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1、专题1.24特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形折叠问题1.如图，将长方形纸片折叠，使 A 点落8C 上的尸处，折痕为B E,若沿E尸剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（），/A.邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.两个全等的直角三角形构成正方形D.轴对称图形是正方形2.如图，将矩形纸片A8C。按如图所示的方式折叠，得到菱形A E C F,若 AB=6,则BC的 长 为（）C.4A.2B.2&D.2 g3.如图，把菱形4 5 c o 沿 A”折叠，使8 点落在BC上的E 点处，若 NB=70。，贝 ij NEOC的大小为（).A.15
2、B.20C.30D.254 .如图，在菱形纸片A B C。中，N A =6 0,点 E是边3 c 上的一点，将纸片沿OE折叠,点C落在C 处，D C 恰 好 经 过 的 中 点 P,则/D E C 的度数是（）【知识点二】矩形将折叠问题5.如图，将矩形A B C。沿对角线8。折叠，点 C落在点E处,B E 交 A D 于点F,已知ZB D C=6 2 ,则/OFE的度数为（）C.6 2 D.5 6 6 .如图，在矩形纸片4 8 C Q 中，AB=12,B C=5,点 E在 4 3 上，将 D 4 E 沿 OE折叠,使点A落在对角线80上的点4处，则 AE的 长 为（）C.3 D.47 .如图，
3、把矩形O 4 B C 放入平面直角坐标系中，点 8的坐标为（1 0,8）,点。是 O C上一点，将 88沿 8。折叠，点 C恰好落在O A 上的点E处，则点。的坐 标 是（)A.(0,4)B.(0,5)C.(0,3)D.(0,2)8.如图，将矩形ABC。沿 EF折叠，使点8 落在边AO上的点M 处，点 C 落在点N 处,已知NDMN=30。，连接B M,则NAMB的度数为（）C.80D.85【知识点三】正方形折叠问题9.如图，将正方形纸片ABCQ折叠，使顶点B 落在边AO上的点E 处，折痕交AB于点 F,交 CO于点G.若 A=l,ZAFE=3QP,则 AB的 长 为（）A.2 B.1 +G
4、C.2 6 D.2+V310.如图，AC是正方形ABC。的对角线，E 是 BC上的点，BE=,将 ZVIBE沿 AE折叠，使点8 落在AC上点尸处，则 AB的 长 为（）C.1 +72D.1 +5/311.把一个面积为4 的正方形,通过沿虚线折叠得到一个新正方形，它的边长是（)A.2B.也C.1D.1.41412.将一张正方形纸片ABC。按如图所示的方式折叠，C E、C F为折痕，点 8、。折叠后的对应点分别为B、D,若/E C F=21。，则/E C。的度数为（）A.35 B.42 C.45 D.48二、填空题【知识点一】菱形折叠问题13.如图，在菱形纸片A8C 中，乙4=6 0,折叠菱形纸
5、片A 8C O,使点C 落在O P（P为 AB的中点）所在的直线上，得到经过点。的折痕D E,则/D E C 的度数为.14.如图，在菱形4 8 c o 中，E 是 AO上一点，沿 8E折叠/X A BE,点A恰好落在8。上的点尸处，连接C F,若 NQFC=110。，则 NA=.15.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若 A B=3,则菱形AECF的面积为16.如图，将 平 行 四 边 形 进 行 折 叠，折 叠 后 恰 好 经 过 点 C得到A D,若NBAC=90,D E =5,CE=4,贝 lj线段 A C 的长度为【知识点二】矩形将折叠问题17.如图所示，
6、把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰放ABC,若SAABC=2,则 SAC=_.18.如图，将矩形纸片ABC。折 叠（AO AB）,使 AB落在AO上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将 BE边折起，使点8 落在AE上的点G 处，连接。E,若 DE=EF,C E=1,贝 I J A =.19.如图，在矩形ABC。中，A8=4,3 c=6,点 E 是 3 c 的中点，点 F 在 AD上运动，沿直线环折叠四边形C C FE,得到四边形G HFE,其中点C 落在点G 处，连接4G,AH,则A G的最小值是_.H20.矩形ABC。中，AB=5,AD=3,P为CD
