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1、专题1.2 7 特殊平行四边形全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1.如图，在四边形ABC。中，ABCD,B C A D,且A D=D C,则下列说法：四边形4 8 8是平行四边形；A B=B C；A C 1 B D；AC平分NBA。；若AC=6,BD=8,则四边形ABCQ的面积为2 4,其中正确的有（）A.2个 B.3个C.4个 D.5个2.如图，在菱形A8CD中，直线MN分别交4B、O A C于点M、N和。.且AM=CN,连接 8 0.若 N O B C=65,则 ND4c为()C.25D.203.两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形ABCQ,则对角线BO的C.V
2、3 D.2上4.如图，在菱形中，NABC=40。，点E为对角线8。上一点，F为 仞 边上一点，连接 AE、C E、F E,若 A E=F E,Z B E C=56,则 NDEF的度数为（)A.16 B.15 C.14 D.135.如图，在 ABC中，AC=BC,D、E 分别是边AB、AC的中点，4 A D E 沿AC F E,则A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.无法确定6.如图，在RtZXABC中，D、E 分别是直角边BC、AC的中点，若 =1 0,则A3边上的中线CP的 长 为()A.5B.6C.5x/3D.107.如图，在矩形ABC。中，E尸是对角线AC的垂直平分线，分别交AB,CO于点
3、E,F,若 AB=8,AO=4,则 E F的 长 为（）A.4 B.8 C.x/5 D.2石8.如图，矩形力8CO的顶点A(l,0),3(0,2),8(5,2),将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75。之后点C 的坐标为(）A.（4,-2）B.（4衣-2 0）C.（4 0,-2）D.（2 6,-2 ）9.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=1 3,则 E尸 的 值 是（）A.128 B.64 C.32 D.14410.正方形A8CD的边长为4,点 M,N 在对角线4 c 上（可与点A,C 重合），MN=2,点 P,。在正方形
4、的边上.下面四个结论中错误的是（）A.存在无数个四边形P/WQN是平行四边形B.存在无数个四边形PMQN是矩形C.存在无数个四边形PMQN是菱形D.至少存在一个四边形PMQN是正方形11.如图，在正方形ABC。中，等边AAEF的顶点E,尸分别在边BC和 C 上，则 NAE3等 于（）A.60B.70C.75D.8012.如图，在 RtAABC中，ZBAC=9 0 ,。是 BC中点，分别以A8,AC为边向外作正方形4BEF和正方形ACGH,连接F。、H D,若 3C=10,则阴影部分的面积 是（）A.5/B.10 x/2 C.25 D.50二、填空题13.如图，矩形A B C D的对角线相交于点
5、O,DE/AC,CE/BD,已知AB=6cm,BC=8cm,则四边形ODEC的周长为 cm.14.如图，平行四边形ABC。的对角线AC与 交 于 点。，请你添加一个条件使它是15.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,2。的长分别为6,4,则 AB长为16.如图，菱形4BC。中，E、/分别是AB、4 c 的中点，若 E尸=3,则CD的长是17.如图，在矩形45CQ 中，AB=6,8 c=8,。是矩形的对称中心，点 E、F 分别在边AD.BC 上，连接 OE、O F,若 AE=BF=2,贝 iJOE+OF 的值为.18.如图，菱形ABCO的对角线AC,BZ）相交于点O,过点。作，3 c 于点H,连
6、接 O H,若。4=4,5箜.8 8=2 4,则 的长为19.如图，四边形纸片 ABCD 中，ZC=ZD=90,AD=3,BC=9,8=8,点 在 8 c 上，且 4EJ.B C.将四边形纸片ABC。沿 4 E 折叠，点 C、C 分别落在点C、W 处，CD与 AB交于点F,则 8尸长为.20.我们把宽与长的比为黄金比（苴二1）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形2ABC。中，AB8,N8=NAOC=90,AB/CD,A C =y/AD2+C D2=4 石，OA=O C =-A C =245,2是 AC的垂直平分线，：.EC=AE,OA=OC,设 EC=AE=x,则 BE=AB-AE=8-x,在
