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1、1 第 47 课椭圆的几何性质1.熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题.2.能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.1.阅读：选修11 第 3234 页(理科阅读选修21 相应内容).2.解悟：椭圆中的基本量a，b，c 满足关系 a2 b2 c2，在图形中分别对应着什么？有怎样的几何关系？离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与ba之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？ac，ac 是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？3.践习：在教材空白处完成选修11 第 34 页练习第1、2、4 题(理科完成选修21 相应任
2、务).基础诊断1.若焦点在x 轴上的椭圆x22y2m1 的离心率为12，则 m32.解析：因为焦点在x 轴上的椭圆x22y2m1 的离心率为12，所以2m214，得 m32.2.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为32，且椭圆 G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为x236y291.解析：由题意知e32，2a12，所以 a6，c 3 3，所以 b3，所以椭圆方程为x236y291.3.若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是433.解析：由题意知2b2，2a4b，所以b1，a2，所以ca2b23，则椭圆的中心到其准线的距离是a2
3、c43433.4.过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点F1作 x 轴的垂线交椭圆于点P，F2为其右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为33.解析：由题意知点P 的坐标为c，b2a或 c，b2a，因为 F1PF260，所以2cb2a3，即 2ac3b23(a2c2)，所以3e22e30，所以 e33或 e3(舍).范例导航2 考向?通过几何性质探求椭圆基本量例 1设 A，B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点.若椭圆 C 上存在点M 满足 AMB 120，求实数m 的取值范围.解析：若椭圆的焦点在x 轴上，则有a23，b2m(0m3)，当点 M 为椭圆短轴的端点时，此时 AMB
4、 最大，根据椭圆的对称性，只需满足 tanAMO abtan60 3(其中 O 为坐标原点)，即3m3，得 0m1；若椭圆的焦点在y 轴上，则有a2m(m3)，b23，同理可得m9.故 m 的取值范围是(0，1 9，).如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点 D 在椭圆上，DF1F1F2，F1F2DF122，DF1F2的面积为22，则该椭圆的标准方程为x22y21.解析：设 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c2a2b2.由F1F2DF122，得 DF1F1F22 222c，所以 SDF1F212DF1 F1F222c222，故 c1，所以 DF122.
5、由 DF1 F1F2，得 DF22DF21F1F2292，因此 DF23 22，所以 2aDF1DF22 2，故 a2，b2 a2 c2 1，因此所求椭圆的标准方程为x22y21.考向?求椭圆离心率例 2如图，x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且 PQPF1.(1)若 PF122，PF222，求椭圆的标准方程；(2)若 PF1PQ，求椭圆的离心率e.解析：(1)由题意得2aPF1PF2(22)(22)4，所以 a2.3 设椭圆的半焦距为c，由已知 PQPF1，所以 2cPF21PF22（22）2（22）22 3，所以 c3，所以 ba2
6、c21，故所求椭圆的标准方程为x24y21.(2)方法一：连结F1Q，设椭圆上点P(x0，y0)，PF1PF2，所以有x20a2y20b21，x20y20c2，解方程组，得x0aca22b2，y0b2c，由 PF1PQPF2，得 x00，从而PF21a a22b2cc2b4c2(aa2 2b2)2.由椭圆定义，得PF1PF22a，QF1QF22a，由 PF1PQPF2QF2，得 QF14a2PF1.又 PF1PQ，PF1PQ，所以 QF12PF1，所以(22)PF1 4a，所以(22)(aa22b2)4a，所以(22)(12e21)4，解得 e63.方法二：由椭圆定义，得PF1PF2 2a，Q
7、F1QF22a，由 PF1PQPF2QF2，得 QF14a2PF1.又 PF1PQ，PF1PQ，所以 QF12PF1，所以2PF14a2PF1，所以 PF12(22)a，从而 PF22aPF12a2(22)a2(21)a.由 PF1PF2，知 PF21PF22F1F22(2c)2，所以 ecaPF21PF222a（22）2（21）29 6 263.已知直线l 经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点.若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为14.解析：根据题意，设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为xcyb 1.若椭圆中心即(0，0
8、)到直线l 的距离为其短轴长的14，则有|1|1c21b2b4，得 b215c2，则 a2b2c216c2，即 a4c，所以椭圆的离心率为14.4 考向?椭圆离心率的取值范围问题例 3已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.解析：(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，PF1m，PF2n.在 PF1F2中，由余弦定理得4c2m2n22mncos60.因为 mn2a，所以 m2 n2(mn)2 2mn4a22mn，所以 4c24a23mn，即 3mn4a24c2.又 mnmn22a2
9、(当且仅当 mn 时取等号)，所以 4a24c23a2，所以c2a214，即 e12，所以 e的取值范围是12，1.(2)由(1)知 3mn 4(a2 c2)4b2，则 mn43b2，所以 SPF1F212mnsin60 33b2，所以 PF1F2的面积只与短轴长有关.如图，椭圆C：x2a2y2b21(ab0)，圆 O：x2 y2b2，过椭圆C 的上顶点A 的直线 l：ykxb 分别交圆O、椭圆 C 于不同的两点P，Q，设 AP PQ.(1)若点 P(3，0)，Q(4，1)，求椭圆C 的方程；(2)若 3，求椭圆C 的离心率e的取值范围.解析：(1)由点 P 在圆 O：x2y2b2上得 b3，
10、点 Q 在椭圆 C 上得（4）2a2（1）2321，解得 a218，所以椭圆C 的方程是x218y291.(2)联立y kxb，x2y2b2，解得 x0 或 xP2kb1k2.5 联立ykxb，x2a2y2b21，解得 x0 或 xQ2kba2a2k2b2.因为 AP PQ，3，所以 AP34AQ，所以2kba2k2a2b2342kb1k2，即a2a2k2b23411k2，所以 k23a24b2a2 4e21.因为 k20，所以 4e21，即 e12.又 0e1，所以12eb0)，因为 ca2b21，所以 a2b21.因为直线 AB 经过右焦点F2且垂直于x 轴，所以 A 1，32，B 1，3
11、2，代入椭圆方程得1a294b21.联立解得a2 4，b23，所以椭圆C 的方程为x24y231.4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQl，垂足为 Q，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率 e 的取值范围是(2 1，1).解析：设点P(x，y).因为 PQl，四边形 PQFA 为平行四边形，所以PQa2cxa c，可得 xaca2c.因为椭圆上点P 的横坐标满足xa，a，且 P，Q，F，A 不在一条直线上，所以 axa，即 aaca2c0 且 ca2c0，即 e22e10，解得e21.因为椭圆的离心率e(0，1)，所以椭圆的离心率 e 的取值范围是(2 1，1).1.求椭圆的离心率及离心率的取值范围，其实质是去寻找含a，b，c 的齐次等式或齐次不等式.2.在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义，有时还会结合正(余)弦定理解决问题.3.你还有哪些体悟，写下来：7