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1、 1/18 2021 年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）02 一、选择题 1如图所示几何体的左视图是（）A B C D【答案】C 图中几何体的左视图如图所示：故选 C 2如图，/,60,50ABCDABED，则DEF的度数为（）A110 B30 C20 D10【答案】D 解：/,60ABCDABE，60CFEABE，50D，且CFE为DEF 的外角，10DEFCFED，故选：D 2/18 3下列运算正确的是（）A2(5)5 B21()164 C632xxx D3 25()xx【答案】B A2(5)255，故 A 错误；B21()164，故 B 正确；C633xxx，故 C 错误；D3
2、26()xx，故 D 错误；故选 B 4如图，数轴上点P表示的数可能是（）A2 B4 C5 D10【答案】C 解：122，故 A 选项不符合题意；4=2，故 B 选项不符合题意；253，故 C 选项符合题意；3104，故 D 选项不符合题意；故选 C 5下列四个数中，最大的数是（）A1 B0 C|2|D-3【答案】C 最大的数是|-2|=2，故选 C 64 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439000 米，将 439000 用科学记数法表示应为（）3/18 A
3、0.439106 B4.39106 C4.39105 D439103【答案】C 解：将 439000 用科学记数法表示为 4.39105 故选：C 7某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：零件个数(个)6 7 8 人数(人)15 22 13 表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（）A7 个，7 个 B7 个，6 个 C22 个，22 个 D8 个，6 个【答案】A 根据题意，这组数据中的 7 出现 22 次，且次数最多，故这组数据的众数是 7 个，这组数据中共有 15+22+13=40 个数据，居中的两个数分别是 7 和 7，故这组数据的中位数是7772个，
4、故选：A.8小明把分式方程24xxx去分母后得到整式方程2280 xx，由此他判断该分式方程只有一个解对于他的判断，你认为下列看法正确的是（）A小明的说法完全正确 B整式方程正确，但分式方程有 2 个解 C整式方程不正确，分式方程无解 D整式方程不正确，分式方程只有 1 个解【答案】C 解：分式方程24xxx去分母后得到整式方程2280 xx，432280，方程2280 xx无实数根，方程24xxx无解，故整式方程不正确，分式方程无解，故选：C 4/18 9如图，ABC 的三个顶点分别为 A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)若反比例函数 ykx在第一象限内的图象与ABC 有交点，则 k 的
5、取值范围是()A1k4 B2k8 C2k16 D8k16【答案】C 由于ABC 是直角三角形，所以当反比例函数kyx经过点 A 时 k 最小，进过点 C 时 k 最大，据此可得出结论 ABC 是直角三角形，当反比例函数kyx经过点 A 时 k 最小，经过点 C 时 k 最大，k最小=12=2，k最大=44=16，2k16故选 C 10如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC15，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDE，连结 DC 交 AB 于点 F，则ACF 与BDF 的周长之和为（）A48 B50 C55 D60【答案】C AC=8，BC=15，ACB=90，AB=22A
6、CBC=17，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDE，CBD=60，BC=BD，BCD 是等边三角形，CD=BC=15，ACF 与BDF 的周长之和=AC+CF+DF+AF+BF+BD=AC+CD+AB+BD=55 故选：C 5/18 二、填空题 11分解因式：21a=_【答案】11aa 解：2111aaa 故答案为：11aa 12不透明袋子中装有除颜色外都相同的 8 个小球，其中白球 5 个，黑球 3 个从中任意摸出一球恰为白球的概率为_【答案】58 解：不透明袋子中装有除颜色外都相同的 8 个小球，其中白球 5 个，黑球 3 个搅匀后从中任意摸出1 个球，摸到黑球的概率为：58
7、故答案为：58 13计算：2422xxx_【答案】2x 解：222224442222222xxxxxxxxxxxx，故答案为：x+2 14“鸡兔同笼”是我国古代数学名著孙子算经上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为_【答案】4324102xyxy 解：根据题意可得：4324102xyxy，故答案为：4324102xyxy 15如图所示，在1010的正方形网格中有一半径为 5 的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分S甲表示 6/18 甲的面积，则 S 甲_ 【答案】252 解：如图示，各个交点分别用A，B，C，D，E