7、即AEBC 中，BE2+BC2=CE2,/.x2=42+(8-x)2,解得：x=5,：.AE=CE=5,JEF1.AC,0E=也,：AB/CD,：.Z OCF=Z OAE,ZAEO=Z CFO,:OA=OC,.40E 空OF=OE,：.EF=2OE=2后,故选：D.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂宜平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键.8.D【分析】过点8 作轴于G,过 点 C 作轴于，根据矩形的性质得到点C 的坐标,求出/COE=45。，O C=4 0,过点C 作 CELx轴于E,过点。作轴于F,由旋转得ZCOC/=75,求出NCQF=30
8、。，利用勾股定理求出。凡 即可得到答案.解：过点8 作 BGLx轴于G,过点C 作 C”_Ly轴于H,：四边形ABCO是矩形，：.AD=BC,AB=CD,AD/BC,ZCDA=ZDAB=90,：.ZHCD=ZADO=ZBAG,：/CHD=NBGA=90。,:A C H D迫AAGB(AAS),V A(1,O),0(0,2),8(5,2),，CH=AG=5-=4f DH=BG=2,：.O”=2+2=4,：.C(4,4),:.OE=CE=4,：.ZCOE=45f 0 0 4 近，如图，过点。作 CEL冗轴于E,过点。作轴于F,由旋转得NCOO=75。，ZC/OF=30,:C F=；0C 尸C=26
9、,OF=7OC,2-C,F2=2/6,.,.点0 的坐标为仅指,-2 0),故选：D.Bi【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质,熟记各知识点并综合应用是解题的关键.9.A【分析】13和 5 为两条直角边长时，求出小正方形的边长8,即可利用勾股定理得出E B 的长.解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-4E,V A=5,BE=13,小正方形的边长=13-5=8,:.E产2=82+82=128.故选：A【点拨】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.10.B【分 析】根据正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质和平
10、行四边形的判定与性质来判断即可求解.解：如图，正 方 形A8CQ中，作 线 段 的 垂 直 平 分 线 交AQ 丁点尸，交AB于。点，垂 直 平 分MN,:.PM=PN,Q M=Q N,在正方形 ABC。中，N P A N=Z Q A N=4 5。,：.ZAPQ=ZAQP=4 5 ,：.AP=AQ,.AC垂 直 平 分PQ,：.M P=M Q,四 边 形PNQM是菱形，在MN运动的过程中，这样的菱形有无数个，即存在无数个这样的平行四边形，当点M与A或 者C重合时，四 边 形PNQW是正方形，则至少存在一个四边形PNQM是正方 形，即A、C、D项说法正确，：M N=2,且当点 朋 与A或 者C重
11、合时，四 边 形PNQW是正方形，也是矩形，.不存在无数多个矩形，故B说法错误.故选：B.【点 拨】本题考查了正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形和平行四边形的判定定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键.1 1.C【分析】根据题意直接证明放八4 万丝R f A A B E，进而得C E=C F,可知/F E C =4 5。，结合等边三角形的条件，即可求得N A B.解：.四边形AB C D是正方形，A D =A B=B C =CD,Z B =Z C =Z D =9 0 ,.,AAF是等边三角形，：.AF=A E，Z A F=6 0,在 RtADF 和 RtAA B E 中=A BAF=AER
12、 t A A D F经RfA A B E (HL),D F =BE,：.C E=C F,.-Z C =9 0 ,/尸E C =4 5。，又 N A F=6 0。，Z A E B=1 8 0 0-Z A E F-Z F E C ,=1 8 0-6 0-4 5 =7 5,故选：C.【点拨】本题考查了“入证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键.1 2.C【分析】设48中点为M,AC中点为M连接力例，DN,A D.根据三角形中位线定理，平行线的性质，正方形的性质用A8表示出 AQF的面积，用AC表示出 A Q H的面积，再结合勾股定理将4 A
13、 D F与 A D H的面积相加即可求出阴影部分的面积.解：设A8中点为M,AC中点为M 连接O M,DN,AD.H.,。是8 c中点，M是A 8中点，N是AC中点，。例是 ABC的中位线，D N您X ABC的中位线.A DM/A C,D M=-A C,DN A B,DN：AB.22:./B M D=/B A C,NDNC=/BAC.ZBAC=901：.ZBMD=90,N D N O 90。,AB2+AC2=BC2.;四 边 形A3EF和四边形ACGH是正方形，：.AB=AFf AC=AH.SADF=A F -DN=A B2 f S H=AH-DM=A C xA C=*S 阴=SADE+S&A
