《2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练--《特殊平行四边形》全章复习与巩固(知识讲解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练--《特殊平行四边形》全章复习与巩固(知识讲解).pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题1.26 特殊平行四边形 全章复习与巩固(知识讲解)【学习目标】1.掌握矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系.2.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3.掌握三角形中位线定理.【要点梳理】要点一、矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等；(4)中心对称图形，轴对称图形.3 .面积：S矩 形=长、宽4.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.特别说明：
2、由矩形得直角三角形的性质：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，3 0度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点二、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形.3.面积:S菱 形=底、高=.对角线x 对角线24 .判定：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2 .性质：(1
3、)对边平行；(2)四个角都是直角；(3)四条边都相等：(4)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形，轴对称图形.3 .面积：S正 方 形=边长X边长=；X对角线X对角线4.判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；(6)四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、菱形如图，在QABC。中，点E,尸分别为A。，8 c 的中点，连 接 版，CE.求证：M
4、BF/CDE；(2)当A=2C,/。=60。时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由.【答案】(1)证明见分析；(2)四边形4ECE是菱形，理由见分析【分析】(1)根据平行四边形的性质得出A8=CD,ZB=ZD,进而利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定解答即可.(2)先证明四边形AEC尸是平行四边形，再证明ADCE是等边三角形，得 4E=EC,从而可得结论.解：(1)证明：四边形A8C。是平行四边形，：.AB=CD,NB=ND,AD/BC,又,点,F 分别为AO,BC的中点，AE=CF,AE/CF,四边形AFCE是平行四边形，ZAFC=ZAEC,：.NAFB=NCED,在 48
5、尸与4 COE中，NAFB=NCEDNB=ZDAB=CD:.ABFXCDE(A4S).(2)解：四边形AFCE是菱形.四边形ABC。为平行四边形，:.AD=BC,ADHBC,.AE=DE=-AD.BF=CF=-B C,2 2 .AE/CF,A E =CF,，四边形AFCE是平行四边形，A D =2DC,：.D E =DC,：ZD=60,，AOCE是等边三角形，:.D E =E C ,：.A E=E C ,四边形AFCE是菱形.【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判断方法.【变 式1】如图，在菱形ABC。中，E,尸是对角线AC上的两点，且AE
6、=C F.请判断四边形8EDF的形状，并说明理由.【答案】四边形5EQF是菱形，理由见分析【分析】根据菱形的性质及AE=B，得 到 四 边 形 是 平 行 四 边 形，结合3Z)_LEP即可确定.解：四 边 形 尸 是 菱 形.理由如下：连接B。，交AC于。，如图所示：四边形48CD是菱形，:.BDAC,AO=CO,BO=DO,.AE=CF,:.EO=FO,四边形BEDF是平行四边形，又；BDLEF.二平行四边形BED尸是菱形.【点拨】本题考查菱形的性质与判定，涉及到平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键.【变式2】如图所示，在平行四边形ABC。中，邻
