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1、1 第 46 课椭圆的标准方程1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质.2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质 用代数方法求解几何问题.1.阅读：选修11 第 2526 页，选修11 第 2829 页(理科阅读选修21 相应内容).2.解悟：椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？理解化简过程中设a2c2b2的合理性与必要性.3.践习：将选修11 第 28 页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；在教材空白处，完成选修 11 第 30 页练习第2、
2、3、4 题(理科完成选修21 相应任务).基础诊断1.已知下列方程：x24y231；4x23y212；2x22y25；x212y2321.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有.(填序号)解析：的方程表示焦点在x 轴上的椭圆；将的方程4x23y212 化为x23y241，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；是圆；表示焦点为F(0，1)的椭圆.2.已知 M(1，0)，N(0，1)，动点 P 满足 PMPN2，则点 P 的轨迹是椭圆.3.已知椭圆x212y231，其焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若线段PF1的中点在y 轴上，则 PF17 32，PF232.解析：由题意得ca2b2 3，所以 F2
3、(3，0).设 PF1的中点为 Q，则 OQ PF2，所以PF2垂直于x 轴，故可设P(3，y0)，所以912y2031，所以y032，所以PF232.又因为PF1PF24 3，所以 PF1732.4.已知方程x22ky22k11 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是(1，2).解析：由题意得2k12k0，所以 1kb0).由题意知 2a10，c 4，所以 a 5，所以 b2a2c29，所以椭圆的标准方程为x225y291.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0).由题意及椭圆定义知2a32252 2232252222 10，所以 a10.又因为
4、c2，所以 b2a2c26，所以椭圆的标准方程为y210 x261.求满足下列条件椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的3 倍且经过点A(3，0)；(2)经过两点A(0，2)和 B12，3.解析：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0).因为椭圆过点A(3，0)，所以9a21，所以 a3.又 2a3 2b，所以 b1，所以椭圆的标准方程为x29y21.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0).因为椭圆过点A(3，0)，所以9b21，所以 b3.又 2a3 2b，所以 a9，所以椭圆的标准方程为y281x291.综上可知，椭圆的标准方程为x29 y2
5、1 或y281x291.(2)设经过两点A(0，2)，B12，3 的椭圆的方程为mx2ny21，将 A，B 两点的坐标代入方程得4n1，14m3n1，3 解得m 1，n14，所以椭圆的标准方程为x2y241.考向?椭圆的定义及应用例 2求过点 A(2，0)且与圆 x24xy232 0内切的圆的圆心的轨迹方程.解析：将圆的方程化简为(x2)2y262，圆心 B(2，0)，r6.设动圆圆心M 的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C，如图所示.则 BCMC BM，而 BC6，所以 BM CM6.又 CMAM，所以 BMAM 6AB 4，所以点 M 的轨迹是以点B(2，0)，A(2，0)为焦点、线
6、段AB 的中点(0，0)为中心的椭圆，所以 a3，c2，b5，所以所求轨迹方程为x29y251.已知定圆 M：(x3)2y216，动圆 N 过点 F(3，0)且与圆 M 相切，记圆心N 的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程；(2)设点 A，B，C 在 E 上运动，A 与 B 关于原点对称，且AC CB，当 ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程.解析：(1)因为点 F(3，0)在圆 M：(x3)2y216 内，所以圆N 内切于圆 M.因为 NM NF4FM，所以点 N 的轨迹 E 是以 M(3，0)，F(3，0)为焦点的椭圆，且2a 4，c3，所以 b1，所以轨迹 E 的方程为x24y21
7、.(2)当 AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)，此时 SABC12 OC AB 2.当直线 AB 的斜率存在且不为0 时，设其斜率为k，直线 AB 的方程为ykx，联立方程x24y21，y kx，4 可得 x2A414k2，y2A4k214k2，所以 OA2x2Ay2A4（1k2）14k2.由 AC CB 知，ABC 为等腰三角形，O 为 AB 的中点，OCAB，所以直线 OC 的方程为y1kx，由x24 y21，y1kx，得 x2C4k2k24，y2C4k24，所以 OC24（1k2）k24.SABC2SOACOA OC4（1k2）1 4k24（1k2
8、）k244（1k2）（14k2）（k24）.由于（14k2）（k2 4）（1 4k2）（k2 4）225（1k2）2，所以 SABC85，当且仅当 14k2k24，即 k 1 时等号成立，此时 ABC 面积的最小值是85.因为 285，所以 ABC 面积的最小值为85，此时直线 AB 的方程为yx 或 y x.自测反馈1.若椭圆 5x2ky25 的一个焦点是(0，2)，则 k1.解析：把椭圆方程化为标准方程得x2y25k1，因为焦点坐标为(0，2)，所以长半轴在y轴上，则c5k12，解得 k1.2.已知P 是椭圆x225y2161 上的一点，F1，F2是它的两个焦点，若F1PF260，则PF1
9、F2的面积为1633.解析：因为椭圆x225y2161，所以 a5，b4，所以 c3.设 PF1t1，PF2 t2，则 t1t210，t21t222t1t2cos 60 36，即 t21t22t1t236，所以 t1t213(t1t2)2(t21t22 t1t2)643，所以 SPF1F212t1t2sin 60 1633.5 3.已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆x23y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC 上，则 ABC 的周长是4 3.解析：由椭圆x23 y2 1，所以a23，解得a3.设椭圆的另一个焦点为A1，由椭圆的定义可得BA BA1CA CA12a，所以 ABC 的周长为4a43.4.过两点(2，2)，1，142，中心在原点，焦点在坐标轴上椭圆的方程为x28y241.解析：设椭圆的方程为mx2ny2 1，将点(2，2)，1，142代入，得4m2n1，m72n1，解得m18，n14，所以椭圆的方程为x28y241.1.椭圆定义中的条件：2aF1F22c，否则其轨迹不是椭圆；当2a2c 时，其轨迹是线段；当 2a2c 时，轨迹不存在.2.求椭圆标准方程时，要先确定焦点的位置，再确定a，b，c，由于有a2c2b2，因此，只要能够确定a，b，c 中的两个即可.3.你还有哪些体悟，写下来：6