14、DH=；AB?+；AC2=；B C-.V5C=10,1 .S/=xlO=25.故选：C.【点拨】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键.13.20【分析】根据矩形的性质得出NABC=90。，AD=BC=8cm,CD=AB=6cm,OA=OC=-AC,OB=OD=2：BD,A C=B D,求出OC=。，根据菱形的判定得出四边形OCEO是菱形，根据菱形的性质得出O=OC=CE=CE,根据勾股定理求出A C,再求出O C即可.解：四边形45C。是矩形，AB=6cm,BC=8cm,ZABC=90,AD=BC=Scm,CDAB=6cm,OA=OC=-
15、AC,OB=OD=lBD,AC=BD,2 2：.OC=OD,：DE/AC,CE/BD,，四边形OCED是平行四边形，又：OC=OD,，四边形OCED是菱形，O1AOC=DE=CE,由勾股定理得：AC-AB2+BC2=/62+82=10（cni）,.*.AO=OC=5cm,OC=CE=DE=OD=5cmf即四边形。DEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm）,故答案为：20.【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键.14.AB=AD（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形“，可以添加邻边相
16、等的条件.解：条件：AB=AD,四边形A8CC是平行四边形，AB=AD,四边形A8CD是菱形.故答案为：AB=AD（答案不唯一）.【点拨】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关犍.15.如【分析】根据菱形的性质求得。4,0 8的长，然后在HfAAOB中利用勾股定理即可求解.解：菱形A8c。的对角线AC,8。的长分别为6,4,AC BD,OA=AC 3,OB=BD=2,2 2RtMOB 中，AB=yJo+OB2=V32+22=而，故答案为：屈【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.16.6【分析】根据三角形中位线定理，求得8 C,进而根据菱形的
17、性质求得CO.解：四边形A8CQ是菱形，:.AB=BC=CD=AD,；E、F 分别是A8、AC的中点，EF=3,:.BC=2EF=6,CD=BC=6故答案为：6.【点拨】本题考查了中位线定理，菱形的性质，掌握中位线定理是解题的关键.17.2旧【分析】如图，连接，AC,B D.过 点。作丁点“交 BC于点N.利用勾股定理，求出O E,可得结论.解：如图，连接，AC,BD.:。是矩形的对称中心，六。也是对角线的交点，过点O作 0M于点M交BC于点N.四边形A8CD是矩形,，OA=OD=OB,OM_LA。，：.AM=DM-AD=-BC=4,2 2：.0M=-AB=3,2：AE=2,：.EM=AM-A
18、E=2,：.O E S=瓜同法可得：.OE+OF=2y/3,故答案为：2匹.【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.18.3【分析】由菱形面积计算公式可求得8。的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长.解：；四边形48CD是菱形，；.心2。4=8,5菱 形2=：、8。=24,.,.-x8SD=24.2:.BD=6,：D H 1 B C,。为8。的中点，.0”为直角斜边上的中线，O H=-B D =3.2故答案为：3.【点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，菱形面积等于两对角线乘积的一半等知识，掌握这
19、些知识是解题的关键.19.5【分析】根据折叠的性质可得CE=C=AD=3,则BE=8C-CE=6,勾股定理求得4?=10,证明ABFCAFD,即可求得 M =AF=5.解：V ZC=ZD=90,AEBC,AD=3,CD=8,二四边形43CE是矩形，AD/BC:.CE=AD=3,AE=CD=S.,将四边形纸片ABC。沿AE折叠，点C、。分别落在点C、以处，A CE=CE=AD=3,BC=9,BE=BCCE=6,RtAEB 中，AB=d AE。+BE。=J+62=10BC=BC-CE-CE=3=Aiy,ZFCB=ZI=90又 A。8c:.ZB=ZTIAF：.BFCAFiyBF=AF=-AB=52故