7、边ARC。上的高相等，即3E=B厂.(1)求证：四边形A B 8是菱形；(2)若OB=10,A8=13,求平行四边形ABCD的面积.【分析】(1)先证 ABE丝CBF(4 A S),即有A B=C 8,则有平行四边形ABC。是菱形；(2)连接AC交BQ于点。，根据菱形的性质有ACLBD,3 0=3 8 0=5,在R s AB0中，由勾股定理得：=1 2,则菱形的面积可求.解：(1)证明：四边形ABC。是平行四边形，ZA=ZC,.邻边AO,CD上的高相等,：.BE1AD,BFCD,：.N A E B=N C F B=90。,在 ABElA C8F 中，NA=NC 2.图，四边形A8c。为矩形，A
8、C为对角线，过点。作。E L AC于点E.(1)尺规作图：过点2作AC的垂线8 F,垂足为F点.(保留作图痕迹不写作法)(2)在(1)的条件下，已知4F=4,C/=2,求 的 长.【答案】（1）见分析；（2）2亚【分析】（1）根据垂线的作法即可过点B 作 AC的垂线B F,垂足为尸点；（2）先证明AAEDgACFB,得至l4E=CF,再求出。8 与 OF的长，最后由勾股定理求得 BF的长.解：（I）如图，BF即为所求；:四 边 形 48C。是矩形，：.AC=BD,OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD/BC,：.OA=OC=OB=OD,NDAE=NBCF,V D E I AC,BF1AC,：
9、.ZAED=ZCFB=90.：.AEDWACFB,：.AE=CF,；AF=4,CF=2,：.AE=2,OE=OF=1,AC=6,；.0B=0C=3,BF=JOB2-O F2=-F=2 0 -【点拨】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质.【变 式 1】如图所示，在矩形A8CD中，E,F 分别是边A8,8 上的点，AE=CF,连接EF,BF,E户与对角线AC交于点。，且BE=BF.求证：OE=OF；(2)若 A E:E B=1:2,且 8 c =G，求 EF 的长.D F C【答案】见分析(2)2【分析】(1)四边形4BC。是矩形，
10、得 A8C。，由平行线的性质得N E 4 O N 尸 C。，ZO EA=ZO FC,又因为A E=C F,所以由AAS判定定理即可得结论；(2)过点/作 G,先由 4E=CF,AE：EB=1：2,BE=BF,求得 BF=2CF,在尸中，由勾股定理，求得C F=1,所以BE=BF=2,再证四边形8CFG是矩形，得FG=BC=+,BG=CF=1,在RdEG F中,由勾股定理求解即可.解：(1)证明：四边形A8c。是矩形，：.AB/CD,：.ZEAO=ZFCO,OEA=ZOFC,：AE=CF,：./O A E O C F(AAS),OE=OF；(2)解：如图，过点尸作FG JM 8于 G,：.CF：
11、EB=：2,；BE=BF,：.CF：BF=：2,B P BF=2CF9 ,四边形 C。是矩形，J ZBCF=ZABC=90,在放ZiBC尸中，由勾股定理，得3产=8C2+C产，/.(2CF)2=(73)2+C产，：.CF=,：.BF=2CF=2t：.BE=BF=2f*：FG L AB f：.NBG尸=90,四边形8 b G是矩形，：.FG=BC=y/3,BG=CF=f1EG=BE-BG=l,在RsEGF中,由勾股定理，得EF=4EG+FG1=J1+(可=2答：尸的长为2.【点拨】本题考查矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键.【变式2】如图，将
12、矩形纸片A8CD的四个角向内折叠，EH,EF,FG,GH别为折痕，其中点A,B落在点J处，点C,D落在点K处，且点H,J,K,F在同一直线上.(1)四边形EFG”的形状为.Af-J 4（2）若=，JK=y/2，则 AB=U r i 4【答案】矩形；476.【分析】(1)由题意，由折叠的性质得到N 田=1zB E/,则得至ljZWF=90,同理可求NEFG=NFG=90。，即可得到结论成立；(2)设A”=3x,D H=4x,则求出x=0,得到A4和。，的长度，然后证明EFJ=GHK,从而求出4 F的长度，过点作4U B C于点/,贝lj BI=AH,求出F/的长度，再利用勾股定理，即可求出答案.
13、解：(I)根据题意，由折叠的性质，ZHEJ=-NAEJ,NFEJ=-NBEJ,2 2Z.ZHEJ+ZFEJ=-ZAEJ+-ZBEJ=-x(ZAEJ+ZBEJ)=1 x 180=90,2 2 2 2即 NHF=90。，同理可求：ZEFG=9O。,ZFGH=90,.四边形EFGH是矩形；故答案为：矩形；*一,DH 4设 A/7=3x,DH=4x,由折叠的性质，则HD=HK,;JK=HK-HJ=HD-AH=0，4x-3x=V2 解得：x=/2,:.AH=3 0 ,DH=4y/2;由(1)可知，四边形EFGH是矩形，：.EF=HG,EF/HG,：.NEFJ=NGHK,NEJF=NGKH=9G0,：.2