7、上一点、,将 AOP沿 AP所在的直线折叠,得到A A E P,当8、E、P 三点共线时，tanND4P=【知识点三】正方形折叠问题21.如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与 CZ）重合，折痕为 尸，展开后再沿8H 折叠，使得点C 刚好落在折痕E尸上的。处，若 C”=lc m,则 8C=_cm.22.如图.将正方形纸片ABCC折叠，使边AB、CB均落在对角线8。上，得折痕BE、B F,则/E 8 F 的大小为23.如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCO,沿着2C边上一点E与点A的连线折叠,点*是点B的对应点，延长EB交OC于点G ，2 4.如图，先将正方
8、形纸片对折，折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上，折痕为A E,点B在 上 的 对 应 点 为 H,则/m3 c的度数为.三、解答题2 5.如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作6 0。，3 0。，1 5。等大小的角，该怎么办呢？小西进行了以下操作研究（如 图 1）：C B第 1 步：对折矩形纸片A B C D,使 AO与 8 c 重合，得到折痕EE把纸片展平.第 2步：再次折叠纸片，使点A落在E F 上，并使折痕经过点B,得 到 折 痕 同 时得到了线段B N.小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：将 MN延长交8C于点G,将A 8 M G 沿 MG折叠，点 B刚好落在A 力边上
9、点H处，连接G H,把纸片再次展平.请根据小西和小雅的探究，完成下列问题:直接写出BE和BN的数量关系：；根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30。，请求出N A8M的度数；求证：四边形3GHM是菱形.2 6.如图所示，在矩形ABCO中，AB=5,A O=8,点E,尸分别是边AO,8 c上的动点,且AE=C F,连接E F,将矩形ABCO沿EF折叠，使 点C落在点G处，点。落在点，处，若 E H 与 C B的延长线交于点P.(1)求证：PH=PB；(2)若NPEAM5。，求AE的长度.A E DP BGF C27.【教材呈现】人教八年级下册数学教材
10、第59页的部分内容.图1图2如 图1,把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？(1)【问题解决】如 图1,已知矩形纸片ABCQ(AOAB),将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点3落 在 边 上，点8的对应点为凡 折痕为A E,点E在 上.求证：四边形48EF是正方形.(请完成以下填空)证明：；四边形ABCD是矩形，./8 4。=/8=90。，:折叠，NAFE=NB=9Q,，四边形ABEF是矩形()*折叠，),；四边形ABE尸是正方形()(2)【问题拓展】如图2,已知平行四边形纸片ABC(4AB),将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点8落在边4力上，点3的对应点为尸，折痕
11、为A E,点E在 边8 c上.求证：四边形ABE厂是菱形.连结B F,若AE=5,B F=1 0,求菱形ABEF的面积.2 8.如图，E、尸分别是正方形48CO边 AB、A 3 的中点，将AABF沿 B尸折叠，点A落在点。处，连接尸。并延长，交 0 c 于 G 点.(1)求证：C E=B F；(2)若 A B=4,求 GF的值.参考答案1.A【分析】将长方形纸片折叠，使 A 点落BC上的F 处，可得至折痕为8 E,沿 EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形A8FE为正方形.解：将长方形纸片折叠，4 落在BC上的尸处，；.BA=BF,:折 痕 为 B E,沿 EF剪下，.四
