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1、第 1页 共 8页第 2页 共 8页2 20 02 23 3 新新高高考考名名师师二二模模模模拟拟卷卷（4 4）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第第 I I 卷卷（选选择择题题）一一、单单选选题题(共共 4 40 0 分分)1若复数z满足13(12i)i22z，则z的共轭复数是（）A12i55B12i55C12i55D12i552已知集合311,log1AxBxxx，全集U R，则UBA（）A13xxB01xxC01xxD13xx3已知数列 na满足1nnaad，2n，Nn，则“2mnaad”是“2mn”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要
2、不充分条件D既不充分也不必要条件4如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（）A6BC43D45若1sincos5，0，则sin2cos2（）A1725B1725C3125D31256数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2yax的一部分，其焦点坐标为0,2，校门最高点到地面距离约为 18 米，则校门位于地面宽度最大约为（）A18 米B21 米C24 米D27 米7已知1F、2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左，右焦点，过1F的直线 l
3、 与双曲线 C 交于 M，N 两点，且11223,F NF M F MF N，则 C 的离心率为（）A2B5C7D38某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X的期望E X和方差D X存在但其分布末知的情况下，对事件“XE X”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：,P XE Xf D X，其中,f D X是关于D X和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定,f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（）A2D XB21D XC2D XD2D X二二、多多选选题题(共共 2 20 0 分分)9
4、已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（）A甲组数据的极差大于乙组数据的极差B若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x，则12xxC若甲，乙两组数据的方差分别为2212,ss，则2212ssD甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数第 3页 共 8页第 4页 共 8页10已知函数2()log xf x，且正实数a，b满足()()1f af b，则下列结论可能成立的是（）A2abB1122ab的最大值为32C2ab D2211ab的最小值为2 211已知点0(1)M，A，B是椭圆2214xy上的动点，当MA BA 取下列哪些值时，可以使0MA BM （
5、）A3B6C9D1212如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M，N，P 分别是1AA，1CC，11C D的中点，Q 是线段11D A上的动点，则（）A存在点 Q，使 B，N，P，Q 四点共面B存在点 Q，使PQ平面 MBNC三棱锥 P-MBN 的体积为13D经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为92第第 I II I 卷卷（非非选选择择题题）三三、填填空空题题(共共 2 20 0 分分)13若随机变量23,XN，且50.2P X，则15PX等于_14若一个偶函数的值域为0,1，则这个函数的解析式可以是 f x _.15已知数列 na的通项公式2*sin,N,2nnnan
6、则 na的前22项和22S_16三棱锥PABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形，且2 2AC，各侧棱长均为 3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点，则E到平面ABC的距离为_；设Q到平面PBC的距离为1,d Q到直线AB的距离为2d，则12dd的最小值为_.四四、解解答答题题(共共 7 70 0 分分)17在ABC 中，已知33 cossincbAaB(1)求 B 的大小；(2)在下面 3 个条件中选一个，使得ABC 唯一存在，并求其面积13,4ba,2 34Ab4,21cb18数列 na的前n项和为nS，11a，12NnnaSn.(1)求数列 na的通项na；(2)求数列nna的
7、前n项和nT.第 5页 共 8页第 6页 共 8页19如图，圆台下底面圆O的直径为AB，C是圆O上异于,A B的点，且30BAC，MN为上底面圆O的一条直径，MAC是边长为2 3的等边三角形，4MB.(1)证明：BC平面MAC；(2)求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值.20 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图 1 所示的高尔顿
8、板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，7 的球槽内.例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下.（1）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率；（2）小红小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入 m 号球槽得到的奖金为元，其中|164|m.小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木块减少成 5 层，然后使小球在下落的过
