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1、专题1.13特殊平行四边形动点问题（专项练习）一、单选题类型一、菱形动点问题1.如图，在菱形ABC。中，P 是对角线AC上一动点，过点P 作于点E,PFLA8于点F.若菱形A5CD的周长为2 0,面积为2 4,则 P E+P F 的值为（）2.如图，在菱形4BCO中，4 8=4,点 f 是 C。边上一点，且。尸=1,点 E 是 8 c 边上的一个动点，M、N 分别是线段AE、AF的中点，连接E F和 M N,当点E 在 BC边上从点8 向点C 移动时，线 段 的 最 小 值 是（）A.1 B.1.5 C.2 D.33.如图，在Q4BCQ中，对角线8_LA。，AB=16,Z A=6 0,。为的中
2、点，E为边 A 8上一动点，以2cm/s的速度从A 点向8 点运动，运动时间为f s,连接EO并延长交CD于点F,连接D E、B F,下列结论不成立的是（）A.四边形QEBF为平行四边形C.若 f=2,则四边形。EBF为矩形B.若 f=4,则四边形OE8F为菱形D.若 f=6,则四边形OEBF为正方形4.如图，点。为矩形4 5 8的对称中心，动点尸从点A出发沿A8向点B移动，移动到点B停止，延长尸。交8 于点Q,则四边形APC。形状的变化依次为（）A.平行四边形一矩形一平行四边形一矩形B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形C.平行四边形一矩形一菱形一矩形 D.平行四边形一菱形一平行四边形类型二
3、、矩形动点问题5.如图，在矩形力BCD中，AB=3,BC=5,点、E为CB上一动点、（不与点C重合），将 C0E沿OE所在直线折叠，点C的对应点。恰好落在AE上，则CE的 长 是（）A.0 B.1 C.2 D.736.如图，矩形48co中，P为AB边上一动点（含端点），E为CO中点，尸为CP中点,当点P由8向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（）C.先变大后边小B.由大变小D.先变小后变大7.如图，四边形A8CO是矩形，点。是BC边上的动点（点。与点8、点C不重合）,则ZBAD+ZDOCZADO的 值 为（)A.1 B.1 C.2 D.无法确定8.如图，在矩形ABC。中，AB=5,B C
4、=6,前 M,N 分别在AO,BC上，且 AM=BN,AD=3AM,E 为 B C 边上一动点,连接。E,将 OCE沿 E所在直线折叠得到 O C E,当C 点恰好落在线段MN上时，CE的 长 为（）5 5 3 3A.士或 2 B.-C.士或 2 D.-2 2 2 2类型三、正方形动点问题9.如图，正方形ABC。的面积为25cm2,点E 为 边 上 一 动 点，点尸为。边上一动点，连接AE、相，点E 和点F在运动的过程中始终保持F=45。,则b C E F的周长（）A.10cmB.8cmC.6cmD.4cm10.如图，已知正方形ABC。边长是6,点 P 是线段8 c 上一动点，过点。作 OEL
5、AP于点E.连接E C,若 CE=C D,则1）的面积是（）A.1 8B.4 屈C.6 7 3D.1 4.41 1.如图，在边长为6的正方形A B C。中，P是边AO的中点，E是边A 8 上的一个动点（不与A重合），以线段A E 为边在正方形内作等边 A E F,M是边E 尸的中点，连接P M,则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A.也 B.辿 C.D.32 21 2 .如图，在正方形有A88中，E是 A 8 上的动点，（不与A、8重合），连结。E,点A关于。E的对称点为凡 连结E 尸并延长交B C 于点G,连接。G,过点E作EH LD E交OG的延长线于点H,连接3”,那 么 空 的 值
6、为（）类型一、菱形动点问题c.GD.21 3 .如图（1）是一张菱形纸片，其中N A =1 3 5。，AB=y/3 +l,点 E为 8 c 边上一动点.如图（2）,将纸片沿A E 翻折，点 8的对应点为8 ;如 图（3）,将纸片再沿A*折叠，点 E的对应点为E .当A E 与菱形的边垂直时，B E 的长为.14.如图，在菱形A8C 中，ZABC=120,对角线AC、BO交于点O,B D=4,点 E为 0。的中点，点尸为AB上一点，且 A F=3B F,点 P 为 AC上一动点，连接PE、P F,则PF-PE 的最大值为 一.15.如图，已知等边三角形ABC绕点B顺时针旋转60。得到AC M,E