20、答案为：5【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定,掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键.20.2#)-2【分析】根据黄金矩形的定义求出A B,根据矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质求出/A 8E和/AEB,再根据等角对等边即可求解.解：.四边形48CD是黄金矩形，BC=4,.丝二叵 N A BC=90。，AD/BC.BC 2/.AB=B C x =2亚-2.2F E 平分 NA8C,：.ZABE=ZEBC=45.：.NAEB=NEBC=45。.，NABE=NAEB.：.AE=4B=26-2.故答案为：2 6-2.【点拨】本题考查矩形的性质，平行线的性质
21、，角平分线的定义，等角对等边，综合应用这些知识点是解题关键.21.3【分析】由正六边形的性质及正方形的性质可得/BCG=30。，则由直角三角形的性质可求得BG的长，从而可得AG的长.解：；六边形ABCDEF为正六边形，.ZCBG=3606=60,BC=AB=2；：四边形AGm是正方形，；.NG=90。,NBCG=90-NCBG=30,BG=-B C =-x 2 =l,2 2.G=48+BG=2+1=3.故答案为:3.【点拨】本题考查/正多边形的性质，含30度直角三角形的性质，掌握这两方面知识是解题的关键.22.52022【分析】根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的
22、面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.解：最初边长为1,面积为1,延长一次为 石，面积5,再延长一次 为 技=5,面积52=25,下一次延长为存，面积53=125,以此类推，当 N=2022时，正方形A g/m G M A g 的面积为：52。22.故答案为：52022.【点拨】本题主要考查了正方形的性质，在解题时要根据已知条件找出规律，从而得出正方形的面积，这是一道常考题.23.3亚【分析】根据题意P M +P N =P M +P H M H M Q,进而证明AABG丝AAMG,可得A =M =6,勾股定理求解即可.解：如图，作
23、M Q 1 A B,连接MH.PNLAC,AE 平分/8A C,P N =P H ,：.PM+PN=PM+PHM HMQ,即为所求，四边形A B C D是正方形正方形，AB=BC,ZABE=Z B C F ,又T CF=B E,.BAE=NCBF,.Z B A E+Z B E A =90 f/.ZCBF+ZBE4=90,AE 上 BF,ZAGB=ZAGM=90,AE平分NB4C,:./BAG =/M AG,在 d4BG与“IMG中，NABG=ZAMG/i.【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟记相关定理是解题的关键.
24、27.(1)EAF；EAF；GF；(2)E F=D E+B F,见分析；(3)Z B+Z D=180,见分析【分析】(1)根据图形和推理过程填空即可：(2)根据题意，分别证明aA G B咨/XAGF丝AEF即可得出结论.(3)根据角之间关系，只要满足NB+NO=180。时，就可以得出三角形全等，利用全等三角形的性质即可得出答案.解：(1)将4)绕点力顺时针旋转9 0 得到A 8 G,此时4 8 与 AO重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,NABG=NQ=90,A ZABG+ZABF=900+90=180,因此，点 G,B,尸在同一条宜线上，V ZE4F=45,A Z 2+Z
25、3=ZBAD-ZEAF=90-45=45,；./l+N 3=4 5 ,即 N G A f=/E 4F,又 AG=AE,AFAF,.GAF公EAF(SAS),GF=EF,HLDE+BF=EF；故答案为：EAF,/EAF,GF.(2)E F=D E+B F,理由如下:如图，延长C P,作N 4=/l.4Dd-B F C将 区 3 4 8。沿斜边翻折得到区3 4)。，点后，/分别为。C,BC边上的点，且ZEAF=-DAB,2AZ1+Z 2=Z 3+Z 5,Z 2+Z 3=Z 1+Z5.V Z4=Z1,Z2+Z3=Z4+Z5,:./GAF=/FAE.;在 AGB 和 AEO 中，Z4=Zl,AB=AD
26、9ZABG=ZADE,：.AAGBAAED.：.AG=AEf BG=DE.;在 AGF和 中，AG=AE,ZGAF=NEAF,AF=A 尸，AAGFAAEF.：.GF=EF.：.DE+BF=EF,(3)当N 3与NO满足N8+NO=I80。时，可使得。E+BE=E如图，延长C R 作N2=N1.V ZA B C+ZD=180,ZABC+ZABG=180,:/D=/A B G.在 AGB和 AED中，Z2=Zl,AB=AD,NO=NABG,AAGBAAED.：.BG=DE,AG=AE.EAF=-D A Bt2：.ZEAF=ZGAF,在 AG尸和 AE尸中，AG=AE,NGA尸=NEAF,AF=AF,：./A G F/AE F.:,GF=EF,DE+BF=EF.故当N 8与N O满足N 8+N D=180。时，可使得。【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键.