12、边形48正为矩形，二四边形48EF为正方形.故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形.故选：A.【点拨】本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答.2.D【分析】根据菱形及矩形的性质可得到/A 4 c 的度数，从而根据直角三角形的性质求得3 c 的长.解：四边形4ECF为菱形，A Z F C O Z E C O,EC=AE,由折叠的性质可知，Z E CO=ZBCE,又 Z FCO+Z ECO+Z BCE=90,：.Z F C O=Z E C O-ZBCE=30,在/?/EBC 中，EC=2EB,又,：EC=AE,AB=AE+EB=6,：.EB=2,EC=4,R
13、S BCE 中，B C =ylEC2-EB2=2y/3，故选：D.【点拨】本题主要考查r 菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30。的直角三角形中各边之间的关系求得8 c 的长.3.A【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出NW C=ZB=70。，从而得出Z A E D =Z A D E.又因为故NQ4E=NAE8,Z A D E=Z A E D,易得解.解：根据菱形的对角相等得加 心=70。.-.-ADAB=AE,:.ZAED=ZADE.根据折叠得ZAEB=N8=70.v AD/BC,:.ZDAE=ZAEB=70,ZADE=ZAED=(1
14、80-ND4E)+2=55。.-.ZEDC=70-55=15.故选：A.【点拨】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系.在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质.注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等.4.A【分析】连接B D,由菱形的性质及NA=60。，得到三角形ABD为等边三角形，P 为 A B的中点，利用三线合一得到D P为角平分线，得到NADP=30。，NADC=120。，Z C=6 0 ,进而求出/PD C=90。，由折叠的性质得到NCDE=NPDE=45。，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数.解：连接BD,.四边形ABCD为菱形
15、，ZA=60,.ABD 为等边三角形，ZADC=120,ZC=60,为 A B的中点，.DP 为NADB 的平分线，即NADP=NBDP=30。，./PD C=90。，/由折叠的性质得到/C D E=N PD E=45。，在 DEC 中，Z DEC=180-(Z C D E+Z C)=180-(45+60)=75.故选：A.【点拨】本题考查了折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.5.D【分析】先利用互余计算出/尸。8=28。，再根据平行线的性质得NCBr=NFCB=28。，接着根据折叠的性质得NFBD=Z C8/A28。，然后利用三角形外角性
16、质计算/D F E 的度数.解：四边形ABCD为矩形，A A D/BC,ZADC=90,Q?BDC 62?,ZFDB=90-Z BDC=90-62=28,；AD/BC,：.ZCBD=ZFDB=2S0,.矩形ABCD沿对角线BD折叠，二 ZFBD=ZCBD=2S,：.ZDFE=Z FBD+Z FDB=280+28=56O.故选：D.【点拨】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，矩形的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用轴对称的性质得到相等的角是解本题的关键.6.A【分析】首先利用勾股定理计算出8。的长，再根据折叠可得A Z）=A Z =5,进而得到43的长，再设A E=x,则A =x,BE=12
17、-x,再在用 中利用勾股定理可得方程：（1 2-x）2=3+8 2,解出x的值，可得答案.解：AB=2,BC=5,：.AD=5,8 0=必丁=1 3，根据折叠可得：A D A,1）=:5,.4 8=1 3-5=8,设 A E=x,贝（J A E-x,BE=1 2-x,在中：（1 2-%）2=+82,解得：kg.故选：A.【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.7.C【分析】由题意可得 AO8c=1 0,4 8=O C=8,DE=CD,BE=BC=IO,在 R/&W E 中，由勾股定
