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1、1 第 81 课几 何 概 型1.了解几何概型的基本概念、特点和意义，了解测度的简单含义.2.了解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的问题.1.阅读：必修3 第 106111页.2.解悟：读懂几何概型的定义；归纳出古典概型的特征；重解课本例题，体会方法.3.践习：在教材空白处，完成本节习题.基础诊断1.两根相距为8m 的木杆上系一根绳子，拉直并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 3m 的概率为14.解析：灯可以挂在绳子上的任何地方，且可能性是一样的，故选用几何概型.先找出等于 3m 的临界点，再寻求大于3m 的长度，故所求概率为14.2.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随
2、机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于14，则周末打篮球；否则就在家看书，那么小明周末在家看书的概率是316.解析：圆的面积设为，则点到圆心的距离大于12的面积为 434，点到圆心的距离小于14的面积为16.由几何概型得小明周末在家看书的概率为P13416316.3.在面积为S的 ABC 的边 AB 上任取一点P，则 PBC 的面积大于S4的概率为34.解析：设在ABC 中，AB 边上的高为h，则 S12AB h，SPBC12PB h，要使 PBC的面积大于S4，即 PB 大于AB4，由几何概型知PBC 的面积大于S4的概率为P11434.4.
3、在棱长为a 的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点 P 到点 A 的距离小于等于a 的概率为6.解析：由题意可得正方体的体积为a3，与点 A 距离小于等于a 的轨迹是一个八分之一的球，体积为 V1843 a3 a36.由几何概型知识点P到点 A 的距离小于等于a 的概率为P a36a36.2 范例导航考向?与长度、角度有关的几何概型例 1某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是多少？解析：如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而
4、当他的到达时间落在线段AC 或 DB上时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，得所求概率P10104012.如图，四边形ABCD 为矩形，AB3，BC1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在 DAB 内任作射线AP，则射线AP 与线段 BC 有公共点的概率为13.解析：因为在 DAB 内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是 DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线AP 落在 CAB 内，则区域M 为 CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为CABDAB309013.【注】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度
5、)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是随机对象的不同决定了构建事件的区域(长度或角度)不同.考向?与面积有关的几何概型例 2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是多少？解析：不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得 S正方形4.3 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白12S圆2，所以由几何概型知，所求概率PS黑S正方形248
6、.由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为1，由不等式组xy1，xy 2确定的平面区域记为 2，若在 1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为78.解析：如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知点 C 12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率PS四边形OACDSOABSOABSBCDSOAB214278.【注】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.考向?与体积有关的几何概型例 3如图，正方
7、体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率为12.解析：过点M 作平面 平面 ABCD，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点 M 在平面 上任意位置时，四棱锥MABCD 的体积都相等.若此时四棱锥MABCD的体积等于16，只要 M 在截面以下即可小于16，当 VMABCD16时，即1311h16，解得 h4 12，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率P111211112.在一杯10 升的清水中，有一条小鱼，现任意取出1 升清水，则小鱼被取到的概率是110.【注】求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几
8、何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.自测反馈1.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为34.解析：设任取两点所表示的数分别为x，y，则 0 x1，且 0y1.由题意知|xy|12，作出平面区域，可得 P12121212134.2.在等腰直角三角形ABC 中，C90，在直角边BC 上任取一点M，则 MAC30 的概率是33.解析：因为点 M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度.设直角边长为a，则所求概率为33aa33.3.已知正三棱锥SABC 的底面边长为4，高为 3，在正三棱锥
9、内任取一点P，使得 VPABC12VSABC的概率是78.解析：设三棱锥PABC 的高为 h，则13SABC h1213SABC 3，即 h32，所以当点P 在大三棱锥的中截面以下时，满足题意，故P1小三棱锥大三棱锥1133412321334 22378.4.在满足不等式组xy10，xy30，y0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A为“y02x0”，那么事件A 发生的概率是34.5 解析：作出不等式组xy10，xy30，y0表示的平面区域即ABC，其面积为4，且事件A为“y02x0”表示的区域为AOC，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.1.有些几何概型可用长度作为测度，比如，把时刻抽象为点，则时间就是长度；转动瞬时角抽象为点，则转过角度就抽象为长度等等；有些问题直接与面积有关，也有一些实际问题，当涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论，这也要采用面积为测度；有些问题需用体积、质量等作为测度.2.背景相似的问题，当等可能的视角不同时，其概率往往不同，应注意分析测度的差异.3.你还有那些体悟，写下来：6