8、，F，G，H表示，则，正方形网格中，DEAHSS，ADHESS，AHGGABSS,GBCGFCSS,FCEECDSS,AHGGFCFCEHEAHSSSSSS甲，GABGBCECDDEADSSSSSS乙,SS甲乙 2125522S甲，故答案是：252 16已知，如图，ABC中，30B，6BC，7AB，D是BC上一点，4BD，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF （1）当F在AB上时，BF长为_；（2）连结CF，则CF的取值范围为_ 7/18【答案】833 12 7CF （1）如图 1，当 F 在 AB 上时，DEF为等边三角形，60DFE 30B，90BDF，2 32 38 3
9、4333BFBD 故答案是：8 33 （2）如图，以 CD 为边作等边CDG，连接 CF、EG DEF和DCG都是等边三角形,DEDF DCDGEDGFDC EDGFDC EGFC E 在 AB 上运动 当 E 点与 B 点重合时，EG 最大，即 FC 最大，如图 2 当EGAB时，EG 最小，即 FC 最小，如图 3 在图 2 中，过 F 点作FHBC BDF是等边三角形，FHBC 8/18,60BHHDFDH 4BD 2,tan602 3BHDHFHDH 6BC 4CHBCBH 222 7CFFHCH 在图 3 中EGAB即CEAB 6,30BCB sin303CEBC DCG是等边三角形
10、，4BD 2CGCDBCBD 1EGCECG 1CF CF 的取值范围是：12 7CF 故答案是：12 7CF 三、解答题 17（1）计算：0124cos 6033（2）先化简，再求值：2442mmmmm，其中22m 9/18【答案】（1）73 32；（2）22,22 2mm 解：（1）原式172 31333 322 ；（2）原式22442mmmmm 2222mmmm 2m m 2=2mm 当22m 时，原式=22222264 22 2422 2 18如图，AD与BC交于O点，AC，4AO，2CO，3CD，求AB的长 【答案】6 AC，AOBCOD，AOBCOD AOABCOCD 423AOC
11、OCD，6AB 19完全相同的 4 个小球，上面分别标有数字 1，1，2，2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）把第一次，第二次摸到的球上标有的数字分别记作 m，n，以 m，n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率（用树状图或列表法求解）【答案】34.解：如图所示：10/18 n m 1 -1 2 -2 1 （1,1）（-1,1）（2,1）（-2,1）-1 （1,-1）（-1,-1）（2,-1）（-2,-1）2 （1,2）（-1,2）（2,2）（-2,2）-2 （1,-2）（-1,-2）（2,-2）（-2,-2）根据表格可得
12、：共有 16 种情况，不在第二象限的有 12 种情况，则 P（不在第二象限）=123164 20如图，将ABCD 的边 AB 延长到点 E，使 BE=AB，连接 DE，交边 BC 于点 F（1）求证：BEFCDF；（2）连接 BD、CE，若BFD=2A，求证：四边形 BECD 是矩形 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形 AB=CD，ABCD，又AB=BE，BE=DC，又AECD，11/18 四边形 BECD 为平行四边形；（2）由（1）知，四边形 BECD 为平行四边形 FD=FE，FC=FB，四边形 ABCD 为平行四边形，A=BCD 又B
13、FD=2A，BFD=FCD+FDC，FCD=FDC，FC=FD，FC+FB=FD+FE，即 BC=ED，平行四边形 BECD 为矩形 21在平面直角坐标系xOy中，已知直线12yx与双曲线kyx的一个交点是2,Aa（1）求k的值；（2）设点P mn，是双曲线kyx上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点,0B b 若1m，求b的值；若=2PBAB，结合图象，直接写出b的值 【答案】（1）2k （2）3b；1b 或3.（1）直线 y=12x 与双曲线 y=kx的一个交点是 A（2，a），a=122=1，A（2，1），k=21=2；（2）若 m=1，则 P（1，n），点 P（1，n）是双曲线 y=k
14、x上不同于 A 的一点，12/18 n=k=2，P（1，2），A（2，1），则直线 PA 的解析式为 y=-x+3，直线 PA 与 x 轴交于点 B（b，0），0=-b+3，b=3；如图 1，当 P 在第一象限时，PB=2AB，A（2，1），P 点的纵坐标时 2，代入 y=2x求得 x=1，P（1，2），由可知，此时 b=3；如图 2，当 P 在第，三象限时，PB=2AB，A（2，1），P 点的纵坐标时-2，代入 y=2x求得 x=-1，P（-1，-2），A（2，1）则直线 PA 的解析式为 y=x-1，b=1，综上，b 的值为 3 或 1 13/18 22已知抛物线22222yxmxmm（其