14、EFJW2GHK,：.FJHK,：HD=HK,FB=FJ,：.HD=HK=FB=FJ=4/2;*HF=HK+FJ-JK=4y/2+4-f2=ly/2，如图，过点”作H/LBC于点/,则/=A8,BI=AH,FI=BF-BI=442-342=42在宜角A/W中，由勾股定理则HI=q FH。-F=J(7&)2(扬2=4 8.*-AB=46:故答案为；4瓜【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意.类型三、正方形.如 图，正方形ABCD中，M是其内一点，ZCMB=9 0 ,将8M绕点8顺时针旋转90。至8 N,连
15、接4 0、CN、A N,延 长 交4V与点E,交 与 点G.(1)在图中找到与A 相等的线段，并证明.(2)求证：E是线段AN的中点.AB【答案】(1)AM=C N,证明见分析(2)证明见分析【分析】(1)根据旋转的性质得出3M/MBN=90。,再根据同角的余角相等可得/A B M C B N,进而得出八钻加也CBN,AM=CN.(2)作辅助线，过 A 作 APJLBG,证明 ABMC和4 g 8 E N,可得E 为AN中点.解：(1)4 W=C N,理由如下：证明：:BM绕B 顺时针旋转90得 BN:.BM=BN,NMBN=90。正方形ABC。：.AB=BC,ZABC=90=ZABM+Z M
16、BC丁 ZMBN=90=ZMBC+Z CBN：,NABM:NCBN：.在/ABM 冬 M B N 中AB=BC ：妾C 8 F；(2)由正方形性质及勾股定理可求得8 D=A C=8,0 0=8 0=4.再证明四边形B E D尸为菱形，因为A E=C F=2,所以可得0 E=2,在心力。E中用勾股定理求得O E的长，进而四边形BEDF的周长为4 D E,即可求得答案.解：(I)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：ZD A E=ZB C F=45,在A4OE和ACB尸中，A D =B CA B2+A D2=4亚+(4 卧=8，由正方形对角线相等且互相垂宜平分可得：A C=B D=S,D O=B
17、 O=4,OA=OC=4,又 AE=CF=2,O A -AE=OC-C F,即 O E=O F=4-2=2,故四边形3EDF为菱形.：ZD O E=90,*-D E =/DO2+EO2=A/42+22=275 .4D E=S yjs,故四边形8EO尸的周长为8石.【点拨】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质,熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键.【变式2】如图，在正方形ABC。中，E 为对角线AC上 一 点(A E C E),连接8E,D E.求证：B E =DE；(2)过点E 作 E F LA C 交 BC于点凡 延长BC至点G,使得CG=8 F,连接。G.
18、依题意补全图形；用等式表示BE与。G 的数量关系，并证明.D【答案】见分析见分析；DG=4IBE【分析】(1)根据正方形的性质可得AB=A。，NBAE=ND4E,依据SAS证明A4BE=AADE即可得出结论；(2)根据题中作图步骤补全图形即可；连接E G,证明AfiE尸三ADEG,得GE=BE,NBEF=NGEC,由(1)得。E=EG,NOEG=90。，再运用勾股定理可得出结论.解：(1)：四边形ABC。是正方形，AD=AB,ZBAD=NBCD=90,AC是正方形的对角线，/.ZBAC=ZDAC=ZBCA=-x90=45,2在仆人的和 AZ史中，-AD=AB-NDAE=ZBAEAE=AE,/.
19、ABE=ADE,：.BE=DE；(2)补全图形如下:连接G E,如图,：EF 1AC,ZECF=45，NEFC=45,/.Z ECF=ZEFC,.EF=EC,NEFB=NECG=135,又 BF=CG,：.BEF=AGEC,BE=GE,NBEF=ZGEC,：.GE=DE,由（1）知：ABE=MDE.,；./AEB=ZAED,：.Z BEC=ZDEC,即 Z BEF+ZFEC=ZGEC+ZDEG,:.N DEG=ZFEC=9（f由勾股定理得，DG2=DE2+GE2,DG-=2GE2=2BE2,DG=6BE.【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识,证明A4BE=
20、是解答本题的关键.类型四、特殊平行四边形综合.如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，四边形A3CO是菱形，点A的坐标为(-3,4),点c在X轴的正半轴上，直线AC交y轴于点，A3边交y轴于点”，连接BM.(1)填空：菱形A8CO的边长=(2)求直线AC的解析式；(3)动点尸从点A出发，沿折线A-3-C方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设 P M 8 的面积为S(S *0)，点户的运动时间为f 秒，当0 /?时，求S 与f 之间的函数关系式；【分析】(1)在 R。A O H中利用勾股定理即可求得菱形的边长；(2)根 据(1)即可求的OC的长，则 C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求