18、理可求得4 E =6,O E=4,设 O 0=x,则。E=CD=8-x,然后在中，由勾股定理即可求得0 =3,继而求得点D的坐标.解：.点8 的坐标为（10,8）,：.AO=BC=0,A 8=O C=8,由折叠的性质，可得：DE=CD,BE=BC=0,在孜 A 8E 中，由勾股定理得：A E =ylBE2-A B2=7 1 0 =6 ，O E=A O-A E=10-6=4,设 O D=x,则。E=C 7)=8-x,在RfAODE中,由勾股定理得：OD2+OE2=DE2,即:X2+42=（8-X）2,解 得：x=3,：.0D3,点。的 坐 标 是（0,3）.故选：C.【点 拨】本题主要考查了矩形
19、的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.8.B【分 析】由四边形A8CO是矩形，得/A=/ABC=90。，根 据 矩 形A8C。沿E尸折叠，使 点8落在边4。上 的 点 何 处，点C落 在 点N处，得NMWE=NA8C=90。，M E=B E,而NOMN=30。，即 知/AME=60,Z A EM=30,即/EM B+NEBM=30,可得N E M B=N E B M=15,故Z A M B=Z A M E+Z EMB=15.解：四边形4 8 c o是 矩 形，,N4=NA8C=90。，.矩形ABC。沿EF折 叠，使 点B落 在 边A匕的点M处，点C落 在 点N处，N N
20、 M E=N A B C=9 0。,ME=BE,：ZDMN=30,：.NAME=18O0-N N M E-NDMN=60,：.ZAEM=900-ZAME=30,：.ZEMB+ZEBM=30,ME=BE,:NEMB=NEBM=15,：.N A M B=N A M E+NEMB=75,故选：B.【点 拨】本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等.9.D【分 析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF=BF,进而求出AB的长.解：四边形48C3是正方形，A ZA=90,AE=1,ZAFE=30：.EF=2,AF=g,V正方形纸片
21、ABCD折叠，使顶点B落在边AO上的点E处，EF=BF,BF=2,：.ABAF+,故选：D.【点拨】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF,此题难度不大.10.C【分析】由正方形的性质得AB=BC,NBCD=NB=90。,ZECF=ZBCD=45,由折叠的性质得ZAFE NB=90。,FE=3E=1,证出 CEF1是等腰直角三角形，则CE=&FE=0 ,进而得出答案.解：四边形A8CD是正方形，：.AB=BC,ZBCD=ZB=90,NECF=；N8C7)=45,由折叠的性质得：N4FE=NB=90。，FE=BE=1,：.NCFE=90。，.CEF是等腰直
22、角三角形，:.C E=&FE=4i,：.BC=BE+CE=l+y/2 C=90。，则NCDE=/尸 史=45,再根据三角形内角和定理求解即可.解：连接2 0.：四边形A8CQ为菱形，：.AD=AB,NC=/A =60，ABCD,A ZA+ZADC=180 ZADC=120VZA=60,ABD为等边三角形，:尸为A 3的中点,DP 为 ZADB 的平分线，即 ZADP=ZBDP=30，ZPDC=90,由折叠的性质得到NCDE=ZPDE=45。，在 ADEC 中，NDEC=180n-(ZC D E+ZC)=75.故答案为：75.【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，
23、三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14.100【分析】根据菱形的性质得至|JA8=8C=C=D4,AD/BC,NADB=NCBF=NABD,再根据折叠的性质得到/B F C=/8 C F,由三角形内角和与外角的性质得到结果.解：四边形A8C。是菱形，:.AB=BC=CD=DA,AD/BC,，ZADB=Z CBF=ZABD,七是AO上一点，沿8石折叠A B E,点A恰好落在8 0上的点尸处，：.BA=BFf/A=NBFE,：.BF=BC,：.NBFC=NBCF,VZDFC=110,：.NBFC=NBCF=72。,：.NADB=NCBF=40。,?ZA=180-2ZAD
