与x轴的交点为,若该入射光线/经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为_
37、 _ _ _ _ _ _ _.答 案（-1,0）f解析 点4（-4,/）关于x轴的对称点为/（一4,一木）,则直线4 B：尸 斗 叶 平 与x轴交于点（一1,0）,所以光线/与*轴的交点为（一 1，0）;由入射角是60,得折射角是30,且光线经过（-1,0）,得出折射光线所在直线方程为y=-/x 所以纵截距为3.P技能提升练13.若三条直线尸2x,x+y=3,x+力y+5=0相交于同一点，则点（勿，）到原点的距离的最小值为（）A.#B.#C.2y/3 D.2小答 案A解 析 联 立I：“解 得k 1,y=2.x+y=3,把(1,2)代入加x+y+5=0 可得，6+2+5=0.%=52.点(勿，
38、Z 7)到原点的距离 d=yl n i+n=y j_ 5+2 2+n=y15 +2 ”+5 2,当=2,勿=1 时取等号.点()，n)到原点的距离的最小值为季.1 4.在平面直角坐标系内，已知4(1,2),8(1,5),C(3,6),(7,-1),则平面内任意一点到点力与点 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为,平面内到4 B,C,的距离之和最小的点的坐标是.答 案2乖 4)解析 设平面上任一点M 因为|也|+|闱|“1=2 4，当且仅当4 M C共线，且在A,。之间时取等号，同理，MB+MDBD,当且仅当6,M,共线，且 在 5,之间时取等号，连接4 G 劭交于一点M,此时|也|+|以7|
39、+如+|必|最小，则点为所求点.因6 2为嬴=三一7=2,所以直线“的方程为7-2 =2(才-1),即 2xy=0.5 又因为鼠=一 1,所以直线劭的方程为夕一5=一(X一1),即才+y-6 =0.1-7联立得2%y=0,x+y6=0,解得x=2,y=4,所以“(2,4).盟 拓 展 冲刺练15.(多选)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的 三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知/肥的顶点/(一4,0),8(0,4),其欧拉线方程为矛一7+2=0,则顶点C的坐标可以是()A.(2,0)B.(0,2)C.(
40、-2,0)D.(0,-2)答 案 A D解析 设以x,。，的垂直平分线为尸一x,力欧的外心为欧拉线方程xy+2=0 与直线y=-x 的交点,1/(-1,1),：.MC =M=y 10,(x+l)2+(y1)2=10,由/(4,0),8(0,4),/J8C重心为(3 8，代入欧拉线方程x-y+2=0,得 x-y-2=0,由可得x=2,y=0 或 x=0,y=-2.故选A D.16.己知点知点-1),8(8,2)和直线/：Ay-l=0,动点尸(x,力在直线/上，则|必|+P B的最小值为.答 案 痼解析 设点4与/关于直线/对称，耳为4 6 与直线/的交点,，/4|=|勺，|/=|川.P A x
41、+P BAXB=A +P.B=P o A +PoB,：.P A +P BP o A-rPnB=A x B.当尸点运动到R 时，川+I 阳取得最小值14 8.设 点A关 于 直 线1的 对 称 点 为 4(加，力),则 由 对 称 的 充 要 条 件 知，I-Vi-4 -，1=0,一，解得 .K O,3).|加+4 y i1 n%=3,-T=d.(I 勿 +I%),“=14 引=y/82+-1 2=y/6 5.8.3 圆的方程工考试要求，1 .回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2 .能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.!(_ 知识梳理i.圆的
42、定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x a)+(y-Z?)2=r (r 0)圆心C(a,8)半径为工一般/+y+D x+E y+F=0()+4 一4 冷 0)圆心4 f-0半径r=a/方+学一4尸2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x。，与 圆 C：(x-a)2+(y-6)2=/之间存在着下列关系：(1)例7|r=M在圆外,即(的一a)?+(%在 圆 夕 卜;M C =.在 圆 上,即(x o-a)+(%。)2=八 “在圆上；|M C 0.2.写 出 圆/+/+以+。+尸=0和两坐标轴都相切的条件._ +/一4 冷 0,提 示 份=r=4 1_基础自测题组一思
43、考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打”或“X”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V )(2)已知点/(小，yi),3(x2,，则 以 为 直 径 的 圆 的 方 程 是(X 为)(x 天)+(y%)(y一%)=0.(J )(3)若点做x o,在圆 f+7+O x+o+Q O 外，则髭+4+X o+yi)+Q O.(V )(4)方程(x+a)2+(y+6)2=/(te R)表示圆心为(&6),半径为t的圆.(X )题 组 二 教材改编2 .圆心为(1,1)且 过 原 点 的 圆 的 方 程 是()A.(A l)2+(y-l)2=l B.a+l)2+(y+l)2=lC.(x+1)+