7、,尸分别为线段AC和线段C力上的动点，且 AE=B,有以下结论：四边形AB0C为菱形；ABEm CBF；R E F为等边三角形；Z C F B =Z C G E.其 中 正 确 结 论 有.（填序号）16.如图，点 E 是菱形ABCZ）边 AB的中点，点 F 为边AO上一动点，连接E F,将 AEF沿直线EF折叠得到 A E F,连接AT）,AC.已 知BC=4,Z B=1 2 0,当4 8 为直角三角形时，线段AF的长为类型二、矩形动点问题17.如图，矩形A8C。中，A8=3,AO=5.点 E 是 BC边上一动点，连接AE.WA ABE沿 AE翻折得到AAE凡 连接。凡 当 尸 的 面 积
8、为|时，线段BE的长为.18.己知矩形ABC。中，AB=f.点 E 为 AO上一个动点，连 接 C E,将(7沿 CE折叠，点。落在点尸处，当点尸为线段AB的三等分点时，AE的长为19.如图，矩形4 8 c o 中，AB=6,AD=8,动点E、F 分别从点A、C 同时出发，以相同的速度分别沿A。、CB向终点。、3 移动，当点E 到达点。时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BP，垂足为点P,连接C P,则CP长 的 最 小 值 为.20.如图，矩形ABC。中，AB=6,B C=8,点 E 是 CB上的一个动点，把 )(；：沿。E折叠，若点C 的对应点C 刚好落在线段A B的垂直平分线上，则C E
9、的长度为类型三、正方形动点问题21.如图，在正方形ABCD中，点 尸，。分别是AB,AD的中点，点 E是 CO边上一个动点，连接P E,将四边形尸8CE沿 PE折叠，得到四边形PEFH.(1)若P,H,。三点在同一条直线上，则N8PE的大小为；(2)若AB=2,则F,。两 点 的 连 线 段 的 最 小 值 为.22.如图，正方形ABC。的边长为3,点G在边4。上，G D=1,G”_LBC于点H,点E是边AB上一动点(不与点A,B重合)，EELC O于点F,交 GH于点Q,点。、P分别是E 4和GQ的中点，连接0 P,则线段0 P的长度为.23.如图，在边长为4的正方形ABC。中，E、尸分别是
10、边BC、DC上的动点，且=4,。为E尸中点，P是边AD上的一个动点，贝I PQ+PB的 最 小 值 是.24.如图，正方形ABC。中，点E为BC边的中点，点P为边A8上一个动点，连接PE,以PE为对称轴折叠P5E得到 P F E,点B的对应点为点凡 若AB=2,当射线E尸经过正方形A8CE边的中点(不包括点E)时，BP的长为.三、解答题25.如图，将正方形A08C放在平面直角坐标系中，点。是坐标系原点,A 点坐标为(-1,3).(1)求出点8、C 的坐标:(2)在 x 轴上有一动点Q,过点Q 作 PQ_Lx轴，交 8 c 于点P,连接A P,将四边形AOBP沿 AP翻折，当点。刚好落在y 轴上
11、点E 处时，求点尸、力的坐标.2 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=4 c m,动点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿A B向点B 移动，同时，点 Q 从点C 出发，以 lcm/s的速度沿C D 向点D 移动(点P 到达点B 停止时，点 Q 也随之停止运动)，设点P 运动时间为t 秒.(1)试求当t 为何值时四边形APQD为矩形；(2)P、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm.2 7.已知矩形ABC。中，E 是 AO边上的一个动点，点、F,G,”分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证：ABGF以FHC；(2)当E 是 AO的中点时，四边形EHFG是什么样的特殊四边
12、形？请证明你的结论.28.如 图，在菱形ABCZ)中，A8=6,/D 4B=60。，点 E 是 AO边的中点，点 M 是 AB边上一 动 点(不与点A 重合)，延长ME交射线C。于点N,连接 ,AN.(1)求证：四边形AA/W是平行四边形；(2)填空：当AM 的值为 时，四边形AMDN是矩形；当AM 的值为 时，四边形AMDN是菱形.N D CAM B参考答案1.B【分析】连接BP,通过菱形ABC。的周长为2 0,求出边长，菱形面积为2 4,求出SA8c的面积,然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC,即可求出P E+P F 的值.解：连接8尸，如图，菱形A8C力的周长为20,，A8=8C