24、B=180-80=100,故答案为：100。.【点拨】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键.15.243【分析】根据菱形A E C F,得NFCO=NECO,再利用N E C O=N E C 可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解.解：.四边形AEC尸是菱形，AB=39设 B E=x,则 AE=3-xf CE=3-x,丁四边形AECF是菱形，工 NFCO=NECO,:/ECO=/ECB,A ZECO=ZECB=ZFCO=30,；.2BE=CE,:CE=2x,A2x=3-x,解得：x=l
25、,：.CE=29利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2,BC=NBC?_BE2=43)L：AE=AB-BE=3-1=2,则菱形的面积=A8C=243.故答案为23.【点拨】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.16.12【分析】由平行四边形的性质可得AQ=BC,AB=CD=DE+CE=9,ABH C D,可得NEC=9 0,由折叠的性质可得DE=OE=5,AD=AD,由勾股定理可求CD的长，AC的长.解：四边形48CD是平行四边形：.AD=BC,AB=CD=DE+CE
26、=9,ABH CD.NBAC=NAC)=90。N ECD=90。Y将平行四边形4 8 8进行折叠，折 叠 后 恰 好 经 过 点C得到A。，：.DE=DE=5,AD=ADCD=DE2-CE2=3：.AD=AC+3AD=BC：BC2AB2+AC2,：.(AC+3)2=81+AC2,：.AC=2故答案为：12.【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求 出 的 长 是 本 题 的 关 键.17.4&+4【分析】根据折叠的性质可得S“CD=SQ E C，分别求出。E,E C,求出S,EC，即可得出qMA C。解：如图：过点A作丁 点尸,.ABC是等腰直角三角形，S&BC=2.，S,A B C=
27、gABBC=2,H P AB=BC=2,AC=V22+22=2y/2 折叠，AC=CE=2 5/2 S,A C =S.D E C 纸片为矩形，.折叠后/m 4 =45。，ZDFA=90,是等腰直角三角形，;.DF=FA=EC+CB=2 如+2,.AB=EF=2,:.DE=DF+FE=2 g +2+2=4+2 亚，久 皿=S皿c=:QEx EC=g x(4+2夜卜 2啦=4&+4,故答案为：4夜+4.【点拨】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出S“皿=比是解题的关键.18.2+0#&+2【分析】证明RtEBFRtEBD(HL),推出8尸=夕，再证明
28、DB=EC=BF=1,想办法求出AB,可得结论.解：由翻折的性质可知，EB=EB,ZB=ZABE=ZEBD=90,IEB=EB在 R aE B F和田 E8O 中，八，EF=ED:.RtAEBFt RsEBD(HL),：.BF=DB,.四边形ABC。是矩形，N C=N CDB=N EBD=90,四边形ECQ夕是矩形，：.DB=EC=,:.BF=EC=1,由翻折的性质可知，BF=FG=,ZMG=45,NEG产=N8=N4GF=90,：.AG=FG=,：.AF=2.：.AB=AB=+42，：.ADAB+DB=2+y/2，故答案为：2+0 .【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性
29、质，等腰宜角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.19.2【分析】如图，当A、G、E 共线时，AG最小，先求出A E,根据4G=AE-EG即可解决问题.解：如图，依题意：点 G 在以点E 为圆心，长为半径的圆上运动，当A、G、E共线时，4 G 最小,.四边形A8CD是矩形,，N8=90,BE=EC=3,48=4,-AE=4 AB-+BE2=+不=5.此时 A G=A E -E G=5 -3=2.故答案为2.【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点到圆的距离，明确点和圆的位置关系是解决本题的关键.2 0.-3【分析】由翻折可得AI)=AE,在/?/A B E中可求出
30、B E,设DP=EP=x,表示出B P和C P,在R/ABC尸中，通过勾股定理即可列出等式，解出方程，从而求出答案.解：矩形 ABC。中，A3=5,AD=3,则 CD=5,BC=3,AOP沿 AP所在的直线折叠，得到且8、E、P 三点共线，易证 AOPTZSAEP,：.AE=AD,DP=EP,ZADP=ZAEP=90,在 中，AB=5,AE=3,，8E=4；设 DP=EP=x,则 8P=4+x,C P=5-x,在 BCP 中,BC2+CP2=BP2,即 3?+(5X)2=(4+X/，解得X=1,：.DP=,D P 1在心4OP 中，tan/QA/三一=一.A D 3故答案为：P【点拨】本题主要