15、中m为常数）（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若12,m y，221,my两点在抛物线上，试比较12yy与 0 的大小；（3）若该抛物线在41x 的部分与直线221ymxm 有两个公共点，试求出m的取值范围【答案】（1）见解析；（2）当32m 时，120yy；当32m 时，120yy；当32m 时，120yy；（3）11m （1）当 y=0 时，22222xmxmm=0，判别式=22(22)4(2)mmm=40，不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点（2）12,m y，221,my两点在抛物线上，221(2)2(22)2ymmmmm，222(21)(22)(
16、21)2ymmmmm，1223yym，当23m=0 时，32m ，-20，12yy的值随 m 的增大而减小，当32m 时，12yy0，综上所述：当32m 时，120yy；当32m 时，120yy；当32m 时，120yy（3）该抛物线在41x 的部分与直线221ymxm 有两个公共点，方程22222xmxmm=221mxm有两个不相等的实数根，且在41x 之间，整理得：22210 xxm，2222421042421012 1210mmm ，14/18 解得：1721mmm，11m 23（问题情境）已知矩形的面积为a（a为常数，0a），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？（数学模型
17、）设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为20ayxxx（探索研究）小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1yxx的图象性质（1）结合问题情境，函数1yxx的自变量x的取值范围是0 x，下表是y与x的几组对应值 x 14 13 12 1 2 3 m y 144 133 122 2 122 133 144 m_；画出该函数图象，结合图象，得出当x_时，y有最小值，y最小_；（解决问题）（2）直接写出“问题情境”中问题的结论 【答案】（1）4；画函数图象见解析，1，2；（2）当矩形的长为a时，它的周长最小，最小值是4 a 解：（1）令 y=144，则114m4m，解得 x=4；故填 4；
18、15/18（2）函数图象如图：2221121(1)22xxxxyxxxxx，0 x 2(1)xx0 当 x=1，函数的最小值为 2；（2）22()22axxaxayx 当矩形的长为a时，它的周长最小，最小值是4 a 24给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形 证明：（1）如图 1，MN是O的直径，点A、B、C在O上，AM，CN相交于点D求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（2）如图 2，在对余四边形ABCD中，ABBC，BD、AC为对角线，2BDBC，试探究线AD、AC和CD之间的数量关系，并说明理由 拓展：（3）已知，在ABC中，4ABAC，90A，D为ABC外一点，且四边形
19、ABCD为对余四 16/18 边形，试求出对角线BD的最大值【答案】（1）见解析；（2）2222CDADAC，理由见解析；（3）对角线BD的最大值为2 102 2 解：（1）连结 MB、NB，MN 为直径，MBN=90，BMN+BNM=90，BCN=BMN，BAM=BNM，BCN+BAM=BMN+BNM=90，四边形ABCD是对余四边形；（2）过 D 作 EDCD 于 D，截取 ED=AD，连结 AE，EDA+ADC=90，四边形 ABCD 为对余四边形，ABC+ADC=90 EDA=ABC，又AB=BC，ED=AD，ABCADE，ABACADAE，ABADACAE，18018022ABCED
20、ABACEAD，+BACCADEADCAD 即BADCAE，ABDACE，17/18 BDABCEAC即BDCEABAC，ABBC，2BDBC，2BDAC，2BDCEABAC，2CEAC，在 RtEDC 中，由勾股定理2222+2DEDCCEAC，222+2DEDCAC；AD=DE，222+2ADDCAC（3）过 AC 中点为圆心 O，以 AC 为直径作圆，过 O 作 OFAC 交O 于 F，连结 AF、CF，则AFC=90，过 F 作 FGBA 交延长线于 G，OAG=AOF=AGF=90，四边形 AOFG 为矩形，又OA=OF，四边形 AOFG 为正方形，四边形 ABCD 为对余四边形，ABC+ADC=90，AB=BC，BAC=90，ABC=ACB=45，ADC=90-ABC=45，点 D 在以点 F 为圆心，AF 长为半径的圆弧ADC优弧上运动，当 DB 过圆心 F 时，BD 最大，18/18 OA=OC=OF=FG=AG=2，FA=FD=FC=2222+2+22 2OFOC 在 RtBGF 中，由勾股定理222222+6+22 10BFBGFGABAGFG BD最大=BF+FD=2 10+2 2