44、(y+1)2=2 D.(x 1)2+(y1)=2答 案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所 以 该 圆 的 半 径 可 则 该 圆 的 方 程 为(x 1)2+6 1)2=2.3 .圆 f+y?4 x+6 尸 0的圆心坐标和半径分别是()A.(2,3),3 B.(-2,3),小C.(-2,-3),1 3 D.(2,-3),A/13答 案 D解析 圆的方程可化为(才-2)2+(9+3)2=1 3,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=，T5.4.圆心在直线x-2 y+7=0 上的圆，与 x 轴交于两点4(-2,0),6(4,0),则圆，的方程为.答案 5+3尸+(y2)2=5解析 因 为 直
45、 线 的 中 垂 线 方 程 为*=-3,代入直线x2y+7=0,得 尸2,故圆心的坐标为以一3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=MCI=乖，所以圆。的方程为(x+3)2+5-2/=5.题组三易错自纠5.方程x+/+ax+2ay+23+a1 =0表示圆，则3的取值范围是(2A.2 B.一2C.一2 水0 D.-2a 0,即 3a2+4a-4(x-2)2+y=5,所以圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而 点 0)是圆心坐标，所以A选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线y=0过圆心，所以B选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x+3y2=0过圆心，所以C选项
46、正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x-y+2=0不过圆心，所以D选项不正确.故选A B C.题 型 一 圆的方程1.已知圆 经过三点4(0,1),8(2,0),C(0,-1),则圆后的标准方程为()答 案 cB.(+,-J3-+,y2 =2-5解 析 方 法 一(待 定系数法)设圆 的一般方程为 x-y Dx-Ey-F=0 5+4/0),(1+E+F=Ot则由题意得V 4+2 +6 =0,解得，0,E=0,I 尸=一 1.3所以圆E的一般方程为V+会一 1=0,即(x 0+炉 第方法二(几何法)因为圆 经过点/(0,1),8(2,0),所以圆V 的圆心在线段4?的垂直平分线/一3=23
47、1)上.由题意知圆后的圆心又在X 轴上，所以圆的圆心坐标为仔，0).则圆 的半径为 I EB=j 2+0-0 2=1-所以圆Z?的标准方程为b一 朗+/=需2.在平面直角坐标系x O y中，以点(0,1)为圆心且与直线”以+2 6+1=0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A.V+(y T)2=4 B.*+(7 1)2=2C.f+(y-l)2=8 D.x +(y-l)2=1 6答 案 B解析 由直线x 骸+2 6+1=0 可得该直线过定点力(-1,2),设圆心为8(0,1),由题意可知要使所求圆的半径最大，则 5=I 初=7 1 0 2+2 1 2=4,所以半径最大的圆的标准方程为“
48、2+51)2=2.故选B.3.在平面直角坐标系x 片 中，已知圆M经过直线/：矛一十尸+24=0 与圆C：V+/=4 的两个交点，当圆M的面积最小时，圆 M的标准方程为解析 由 /：x/y+24=0 与 G *+/=4 联立得（/y 2 y）一+/=4,得 y=l 或 7=2,则两交点坐标为/（一4,1）,8（0,2）,当圆切的面积最小时，圆”以 为 直 径，则圆心（一 乎，!）,半 径 为 粤=1,圆 M的标准方程为（x+阴2+&一|=1.思 维 升 华（1）直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.（2）待定系数法若己知条件与圆心（a,3 和半径r有关，则设圆的标准方程，求 出 a,b,r
49、的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于，E,尸的方程组，进而求出，E,尸的值.题型二与圆有关的最值问题例 1 （1）已知4（0,2）,点尸在直线x+y+2=0 上，点。在 圆 C：f+/4x 2 y=0 上，则I*1 +I 阉的最小值是.答 案 2m解析 因为圆C-.x+y-4 x-2 y=0,故圆。是以以2,1）为圆心，半径r=/的圆.设点加0,2）关 于 直 线/+/+2=0 的 对 称 点 为（0,n）,加+0 刀+2-+2=0,/2 2 m=-4,解得 故 H（4,-2）.n-2 、=-2,m-Q 连 接 小。交圆。于 0,由对称性可知PA+PQ=A P+PQA O=A C r=
50、2y5.（2）已知实数x,y 满足方程f+/4 x+l=0,求;的最大值和最小值.解 原 方 程 可 化 为（才 2）2+/=3,表示以0）为圆心，/为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，X所 以 设 畀，即 i当直线产=履与圆相切时，斜率在取最大值和最小值,此时=小,解得k=土 木.所以?的最大值为十，最小值为一十.引申探究本例(2)中，求 三+7 的最大值和最小值.解 表 示 圆 上 的 一 点 与 原 点 距 离 的 平 方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为N 2 0?+00 2=2,所以/+7 的最大值是(2+:)2