31、考查翻折问题，直角三角函数和勾股定理，找准线段之间的关系，并准确计算是解题的关键.21.百【分析】连接C C,证明 BCC是等边三角形，再由折叠的性质得到/HBC=/H BC=30。，利用含 30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题.由折叠的性质知，折痕为 尸是BC的垂直平分线，:.BC=CC;又由折叠的性质知，BC=BC N H B C=N H B C,:BC=CC=BC,8CC是等边三角形，ZCBC=60,ZHBC=ZHBC=301在放中，ZWBC=30,C/7=lcm,HB=2cmf:.BC川B t f-C H?二 物-产=&(cm),故答案为：x/3.【点拨】本题考查了翻折变换的性质
32、，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质.22.45#45 度【分析】首先根据正方形的性质可得N l+/2+/3+/4=N A B C=9 0。,再根据折叠可得N1=N2_ 1_ 2ZABD,N3=N 4=进而可得/2+N 3=4 5 ,即/EB F=45.解：四边形A8CD是正方形，,ZABC=90,根据折叠可得/I =Z 2=y ZABD,Z3=Z 4=g NDBC,：Z l+/2+N 3+N 4=NA8C=90。，./2+N 3=45,即/EB F=45,故答案为：45。.【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的.
33、4 0.123.#133 3【分析】根据题意，BE=F E，进而求得E C,勾股定理求得C G,即可求得AECG的面积.解：.折叠，BE=BE20BE=2cm,BG=cm,320 26:.EG=2+=cm,EC=BC-B E =Scm3 3.四边形48。是正方形/.ZC=90Rt/XEGC 中CG=4 EG1-E C1=J 停 J *=y cm.c 1 1 I。40 25A CG =x C C G=2X 8 XT =T cm,故答案为：【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.2 4.1 5【分析】由翻折的性质MN垂直平分A ,于是得到O H=AH=A8=AO,故此 A
34、 D H为等边三角形，由 为等边三角形可知/H A B=3 0。，在 A B H 中可求得乙4 8 H=7 5。，故此可求得/”8 C=1 5。.解：；MN垂直平分A O,：.DH=AH.由翻折的性质可知：AH=AB.；正方形4 B C O 中，：.A H=A D=D H.A Z)”是一个等边三角形.ZDAH=6 0.：.ZHAB=30.：AB=AH,；.N A B H=*x(1 8 0-3 0)=7 5.Z H B C=ZABC-ZABH=90-15 1 5 .故答案是：1 5。.【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，正方形的性质
35、，证得AAO H是一个等边三角形是解题的关键.2 5.B E=；B N；N A 8 M=3 0。；见分析.【分析】(1)根据折叠的性质可得8 E=3 A B,从而得到B N,即可求解；(2)根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是3 0。，可得/8 N E=3 0。，即可求解；(3)由得N A 8 M=3 0。，从而得到ABMG是等边三角形，进而得到8M=8G,再有折叠的性质，即可求证.解：解：对折矩形纸片4BC。，使 AO与 BC重合，得到折痕律,.,.B E=AB,再次折叠纸片，使点A 落在E尸上，并使折痕经过点B,得到折痕8例，同时得到了线段BM：.A
36、B=BN,；.B E=g BN；解：山折叠的性质得：NBEN=NAEN=90。,；BE=；BN,：.NBNE=30。,：.NABN=60,由折叠的性质得：NABM=NA8N=30。：证明：由得/ABM=30。，:四 边 形 4 8 c o 是矩形，NA=/4B C=90。，.NAMB=NBMN=60。，NMBG=60。，.BMG是等边三角形，:.BM=BG,由折叠得8例=例 ，BG=GH,:.BM=MH=BG=GH,二四边形3GMW是菱形.【点拨】本题主要考查了图形的变换折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键.26.(1)见分析(2)AE的长度为