21、得直线 4c的解析式；(3)根据求得用到直线8 c的距离为人 然后分成P在 A 8上和在B C 上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解.将5=2 代入中的函数解析式求得相应的t的值.解：(I)、点A的坐标为(3,4),：.AH=3,HO=4在/?/A O H 中A O =JAH2+O H2=-V32+42=5 故答案为：5；(2)：四边形ABC。是菱形，AOC=OA=AB=5,即 C(5,0).设直线A C的解析式产履+b,函数图象过点A、C,5女+人=0 3k+b =4 k=-2解得，b=-2 直线A C的解析式为y =-1 x+|,(3)由y =_：x+,令x =0，y =|,则则0 M
22、=1,当0 4 V g时，5 3B P=B A-A P=5-3tf HM=O H-O M=4 =一，2 2I i 3 9 I SS =-B P H M =-x-x(5-3t)=f +2 2 2 v 7 4 4设M到直线B C的距离为h,：.SAABC=SAAMB+SBMC=-A B O H=-A B HM +-B C M2 2 2x 5 x 4 =x 5 x +x 5/z2 2 2 2解得力q当,r ,理由见分析；【应用】叵2【分析】【猜想】利用SAS证明ABA。丝 C 4 F,得出8 C=C F,然后根据线段的和差关系可得结论；【探究】利用SAS证明54。gACA F,得出B D=C F,然
23、后根据线段的和差关系可得出结论；【应用】利用SAS证明ABA。丝AC A F,得出8=CF,Z A C F=Z A B D=135,求出ZD C F=90,在汝ADC尸中利用勾股定理求出O F,利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论.解：【猜想】C D=B C-C F,理由如下:V ZBAC=90,AB=AC.：.N4BC=NACB=45。，,四边形A拉石尸是正方形，：.AD=AFt ZDAF=90=ZBACf：.ZBAD=ZFACf在 ABA。和 C4/7 中，AB=AC ZBAD=ZCAF,AD=AF 84。g CAb(SAS),:BD=CF,:CD=BC-BD,：.CD=BC-CF：解：
24、【探究】CF=BC+C D,理由如下:V ZBAC=90,AB=AC,：.ZABC=ZACB=459 四边形A3EF是正方形，A AD=AF,ZDAF=900,：.ZBAD=ZBAC-ZDAC1：.ZCAF=ZDAF+ZDACt在A 84。和4 CAF中，AB=AC=180-45=135,/FCD=/ACF-N ACB=90,为直角三角形，：AB=O,BC=42AB=2，:.CD=BC+BD,：.CD=BC+CF=2+=3,*-DF=7DC2+CF2=V32+12=V io，;正方形AQEF中，。为O F中点，.1 p Vio CO=DF=-,2 2故答案为：叵.2【点拨】本题是四边形综合题，
25、主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，宜角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题.【变式2】已知正方形A B C C,点E在边BC上，连接A,B F Y A E,交AE于点G,交CD于点F.BAA(1)如图1,求证：AE=BF；(2)如图2,AC、8。交于点。，AE交 于 点M,AC交BF干点、N,M P L A E,交.CD于点P,PQLBD于点Q,连接PN,OMBM,在不添加辅助线的情况下，请你直接写出与线段相等的所有线段(除线段8M外).【答案】(1)见分析；(2)CN,PN,0Q【分析】(I)由“ASA”可证 BAE
26、丝C 8 F,可得4E=3F；(2)利用全等三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质可得BM=CN=PN=OQ.解：(1)证明：,：B F LA E,四边形ABCQ是正方形，NAGB=NA8E=/BCO=90。，ZBAE+ZAEB=900=ZAEB+ZEBF,：.NBAE=/EBF,在4 8 4 和4 C8尸中，2BAE=NEBF45,在4 4 8/0和4 BCN中,/B A E =/C B N,得到矩形8 E/G,点 4、D、C 的对应点分别为E、F、G.(1)如 图 1,当点E落在CD边上时，求 OE的长；(2)如图2,当点E 落在线段。尸上时:B E 与 C D 交于点、H.求证：&A