9、程中与小木块碰撞时，有13的概率向左，23的概率向右滚下，最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入 n号球槽得到的奖金为元，其中2(4)n.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.第 7页 共 8页第 8页 共 8页21动点 P 到定点 F(0，1)的距离比它到直线=2y的距离小 1，设动点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C于 A、B 两个不同的点，过点 A、B 分别作曲线 C 的切线，且二者相交于点 M(1)求曲线 C 的方程；(2)求证：0MFAB；(3)求 ABM
10、 的面积的最小值22已知函数 elnln1(0)x af xxaax（e 是自然对数的底数）(1)当1a 时，试判断 fx在1,上极值点的个数；(2)当1e 1a 时，求证：对任意1x，1f xa数学 第 1 页（共 6 页）数学 第 2 页（共 6 页）数学 第 3 页（共 6 页）学校_班级_姓名_准考证号_密封线请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2023 新高考名师二模模拟卷（4）（适用新高考 I 卷）数学答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、单项选择题（每小
11、题 5 分，共 40 分）1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）9A B C D11A B C D10A B C D12A B C D三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_(5 分)14_(5 分)15_(5 分)16_(5 分)四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（12 分）19（12 分）准考证号：姓名：_贴条形码区此栏考生禁填缺考标
12、记1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂注意事项数学 第 4 页（共 6 页）数学 第 5 页（共 6 页）数学 第 6 页（共 6 页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目
13、的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）22（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第 1 页（共 6 页）数学 第 2 页（共 6 页）数学 第 3 页（共 6 页）学校_班级_姓名_准考证号_密封线第 1页 共 22页第 2页 共 22页2023 新高考名师二模模拟卷（4）2023 新高考名师二模模拟卷（4）注意事项：1答题前填写
14、好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单选题(共 40 分)一、单选题(共 40 分)1若复数z满足13(12i)i22z，则z的共轭复数是（）A12i55B12i55C12i55D12i55【答案】C【分析】利用复数的运算法则和复数模的公式及共轭复数的概念即可求解.【详解】因为13(1 2i)i122z，所以11 21212555izii，所以1255zi，故选：C2已知集合311,log1AxBxxx，全集U R，则UBA（）A13xxB01xxC01xxD13xx【答案】C【分析】首先解分式不等式求出集合A，再解对数不等式求
15、出集合B，最后根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由11x，即10 xx，等价于10 xx，解得1x 或0 x，所以|111Axx xx或0 x，由3log1x，解得03x，所以3log1|03Bxxxx，所以|01UAxx=，所以01UABxx；故选：C3已知数列 na满足1nnaad，2n，Nn，则“2mnaad”是“2mn”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意可得 na为等差数列，后据此判断2mnaad与2mn间关系可得答案.【详解】设 na首项为1a，由1nnaad，可得1nnaad，则可得11naand.则11112
16、2mnaaamdandmn ddmn1122112mnmnmn ddamdandaad.故“2mnaad”是“2mn”的充分必要条件.故选：A4如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（）A6BC43D4【答案】B【分析】由图形可得正八面体的棱长为62，分别求出正八面体的体积及表面积，再由等体积法求正八面体的内切球半径，即可求出球的表面积【详解】根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为22336222,如图，第 3页 共 22页第 4页 共 22页在正八面体中连接AF，DB，CE，可得AF，DB，CE互相垂直平分，在RtAOD中，22
17、2262622 232AOADOD则该正八面体的体积21326323226V，该八面体的表面积23683 342S设正八面体的内切球半径为r，13S rV，即133 332r，解得12r，24球Sr故选：B5若1sincos5，0，则sin2cos2（）A1725B1725C3125D3125【答案】D【分析】将1sincos5两边同时平方得到242sincos25，进而可以缩小角的范围，得到324，从而得到322，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】将1sincos5两边同时平方，112sincos25，所以242sincos25，因此，sin,cos异号，故2，且sinc