13、=20+4=5,又；菱形ABC。的面积为24,：.SABC=242=2,又 SABC=SABP+SCBP：.SABP+SCBP=12,：.-ABPF+-BCPE=2,2 2：AB=BC,：.AB.(PE+PF)=2：AB=5,2 24：.PE+PF=12x-=.5 5故选：B.【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值.2.B【分析】利用三角形中位线性质求解即可.解：N 分别是线段AE、A尸的中点,M N =-E F ,2.点E 在 BC边上从点8 向点C 移动，当点E 运动到点C 的位置时，E尸最小，此时，EF=4-1=3,线段A/N的
14、最小值为1.5.故选：B【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E 运动到点C 的位置时EF最小是解答此题的关键.3.D【分析】由。A8C。，得 EB/FD,再证 BOEDO F(A A S),得 BE=DF,即可得出四边形 BEDF是平行四边形，可以判定A；当片4 时、则 AE=2仁8,证AADE是等边三角形，DE=AE=8,再因四边形D E B F是平行四边形，所以四边形D E B F是菱形，可判定B；当0 时，则AE=2 t=4,同理可得四边形OEBF是菱形，可判定C；当 f=6 时，则AE=2f=12,在AE上截取AG=A=8,连接。G,证/8 ：6 1 2 0。，90。，所以四
15、边形OEB不可能是正方形，可判定D.解：A、:口ABCD,：.AB/CD,B P EB/FD,：.N B E O=N D F O,Z E B O=Z F D O,:OB=OD,：./BOEb.DOF(/L45),BE=DF,四边形BEDF是平行四边形，故此选项正确，不符合题意；B、当尸4 时，则 AE=2k8,：A D LBD,：.ZADB90,在 m AAB。中，ZADB=90,ZA=60,：.ZABC=30,：.AD=AB=S,：.AD=AE,.AOE是等边三角形，,/四边形OEBF是平行四边形，四边形D E B F是 菱 形;故此选项正确，不符合题意；C、当片2 时，则AE=2z=4,.
16、AE _4_1 AD _ 8 _1-=,-,AD 8 2 AB 16 2AE=A D ：，/ADE/ABDt：.ZAED=ZADB=90,：.NBED=9V,四边形。防尸是平行四边形，四边形O 尸是矩形；故此选项正确，不符合题意；D、当=6 时,则 AE=2/=12,在 AE上截取AG=A D=8,连接。G,如图,*/N4=60。，ZkAOG是等边三角形,ZAGD=60,，ZAED120V90,四边形D E B F不可能是正方形;故此选错误，符合题意；故选：D.【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形
17、的判定是解题的关键.4.B【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形A P C。的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形.解：观察图形可知，四边形A P C Q 形状的变化一次为：平行四边形一菱形一平行四边形一矩形故 选:B.【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键.5.B【分析】由矩形的性质得出/B=/C=9 0。，AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得C O=C =3,C E=C E,由勾股定理得出AC,在放A A B E 中
18、，由勾股定理得出方程，解方程即可.解：；四边形4 8 C D 是矩形，：.ZB=ZC=90,AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得：CD=CD=3,CE=CE,ZDCE=ZC=90,：.N 4C O=9 0,.AC-7 A D2-C D2=4,设 CE=CE=x,在 R f Z i A B E 中，BE=5-x,AE=x+4,由勾股定理得：(5-x)2+32=(x+4)2,解得：I,故选：B.【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.6.B【分 析】连 接。P，则E尸为 CDP的中位线，当 点P由8向4运
19、动时，。尸由大变小，利用中位线的性质即可得到结论.解：连 接OP,:E为CD中点,F为C P中点,:.EF为4 CDP的中位线,；.EF=DP,在放尸中，由勾股定理得,DP=yjDA2+AP2 当 点P由8向A运 动 时，A P的长度逐渐减小，.CP减 小，尸由大变小，故 选：B.【点 拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接。P,构造三角形中位线.7.A【分 析】过 点D作DEHAB交A G于 点E,由平行的性质可知NAW=N，ME,NLOC=NODE,等量代换可得NBAD+NDOCZADO的值.解：如 图，过 点D作DEHAB交A 0于 点E,四边形A3C0是矩形/.AB/