37、！3二5立.2【分析】(1)m Z P E F=Z P F E,证 明 再 根 据 折 叠 的 性 质 EO=EH,DE=BF,进一步计算即可证明PH=PB；(2)先证明M E。和 P。都是等腰直角三角形，设 A E=b=x,则PQ=&(5-x),利用户后P尸代出方程求解即可.解：(1)证明：四边形ABC。是矩形，：.AD/BC,：.ZDEF=ZPFE,由翻折变换可知，ZDEF=ZPEF,：.NPEF=NPFE,:.PE=PF-：AD=BC,AE=FC,：.ED=BF,由折叠性质得E/AE”，:.BF=EH,：PE-EH=PF-BF,:PH=PB；(2)解：设PE交AB于点Q,AE=CF=X,
38、则。尸=8JGV ZPEA=45,ZA=ZABC=ZABP=90,ZAEQ=ZAQE=ZPBQ=Z QPB=45,M AEQ和 8PQ都是等腰直角三角形，:.BQ=PB=5x,由勾股定理得：EQ=y2xf。=血(5-幻，*：PE=PF,；PQ+EQ=PB+BF,即&(5-x)+V2 尸5-X+8-X,解得：户 -5应2 4 的长度为生 逑.2【点拨】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.2 7.(1)有三个角是直角的四边形是矩形；AF,一组邻边相等的矩形是正方形.(2)证明见详解；菱形A B E F的面积为2 5【分析
39、】(1)由矩形的性质得/8 4。=/8=9 0。，再由折叠的性质得：N A F E=N B=9 0。，AB=AF,则四边形A B E F 是矩形，然后由A B=A F,即可得出结论；(2)由平行四边形的性质得A O B C,则/再证则得四边形A 2 E F 是平行四边形，然后由A F=A B即可得出结论；由菱形面积公式得S-即可得出答案.解：,四边形A 8 C D 是矩形，二 N B A Q=N B=9 0。，由折叠的性质得：ZAFE=ZB=90,.四边形4 8 E/是矩形(有三个角是直角的四边形为矩形)，由折叠的性质得：AB=AF,二四边形A B E 尸是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形
40、)，故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；4-；有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)证明：四边形A 8 C。是平行四边形，：.AD/BC,：.ZFAE=ZBEA,由折叠的性质得：AF=AB,NBAE=NFAE,：.NBEA=NBAE,：.AB=BE,：.AF=BE,.四边形A B E F是平行四边形，又,.A/7=A 8,，平行四边形A 8 E 尸是菱形；解：如图,D四边形 A8EF 是菱形，AE=5,BF=10,Z.S”ABEF=-AEBF=-x5x 10=25,2 2故菱形ABE厂的面积为25.【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边
41、形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键.2 8.见分析G F的值为【分析】(1)先判断出A F=8E,进而得出A矶BgZXEBC(S A S),即可得出结论;(2)连接 3 G,根据 HL 证明放 B Q G gR dB C G,得 QG=GC,设 Q G=在 RtxDFG中，根据勾股定理列方程可得6,从而可得结论.解：(1)证明：.四边形A8c。是正方形，：.ABAD,NA=/48C=90。，；E、尸分别是正方形A8CZ)边 4 5、AO的中点，：AFBE,:.FABXEBC(SAS),:.CE=BF；(2)解：如图，连接BG,山折叠得：AB=BQ,ZBQF=ZA=90,：AB=BC,:.BC=BQ,；BG=BG,:.RtxBQG咨RtBCG(HL),：.QG=GC,：AB=4,尸是正方形ABC。边4。的中点,设 QG=b,则 DF=AF=FQ=2,FG=2+b,DG=4-b,在 Rm DFG 中，*/DF2+DG2=FG2,：.22+(4-6)2=(2+6)2,4 4b=一，即 QG=3 3G F=FQ+QG=2+.的值为5.【点拨】此题主要考查了 LE方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识,正确作辅助线是本题的关键.