18、os0，则324，因此322，而24sin22sincos25，2247cos212525 ，所以24731sin2cos2252525 ，故选：D.6数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2yax的一部分，其焦点坐标为0,2，校门最高点到地面距离约为 18 米，则校门位于地面宽度最大约为（）A18 米B21 米C24 米D27 米【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出a的值，即可得到抛物线方程，再令18y 求出x的值，即可得解.【详解】解：抛物线2yax，即21xya，因为抛物线的焦点坐标
19、为0,2，所以124a，所以18a ，所以抛物线即为218yx，令18y ，则2144x，解得12x ，所以校门位于地面宽度最大约为24米.故选：C7已知1F、2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左，右焦点，过1F的直线 l 与双曲线 C 交于 M，N 两点，且11223,F NF M F MF N，则 C 的离心率为（）A2B5C7D3【答案】C【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得2MNF为等边三角形，从而得12120FMF，然后在12FMF中，利用余弦定理化简可得到7ca，从而可求出离心率的值.【详解】设1FMm，则13FNm，设22F MF Nn，则由双曲线的定义得，第
20、5页 共 22页第 6页 共 22页232nmamna，解得24mana，所以12FMa，16F Na，224F MF Na，4MNa，所以2MNF为等边三角形，所以260NMF，则12120FMF，在12FMF中，由余弦定理得，22212121212cos2MFMFFFFMFMF MF,即222214164216aaca，化简得227ca，7ca，所以双曲线的离心率为7cea，故选：C.8某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X的期望E X和方差D X存在但其分布末知的情况下，对事件“XE X”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形
21、式为：,P XE Xf D X，其中,f D X是关于D X和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定,f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（）A2D XB21D XC2D XD2D X【答案】D【分析】由题知22P XE XP XE X，计算可得结果.【详解】切比雪夫不等式的形式为：,P XE Xf D X，由题知22222E XE XD XP XE XP XE X，则,f D X的具体形式为2D X.故选：D.二、多选题(共 20 分)二、多选题(共 20 分)9已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（
22、）A甲组数据的极差大于乙组数据的极差B若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x，则12xxC若甲，乙两组数据的方差分别为2212,ss，则2212ssD甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数【答案】BD【分析】根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及其意义、中位数的概念，即可判断各项的正误.【详解】由折线图得：对于 A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故 A 错误；对于 B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知12xx，故 B 正确；对于 C，甲组数据比乙组数据稳定，2212ss，故 C 错误；对于 D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
23、，故 D 正确第 7页 共 22页第 8页 共 22页故选：BD10已知函数2()log xf x，且正实数a，b满足()()1f af b，则下列结论可能成立的是（）A2abB1122ab的最大值为32C2ab D2211ab的最小值为2 2【答案】AC【分析】去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例【详解】当1a，01b时，2log0a，2log0b 则 222logloglog1af af babb所以2ab，所以2ab，故 A 正确当1a，1b 时，2log0a，2log0b，则 222logloglog1f af babab所以2ab，故 C 正确当01a，01b时，2log0
24、a，2log0b 则 222logloglog1f af babab 所以12ab 对于 B，当1a，1b，且2ab 时取32a，43b 时，3113112432222222ab（21.414，341.587）当01a，01b且12ab 时取23a，34b 时，1134322222ab当1a，01b且2ab时，取1a，12b 时，11322122ab 故 B 错误对于 D，当1a，1b 且2ab 时，221121abab，2ab时，等号成立，故 D 错误故选：AC11已知点0(1)M，A，B是椭圆2214xy上的动点，当MA BA 取下列哪些值时，可以使0MA BM （）A3B6C9D12【答
25、案】ABC【分析】设00(,)A xy，利用0MA BM 求得MA BA 的最大值和最小值即可得【详解】设00(,)A xy，且0MA BM .因为2222001MA BAMABMMAMAMA BMMAxy ，将A点坐标代入椭圆，得220014xy，所以220014xy 代入上式可得2222000003342112244433xxMA BAxxx 022x.所以min23MA BA ，max9MA BA .对照选项MA BA 可以取 ABC.故选：ABC12如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M，N，P 分别是1AA，1CC，11C D的中点，Q 是线段11D A上的动点