20、OC.DE/ABABHDE,DE/OCZBAD=ZADE,ZDOC=NODE/BAD+/DOC/BAD+/DOC/BAD+/D O C,ZADO ZADE+ZODE ZBAD+ZDOC故选：A.【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.8.B【分析】由矩形的性质得到CD=AB=5,AD=BC=6,NA=90。,根据已知条件推出四边形MNCO的矩形，得到NDW V=/M NC=90。，M N=C D=5,根据折叠的性质得到CD=CO=5,CE=CE,根 据 勾 股 定 理 得 到飞CD。-M D?=旧-4?=3,再由勾股定理即可得到结论.解：设 C E=x,则 CE=x,
21、矩形 ABC。中，AB=5,BC=6,：.CD=AB=5,AD=BC=6,AD/BC,:点 M,N 分别在 AO,8 c 上，且 34M=A,BN=AM,:.DM=CN=4,四边形CDMN为平行四边形，：ZNCD=90,；四边形MNCO是矩形，:.NDMN=NMNC=90,MN=CD=5由折叠知，CD=CD=5,：.MC=yJCD2-MD2=5/52-42=3,C N=5-3=2,:EN=CN-CE=4-x,：.CE2-NE2=CN2,Ax2-(4-x)2=22,解得，X=，即C E=4.2 2故选：B.【点拨】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.
22、9.A【分析】先根据正方形的性质得A8=AO=5cm,ZBAD=ZB=90,把 AO尸绕点A顺时针旋转90。可得到A A B G,接着利用“SAS”证 明4G丝得到EG=EF=BE+DF,然后利用三角形周长的定义得到 CEF的周z=CE+CF+BE+DF=CB+CD,由此即可解决问题.解：四边形ABC。为正方形，：.AB=AD,ZBAD=ZB=W,又正方形A BCD的面积为25cm2,:.ABBC=CD=DA=5cm.把AAO尸绕点A顺时针旋转90。可得到 A B G,如图，：.AG=AF,BG=DF,ZGAF=90,NABG=N8=90,.点G在CB的延长线上，：ZEAF=45,：.ZEAG
23、=ZGAF-ZEAF=45,：.ZEAG=ZEAF,在AEAG和ZiEA尸中，AE=AE NEAG=NEAF,AG=AF：.EAGEAF(SAS),：.EG=EF,而 EG=BE+BG=BE+DF,:.EF=BE+DF,：.ACEF 的周长=CE+CF+8E+QF=CB+CQ=5+5=10cm.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题.10.D【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到AACE和ADCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到。F和。E的关系，再根据勾股定理可以得到。产的值
24、，然后即可计算出 CE的面积.解：作CFLEO于点尸，如图所示,四边形48CD是正方形，：.AD=DC,NCD4=90。，：.ZADE+ZFDC90,：CFLDE,CD=CE,：.EF=DF=DE,ZCFD=90,.,.ZFDC+ZDCF=90,，NADE=NDCF,在4O E 和ADCF中,NAED=ZDFC=EN,再说明 B N H是等腰直角三角形，可得结论.解：如图，在线段AD上截取A M,使AM=AE,：.D M=BE,:点A关于直线DE的对称点为F,：.A D E F D E,:.D A=D F=D C,N D F E=N A=90。,Z1=Z2,N D F G=90。,在 R t&
25、D F G 和 R t4 D C G 中，:.R t4 D F G安R tA D C G (H L),A Z 3=Z 4,:ZxADC=90,AZ1+Z2+Z3+Z4=9O,A2Z2+2Z3=90,AZ2+Z3=45,KPZEDG=45,:EH1.DE,/.ZD/7=90,OEH是等腰直角三角形，.NAED+NBEH=NAED+N 1=90。,DE=EH,：N1;NBEH,在 。”后和 EBH中,DM=BE./2 372+76 限26 3当AE _L AB时，如图2,即/BAE=90,图2Z BAE=NBAE=NBAE=30,过点 E 作 EG_L AB 于点 G,贝 lj EG=BG,AG=