27、 B D 空A E B D；求。的长.(3)如图3,若矩形ABC。对角线ACB。相交于点P,连接PE、P F,记APEF面积为S,请直接写出S的最值.【答案】(l)DE的长为8-2近；(2)见分析；D H=；(3)9S,2可以将PO-CWJ/M2作出改变，得 至iJ；CE2-C2+也 8产。=0,最后再将C f O+O E2代2 4入得出猜想.解:(1)证明：.AD=DC,NADB=NCDB,OP是zUOP和ACDP的共同边，根据边角边定理，与 CDP是全等三角形，：.AP=CP.图证明：过点P作A。的垂线，交于点例，作CD的垂线，交于点MA8C。是正方形，8。是对角线，二四边形PMEW是正方
28、形，:.PM=PN,ZMPN=90,PEL PC,:.NMPE+NNPE=9Q,NNPE+NNPC=9。,：.ZMPE=ZNPC,PM LAD,PNLCD,：.NPME=NPNC=90,根据角边角定理，：.AMPEAPCN,：.PE=PC.图 解：连接CE.PCE是等腰直角三角形，J.PC2+PECE2,，丝弓CP,DPN是等腰直角三角形，：.PD2=2DN2,W=PD,2DN=PN,代入前面的数量关系得PG-CM=OM,如图，CN+0N=C。代入上式得：3CB-CD2+立CDPD=Q,24 在 Rm CDE 中，CE?=C%DE7,万：.DE?+CD PD=Ciy,2:.CD、DE、之间的数
29、量关系是。厅+CDPDCiy.2【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质及判定.熟练运用正方形的性质及全等三角形的性质及判定并能准确画出辅助线是正确解题的关键.【变式2】（1）【探究发 现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系.已知正方形A5C。的对角线AC长为“，则正方形ABCQ的周长为,面积为（都用含。的代数式表示）.(2)【拓展 综合】如 图 1,若点M、N 是某个正方形的两个对角顶点，则称、N 互为“正方形关联点“，这个正方形被称为M、N 的“关联正方形”.在平面直角坐标系X。)，中，点 P是原点。的“正 方 形 关 联 点 若 尸(3,2),则。、尸的“关联正
30、方形”的周长是;若点P在直线y=-x+3 上，则0、P的“关联正方形”面积的最小值是.16.如图2,已知点点5 在直线/：y=-1 x+6 上，正方形4P8Q是A、BI 2 2J 4的“关联正方形“，顶点户、。到直线/的距离分别记为。和万，求/+加的最小值.【答案】2&。；J?；(2)25/26;g;(3)-.Z4 o【分析】(1)根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得边与对角线之间的关系，从而求解.(2 )先根据两点间的距离公式求出。户的长度即为对角线的长度，再利用上题的结论进行正确计算即可.分别过点P、。作/的垂线，构造出两个全等的三角形，把两点到直线的距离转移到同一个直角三角形中
31、，再根据“垂线段最短 得出当A8_L/时，4B最短，当A 8最短时，B P最短，B产=6?+从，再根据同一直角坐标系中互相垂直的两条直线斜率乘积得-1求出直线A 8的解析式，再求出直线A 3与直线/:y =-J x+6 的交点坐标，然后求出两点距离，再除以 2 即可.解:(1)【答题空1-1如图所示，；四边形ABC。是正方形，：.ABAC=ZBCA=45,4 f八-3 AC 伍C _缶 AB B C CD A D 产=-，y2 2 2正方形ABC。的周长为：4x叵=2&Q,2故答案为：2-Jia；【答题 空 1-2.nr/八.八 4 c j2a.AB=BC=CD=AD=f=-=-,及 2 2故
32、答案为：:2(2)【答题空2-1】,/P(3,2),:3=&+方=屈,二由匕题可知，此时的周长为2&*屈=2,故答案为：；【答题空2-2】若点P 在直线y=-x+3 上，由“垂线段最短可知，当 0 p 垂直于直线y=-x +3时，0 P 最短，此时。、P 的“关联正方形”的面积最小，此时P(j,1),0 尸=迪，2 2 2,0、P 的“关联正方形”的面积最小值为13 x3 =j9,9故答案为：；4(3)如图，过点尸作尸M_L/于M,过点。作。M L/于M NPMB=NQNB=90,；NMPB+NPBM=90,NPBM+NQBN=90。,：./M PB=/Q B N,：PB;QB,：.ABPMmQBN(AAS),；BM=QN,K P PM=a,BM=b,在 Rm BPM 中，BP2=BP2+BM2=a2+h2,在/?/ABP 中,AB2=BP2+AP2=2BP2,.当AB最小时，BP最小，片+从 最小，设直线A 8为y=h +。，4 ：g，将点(A 3-3K、与 代入，可得4 7J、乙 乙)3 乙3工 6y=x+o x=联立，得：“4 解得，:，4 7 51y=-x+y=一32 1/10此时两宜线交点5为g,施，A?=+|)2 +舄 一 步=弓，备用图【点拨】本题主要考查正方形的性质及一次函数的性质、勾股定理.熟练运用这些知识点构建相对应的数学模型是正确解题的关键.