26、，则（）A存在点 Q，使 B，N，P，Q 四点共面B存在点 Q，使PQ平面 MBNC三棱锥 P-MBN 的体积为13D经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为92【答案】ABC【分析】对于 A，连接1AB，1CD，可证得1ABPN，从而可得结论，对于 B，连接 PQ，11AC，当 Q 是11D A的中点第 9页 共 22页第 10页 共 22页时，由线面平行的判定可证得，对于 C,利用11P MBNMPBNDPBNB D PNVVVV三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥求解，对于 D，分别取1BB，1DD的中点 E，F，构造长方体 MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球
27、的表面积【详解】如图，在正方体1111ABCDABC D中，连接1AB，1CD，因为 N，P 分别是1CC，11C D的中点，所以1CDPN，又因为11CDAB，所以1ABPN，所以1A，B，N，P 四点共面，即当 Q 与1A重合时，B，N，P，Q 四点共面，故选项 A 正确；连接 PQ，11AC，当 Q 是11D A的中点时，因为11PQAC，11ACMN，所以PQMN，因为PQ 平面 BMN，MN平面 BMN，所以PQ平面 BMN，故选项 B 正确；连接1D M，1D N，1D B，因为1DMBN，所以1113P MBNMPBNDPBNB D PNVVVV三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥111 1
28、 223 ，故选项 C 正确；分别取1BB，1DD的中点 E，F，构造长方体 MADF-EBCN，则经过 C，M，B，N 四点的球即为长方体 MADF-EBCN 的外接球，设所求外接球的直径为 2R，则长方体 MADF-EBCN 的体对角线即为所求的球的直径，即2222244 19RABBCCN，所以经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为249R，故选项 D 错误.故选：ABC第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题(共 20 分)三、填空题(共 20 分)13若随机变量23,XN，且50.2P X，则15PX等于_【答案】0.6#35【分析】利用正态分布曲线的对称性直接求
29、解即可.【详解】23,XN，510.2P XP X，151510.6PXP XP X.故答案为：0.6.14若一个偶函数的值域为0,1，则这个函数的解析式可以是 f x _.【答案】2x（答案不唯一，其它正确答案同样给分）【分析】取()2xf x，验证函数为偶函数且值域为0,1即可.【详解】取()2xf x，函数的定义域为,且关于原点对称，()22()xxfxf x，所以函数()2xf x为偶函数.00,0,0221xxx，即01y所以函数()2xf x的值域为0,1.故答案为：2x（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.15已知数列 na的通项公式2*sin,N,2nnnan则 na的前22项
30、和22S_【答案】241第 11页 共 22页第 12页 共 22页【分析】讨论2nk、21nk对应na的通项可得2213521.Saaaa，结合等差数列前 n 项和公式求值即可.【详解】当2nk且*Nk 时2sin0nank，当21nk且Nk时，22sin()(1)2knnkna，所以0212221022213521.(1)1(1)3(1)5.(1)21Saaaa 1(53)(53).(21 19)(21 19)1 2(8 16243240)241 .故答案为：24116三棱锥PABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形，且2 2AC，各侧棱长均为 3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的
31、动点，则E到平面ABC的距离为_；设Q到平面PBC的距离为1,d Q到直线AB的距离为2d，则12dd的最小值为_.【答案】72#172142#1142【分析】取AC中点O，连接,PO BO，通过得出PO平面ABC可求出E到平面ABC的距离，以O为原点建立空间直角坐标系设01CQCE ，利用向量关系表示出12dd，求导可求出最小值.【详解】取AC中点O，连接,PO BO，因为3PAPC，2 2AC，所以POAC，且2327PO，因为ABC是等腰直角三角形，所以BOAC，且2BO，又3PB，满足222PBPOBO，所以POBO，因为ACBOO，所以PO平面ABC，因为点E为棱PA的中点，所以E到
32、平面ABC的距离为1722PO；如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设01CQCE ,则270,2,0,0,0,0,7,0,2,0,2,0,022CEPAB，则3 272,0,7,0,2,7,2,2,0,0,22PBPCABCE ，设01CQCE ，则可得3 270,22CQ，则3 270,2,22Q，则3 270,2 2,22AQ，所以243cos254832AQ ABQABAQAB ，所以22162416sin254832QAB,所以22sin464dAQQAB,设平面PBC的法向量为,nx y z，则00n PBn PC ，即270270 xzyz，令7x，可得7,7,2n，则1144C
33、Q ndn ，所以 21214464,014ddf，所以 243144464f，令 0f，解得2=5，又 2270464464f，所以 f在0,1单调递增，所以当20,5时，0f，0f单调递减，当2,15时，0f，0f单调递增，所以 min21452ff，即12dd的最小值为142.故答案为：72；142.第 13页 共 22页第 14页 共 22页四、解答题(共 70 分)四、解答题(共 70 分)17在ABC 中，已知33 cossincbAaB(1)求 B 的大小；(2)在下面 3 个条件中选一个，使得ABC 唯一存在，并求其面积13,4ba,2 34Ab4,21cb【答案】(1)3(2