26、&EG,又：AB=BG+AG,A/3+l=EG+N/3G,，EG=1,.BE=y/2 EG=y2 综上，8 E的长为 坐 或 正，故答案为：乎 或0.【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键.14.1【分析】取0 8中点少，连 接 作 射 线F E交4 c于点P.贝当P与P重合，PE、F三点在同一直线上时，P F-P E有最大值，即为F E的长.解：如图，取 中 点E,连 接PE1,作射线厂E交4 c于点P.则 PE=PE,：.PF-P E=P F -PE,即四边形A8CD为菱形故正确.在和ACS尸中，AB=CB90。时，取
27、 CC中点H,连接A77,AH=-CD=DH,2:四边形A 8 co 是菱形，E 为 A 8中点，A AE=A B =C D A H ,ZA=180-Zfi=60,ABCD,由折叠的性质可知AE=AE,AF=A F,ZA E F ZA E FA E+A H =AB=AD,连接E,V AE=DH=AH,A E/D H四边形AEHD是平行四边形，；.NAEH=NB=120。,AD=EH,.由三角形三边的关系可知，当点A 不在线段EH上时，必有AE+A”EH=AD，这与 A77+AE=CD=A 矛盾，:.E、A H三点共线,ZAEF=NAEF=60。,.AEF为等边三角形，A F A E =-A B
28、 =-B C =2；2 2图1如图2 所示，当NArC=90。时，连接8),E D,过点尸作/GJ_A8于 G,；/A8C=l20。，四边形A8CO是菱形，：.AB=AD9 ZA=60f ABO是等边三角形，E是A 8中点，：.DEA.AB,：.ZADE=30f：.ZEDC=90,此时D、A、E三点共线，由翻折的性质可得ZAEF=ZAEF=45,VFG1AE,ZA=60f NAEF=45。,A ZAFG=30f ZGFE=45,：.AF=2AG,EG=FG,.FG=ylAF2-A G2=A F,2/AE=AG+GE=-A B =-B C =2t2 2 1 Ar i 百 A口 i AF H-AF
29、=2，2 2：.AF=2超-2,故答案为：2或2 G-2.图2【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.1 7.逑2【分析】过点F作AQ的垂线，交A）于例，交8 c于N,求出AM长，再根据勾股定理列出方程求解即可.解：过点尸作AD的垂线，交AZ）于M,交8 c于M由翻折可知，A8=A尸=3,BE=EF,.49F的面积为|,：.-ADFM=-,2 2：AD=5,AM=lAF2-FM2=2&，NABN=NBAN=/AMN=90。,四边形
30、AMNB是矩形，/.AM=BN=2V2，/BNM=90，AB=MN=3,:.FN=MN-FM=2,，BE2=(2y/2-BE)2+12 f解得，BE=圭也，2故答案为：史1.2【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长,利用勾股定理列方程.18.O【分析】1 2根据题意可求出BF=：AB=2,AF=-AB=4.再根据折叠的性质和矩形的性质可得3 3出C尸=8=48=6,D E=E F,从而可利用勾股定理求出AO=8C=4 j L设=则OE=EF=4应-x.在RJAEF中，再次利用勾股定理即可列出关于x的等式，解出x即得出答案.解：；4 8=6,点 F 为线段A
31、5的三等分点，/.BF=-A B 2,AF=-A B 4,3 3根据折叠和矩形的性质可得出C尸=CD=6,DE=EF,AD=8C=JC 产-8产=4 0 .设 AE=x,则。E=7?=4&-x.;在 RIAAEF 中，AE2+AF2=EF2,/.X2+42=(4 7 2-X)2,解得：x=0 .*A E=C.故答案为：夜.【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识.利用数形结合的思想是解题关键.19.4【分析】因为E尸不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EFJ_8c时,即，E、F 分别是A。、8 c 的中点时，CP取得最小值，此时P 与尸重合，即可求解.解：动点E、F 分
32、别从点A、C 同时出发，以相同的速度分别沿A)、CB向终点。、8 移动，：.AE=CF不论如何运动，E F的中点始终在矩形的对角线的交点上，.当7tLBC时，即，E、尸分别是4 0、8 c 的中点时，CP取得最小值，此时尸与 尸重合，：.CP=-BC=42故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P 的位置是解题的关键.20.2下)【分析】利用垂直平分线的性质得出CC=EC=)C,则力C C 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案.解：如下图，连 接，.点C 在 A 8的垂直平分线上，.点C 在 OC的垂直平分线上，：.CC=D C =D C,则 Q C C 是等边三角形，设 C
33、E=x,易得 DE=2 x,由勾股定理得：(2 x)2 .2=6 2,解得：x=2 i,(负值舍去)故答案为：2 出【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明 D C C 是等边三角形.2 1.6 7.5 后一 6【分析】(1)易得4 4 尸。=4 5。，利 用 翻 折 的 性 质 得 到=6 7.5。；(2)连接 P。，PE,P C,易证 A P B C 咨A P H F ,得到尸 F =P C =J ，PQ=E，当P,Q,尸 在 同 条直线上时，尸。最小，计算可得.解：(1)如 图 1,易得N A P Q =4 5。，Z B P E =N H
34、 P E=6 7.5,故答案为：6 7.5；(2)如图 2,连接P Q,PE,PC,易证A P B C m PHF,:.PF=P C =&PQ=五,当P,2,尸在同一条直线上时，F。最小，最小值 为 石-亚,故答案为：后-.图1图2【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键.2 2.巫2【分析】取 的 中 点M,连接0 M,由正方形及矩形的性质得出A G EQ,GH=C=3,N E Q H=9 0 ,求出Q E=2,由三角形中位线定理得出O M=gQ E=l,O M E Q,求出PM 的长，根据勾股定理可得出答案.解：取 Q”的中点似，连接
35、OM,四边形A8C。是正方形，/.NA=N B=/C=ZD=90,：EFCD,GHBC,.四边形A E Q G,四边形G H C D为矩形，：.AGEQ,G H=C D=3,NEQ”=90。,VDG=1,.M G=EQ=2,VO,M 分别为E H,。，的中点，：.O M=Q E=,OM EQ,，NOMP=90,为G Q的中点，M为Q H的中点,PQ=；GQ,Q M=Q H,1113/.P M P Q y Q M Q G +Q H =G/=,0 P=IOM2+PM2=J l2+()2 =半故答案为 巫.2【点 拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题得关键.2
36、3.4不-2【分 析】延 长8 4到 夕，使夕P B+P Q=P B +P Q,当 夕，P,。三点共线时，P B q P Q的值 最 小，根据题意，点。的 轨 迹 是 以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点长到圆上一点。距离的最小值夕。=8，C-2,根据勾股定理即可得到结论.延 长8 A到 夕，使 次4=A8,PB+PQ=PB+PQ,当 夕，P,Q三点共线时，P Q+P。的值最小，根据题意，点。的 轨 迹 是 以C为圆心，2为半径的圆弧上,圆 外 一 点8 到 圆 上 一 点Q距 离 的 最 小 值BQ=CB-2,：8 C=A8=4,；BC=NBB+BC2=1 8?+4?=4非,B Q=B C
37、-2=4y/5-2,：.PB+PQ的 值 最 小 是4y/5-2,即PQ+PB的最小值是4括-2,故答案为：4逐-2.【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到尸点的位置是解题的关键.24.1 或 0-1【分析】分E尸经过正方形ABCD另三边三种情况求解即可解：EF经 过 边 中 点。时，.四边形4 8 co是正方形，：.Afi=BC=CD=DA,NC=NB=90,.点。是CO边中点，点E是8 c边中点，Z.OC=CD,EC=-BC .；CE=CO=l,：./CEO=45,由折叠得/FEP=Z.BEP=g(180-ZCO)=g(180-45)=67.5,ZFPE
38、=ZBPE=22.5.：.NFPB=NFPE+NBPE=45,作FG_LA8于G,作/7_LFG于H,如图，设 FH=x,则 BG=EH=FH=x,：ZBPF=45,:.PG=FG=x+l,：.BP=2x+,由勾股定理得尸尸=0(x +l),由折叠得P 8=P F,2 x+l =&(x+l),解得工=1.2,BP=g l 2,.点P在 A B 外，不符合题意；E F 经过A Q 边中点O ,如图,此时，N F E P =Z B E P =1 x 9 0 =4 5 ,2；.BP=BE=l；E F 经过A 8中点0 ，如图，O B=BE,：.NEO B=45。.由折叠得 NPFE=NB=9()。，