34、)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得 B 的大小；（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积.(1)33 cossincbAaB由正弦定理得3sin3sincossinsinCBAAB3sincossinsin3sin3sincos3sincosBAABABABBAsinsin3sincosABAB，sin0A sin3cosBB，即tan3B，又0B，3B；(2)选：2222cosbacacB2131624cos3cc 1c或3c，所以ABC 不唯一存在所以不能选；选：sinsinabAB，即2 3sinsin43a2 2a,43
35、AB212362sinsinsincoscossin22224CABABAB1162sin2 22 333224SabC选2222cosbacacB即2211624 cos3aa 5a或1a （舍）11sin5 4 sin5 3223SacB .18数列 na的前n项和为nS，11a，12NnnaSn.(1)求数列 na的通项na；(2)求数列nna的前n项和nT.【答案】(1)21,12 3,2nnnan(2)121 312nnTn【分析】（1）由1n 可求得2a的值，令2n，由12nnaS可得12nnaS，两式作差可推导出数列 na从第二项开始成以3为公比的等比数列，即可求得数列 na的通
36、项公式；第 15页 共 22页第 16页 共 22页（2）分1n、2n两种情况讨论，结合错位相减法可求得nT.【详解】（1）解：当1n 时，2122aS，当2n时，由12nnaS可得12nnaS，上述两个等式作差得12nnnaaa，可得13nnaa，且213aa，所以，数列 na从第二项开始成以3为公比的等比数列，则22 3nna，因为11a 不满足22 3nna，故21,12 3,2nnnan.（2）解：12323nnTaaana，当1n 时，11T；当2n时，0121 4 36 323nnTn ，121334 36 323nnTn，得：1221222 33323nnnTn2113 1 32
37、22311 231 3nnnnn ，所以，121 3122nnnTn，又11T 也满足121 312nnTn，所以*121 312NnnTnn.19如图，圆台下底面圆O的直径为AB，C是圆O上异于,A B的点，且30BAC，MN为上底面圆O的一条直径，MAC是边长为2 3的等边三角形，4MB.(1)证明：BC平面MAC；(2)求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3 1313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）AB为圆台下底面圆O的直径，C是圆O上异于,A B的点，故=90ACB又=30BAC，2 3AC，
38、4ABMBACMC，BCBCABCMBC，=90BCMBCMC，又BCAC，ACMCC=，,AC MC 平面MACBC平面MAC（2）取AC的中点，连接,DM DO，则MDAC，由(1)可知，BCDMACBCC，DM平面ABC，又ODAC以D为原点，DA为x轴，DO为y轴，DM为z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A，(3,2,0)B，OO平面ABC，/DMOO，四边形ODMO为矩形，(0,2,3)N平面MAC的一个法向量为1(0,1,0)n .第 17页 共 22页第 18页 共 22页设平面NAB的一条法向量为2(,)nx y z，(2 3,2,0)AB uuu
39、r，(3,2,3)AN 由2200nABnAN 得2 3203230 xyxyz令3x，则3y，1z 平面NAB的一个法向量为2(3,3,1)n 则平面MAC与平面NAB的夹角的余弦值为121233 131339 1 1n nn n 平面MAC和平面NAB夹角的余弦值为3 131320 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图 1 所
40、示的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，7 的球槽内.例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下.（1）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率；（2）小红小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入 m 号球槽得到的奖金为元，其中|164|m.小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木块减少成 5 层，然后使小球
41、在下落的过程中与小木块碰撞时，有13的概率向左，23的概率向右滚下，最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入 n号球槽得到的奖金为元，其中2(4)n.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.【答案】（1）1564；（2）小明的盈利多，理由见解析.【分析】（1）设这个小球掉入 5 号球槽为事件A，掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次，利用独立重复试验的概率计算可得；（2）的可能取值为 0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出E；的可能取值为 0，1，4，9，求出对应
42、的概率，列出分布列求出E，比较E与E的大小，确定小明的盈利多.【详解】（1）设这个小球掉入5号球槽为事件A，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以24261115()2264P AC ，所以这个小球掉入 5 号球槽的概率为1564.（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，4，8，12.3336115(0)(4)()()2216PP mC，22444266111115(4)(3)(5)()()()()222232PP mP mCC，15556611113(8)(2)(6)()()()()222216PP mP mCC，066666111(12)(1)(7)()()2232PP
43、 mP mCC.04812P5161532316132一次游戏付出的奖金515311504812163214632E ，则小红的收益为159644.小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，1，4，9.4331(0)2323(4)()()381PP nC，22244441(1)(3)(5)=(22403)()3381)PP nP nCC，41321(4)(2)()()83381PP nC，411(9)(138)(1)PP n.第 19页 共 22页第 20页 共 22页0149P32814081881181一次游戏付出的奖金3240881818181101491E ，则小明的收益为4
44、 13.显然，934，所以小明的盈利多.【点睛】方法点睛：本题考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.21动点 P 到定点 F(0，1)的距离比它到直线=2y的距离小 1，设动点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C于 A、B 两个不同的点，过点 A、B 分别作曲线 C 的切线，且二者相交于点 M(1)求曲线 C 的方程；(2)求证：0M
45、FAB；(3)求 ABM 的面积的最小值【答案】(1)24xy；(2)见解析；(3)4【分析】（1）利用定义判断出曲线C为抛物线；（2）设出点,A B的坐标，利用导数分别求出过点,A B的切线方程，求出交点M的坐标为,24ABABxxx x，联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理算出44ABABxxkx x，从而得到2,1Mk，利用向量可以计算220BABAkAB MxxFxk x ，所以ABMF；（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得3224 1Sk，从而求得面积的最小值为4【详解】（1）解：由已知，动点P在直线=2y上方，条件可转化为动点P到定点0,1F的距离等于它到直线1y 距离，动
46、点P的轨迹是以0,1F为焦点，直线1y 为准线的抛物线，故其方程为24xy（2）证：设直线AB的方程为：1ykx，由241xyykx得：2440 xkx，设,AABBA xyB xy，则4ABxxk，4ABx x 由24xy得：214yx，12yx，直线AM的方程为：21142AAAyxxxx，直线BM的方程为：21142BBByxxxx，消 y 得：2222111422BAABBAxxxxxxx，即22ABxxxk，将2ABxxx代入 得：22111142244BAAAABAxxyxxx xx，114AByx x，故2,1Mk，-2,2,ABABMFkABxxk xx 220BABAAB M
47、Fk xxk xx ，ABMF（3）解：由（2）知，点M到AB的距离22 1MFkd，第 21页 共 22页第 22页 共 22页22444ABABABAFBFyyk xxk，3222211412 14 1422SAB dkkk，当0k 时，ABM的面积有最小值 4【点睛】形如22(0)xpy p的抛物线，考虑其切线时可以利用导数去讨论22已知函数 elnln1(0)x af xxaax（e 是自然对数的底数）(1)当1a 时，试判断 fx在1,上极值点的个数；(2)当1e 1a 时，求证：对任意1x，1f xa【答案】(1)()f x在1,上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明见解析【
48、分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；（2）求出函数的导数，构造函数()=e1x axh xx，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值000lnln11(1)xaf xx，故可将原问题转化为对任意1x，001lnln111xaxa，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【详解】（1）当1a 时，1elnln2xfxxx,则1122(1)(e)e(1)11()xxxxxxfxxxx，设1()=e1xxxx，则11()e11xxx 在1,上是增函数，当1x时，()x，(2)e20，所以存在0(1,2)x，使得0()0 x，当0(1,)x
49、x时，()0 x，则()0fx，即()f x在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx时，()0 x，则()0fx，即()f x在0(1,)x上单调递增，所以()f x在1,上只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）证明：由22(1)(e)e(1)11()x ax axxxxfxxxx，设()=e1x axh xx，则1()e11x ah xx 在1,上是增函数，当1x时，()h x ，因为1e1a，所以1(1)e 10h aa，所以存在0(1,1)xa，使得0000()e01xaxh xx，当0(1,)xx时，()0h x，则()0fx，即()f x在0(1,)x上单调递减，当0(,)xx时，(
50、)0h x，则()0fx，即()f x在0(1,)x上单调递增，故0 xx是函数 elnln1(0)x af xxaax的极小值点，也是最小值点，则0000elnl1)n()(xaf xxfxax，又因为000e1xaxx，所以000lnln11(1)xaf xx，即证：对任意1x，001lnln111xaxa，即证：对任意1x，001lnln111xaxa，设()ln11g xxx，则()ln11g xxx在1,上单调递减，因为0(1,1)xa，所以0()(1)g xg a，故001lnln111xaxa，故对任意1x，1f xa.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等