39、设 P F=x,OP=42X,PB=X,*2x+x =1，x=0 -1,即 B P=&-1，综上，B P 的长为1 或&-1，故答案为：1 或 近-1.【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键.2 5.(1)B (3,1)、C(2,4)(2)。(3,5)、P(p 3)【分析】(1)分别过点A、8做x轴的垂线，垂足为G、H,证明A A G O丝。4 8,根据三角形全等的性质可得出结论；(2)根据对称性和全等的性质可得。(3,5),再求出8 c的解析式y=-3 x+1 0,从而可求出点P坐标.解：(1)分别过点A、8做x轴的垂线，垂足为G、H；：四
40、边形A O B C是正方形：.AO=BO,Z A O B=9 0 A G O/X O H B：.AG=O H ,OG=BH点坐标为(-1,3)AG=3,OG=：.O H =3,BH=1B(3,1)同理可得C(2,4)(2)点。与 点E关 于A P成轴对称：.AO=AE,AP1.OE 且平分 OE：.E(0,6)根据上面全等可以得到D(3,5).,.点 P 的 纵 坐 标 是3;点P 在 直 线 B C 上，设 直 线 B C 为)=+，由条件可得2k+b=Q3k+b=6解之得k=-36=10.y=3x+107当)=3 时，x=-7：.P(-,3)3【点 拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图
41、象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.26.(1)2；(2)当 出 发1s或3s时，线 段PQ的 长 度 为5cm.【分 析】(1)山矩形的性质，得AP=D Q,继 而 列 出 关 于t的一元一次方程即可解题;(2)过 点P作尸E_LCD于 点E,先 证 明 四 边 形APED是矩形，再根据矩形的性质解得EQ的长，最 后 在RtZkFQE中，根据勾股定理解题即可.解：,四 边 形APQD为矩形.A P=D Q,;.2t=6 f,3r=6,.t=2,r.当f=2时 四 边 形APQD为矩形;(2)过 点P作P E,CD于 点E,ZA =ZD =NDEP=90,，四 边
42、形APED是矩形.:.AP=DE=2t,EQ=CD-DE-CQ=6-3 t,在 中，PE2+EQ2=PQ2,(6-3f=9,t=,t=3,答：当 出 发Is或3s时，线 段PQ的 长 度 为5cm.【点 拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.27.(1)详见分析；(2)当E是AO的中点时，四 边 形E/7FG是菱形，证明详见分析【分 析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可.解：(1)；点F,G,”分 别 是SC,BE,CE的中点，C.FH/BE,FH=-BE
43、,BF=FC,2：.ZCFH=ZFBG,FH=BG,(2)当E是4。的中点时，四 边 形EbFG是菱形.当E是AO的中点时，AE=ED,.四边形A8C是矩形，：.ABCD,NA=NO=90。，.:.BE=CE,:BE=2FH,CE=2FG,：.FH=FG=L BE=-CE=EG=EH,2 2.E=HF=FG=GE,四 边 形EGF”是菱形.【点 拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答.28.(1)见 分 析(2)3；6【分析】(1)利用AAS证ANDEt也M A E,得出N E=M E,进而得出结论；(2)当 四 边 形
44、是 矩 形 时/4WO=90。，由菱形的性质得AO=6,进而求出AM的值；当四边形AMDN是菱形时，A M=D M,由NAB=60。，得出AMO为等边三角形，进而求出4W 的值.解：(1)证明：；四边形48C 0是菱形J.AB/CD：.Z D N E=ZAME,N N D E=Z M A E:点 E 是 AO边的中点:.AE=DE：.LNDE/MAE(AAS):.N E=M E四 边 形 是 平 行 四 边 形(2)解：当四边形AMDN是矩形时ZAMD90在菱形A B C D中A D=A B=6：N 48=60二 ZADM=30：.AM-AD=32故答案为：3.当四边形AMON是菱形时，A M=D M N D AB=6 0。：.A MD为等边三角形：.AM=AD在菱形A B C D中A D=A B=6.AM=6故答案为：6.【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30。的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键.