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1、1 第 55 课向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算.3.能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.1.阅读：必修4 第 8388 页.2.解悟：数量积的定义；向量b 在向量 a方向上的投影；两个向量夹角的范围；重解第 87 页例 4，体会解题的方法和规范.3.践习：在教材空白处，完成第8990 页习题 1218 题.基础诊断1.判断下列各题正确与否：(1)0a(2)0a0.()(3)若 a 0，a ba c，则 b)(4)若 a b ac，则 bc，当且仅当a0 时成立(5)(ab)ca(b
2、c)，对任意 a，b，c 向量都成立(6)对任意向量a，有 a2|a|2.()【分析与点评】(1)(2)实数与向量的乘积是一个向量，向量与向量的数量积是一个实数；(3)向量不能进行除法运算；(4)当 a(bc)时也成立；(5)向量间的乘法不具有结合律.2.已知 A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则 AB AC4.解析：由题意得AB(2，1)，AC(2，0)，所以 AB AC(2，1)(2，0)4.3.已知菱形ABCD 的边长为 a，ABC 60，则 BD CD32a2.解析：由题意得，|BA|2a2，BA BCaacos 60 12a2，所以 BD CD(BABC)BA|BA|2BC
3、BAa212a232a2.4.已知|a|2，|b|4，且(ab)a，则向量a 与 b 的夹角为23.解析：由题意得(ab)a0，即 a2a b0，所以 a b|a|2 4.设 a与 b 的夹角为，所以 cos a b|a|b|42412，所以 23.范例导航考向?通过定义求平面向量的数量积例 1已知|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为135.(1)求(ab)(2ab)的值；(2)若 k 为实数，求|akb|的最小值.2 解析：(1)由题意得a b|a|b|cos 135 1，(ab)(2ab)2a2b2a b4112.(2)|akb|2|a|2k2|b|22ka b k2 2k2(k 1)
4、21.当 k1 时，|akb|2的最小值为1，即|akb|的最小值为1.已知向量 a、b 满足|b 1，且 a与 b a的夹角为23，则|a|的取值范围是0，2 33.解析：在 ABC 中，设 ABa，ACb.因为 baACABBC，a 与 ba 的夹角为120，所以 ABC60.因为|AC|b|1，所以|a|sin C|b|sin 60，所以|a|2 33sin C233，所以|a|0，2 33.考向?通过“基底法”求平面向量的数量积例 2如图，在 ABC 中，已知AB 4，AC 6，BAC 60，点 D，E 分别在边AB，AC 上，且 AB2AD，AC 3AE，F 为 DE 的中点，求 B
5、F DE的值.解析：DEAEAD13AC12AB，BFDFDB12DE12AB16AC34AB，所以 BF DE(16AC34AB)(13AC12AB)118|AC|213AC AB38|AB|22464.在平面四边形ABCD 中，O 为 BD 的中点，OA3，OC5.若AB AD 7，则BC DC9.解析：因为 O 为 BD 的中点，所以 OBOD0.因为 AB AD 7，所以(AOOB)(AOOD)|AO|2AO ODOB AOOB OD|AO|2AO(OD OB)|OB|2|AO|2|OB|27，即 32|OB|2 7，所以|OB|216，所以|OB|OD|4，所以 BC DC(BOOC
6、)(DO3 OC)BO DO BO OCOC DO|OC|2|BO|2OC(BODO)|OC|2 16 529，故 BC DC的值为 9.考向?通过建系法求平面向量的数量积例 3在矩形 ABCD 中，边长 AB 2，AD 1，若 M，N 分别是边BC，CD 上的点，且BMBCCNCD，则 AM AN的取值范围是1，4.解析：以 AB 所在的直线为x 轴，以 AD 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).设点 M 的坐标为(2，y)，点 N 的坐标为(x，1).因为BMBCCNCD，所以 y2x2，所以 AN(x，1)，AM
7、2，2x2，所以 AM AN2，2x2(x，1)3x21，0 x 2，所以 13x21 4，即 AM AN1，4.在 RtABC 中，CA CB3，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN 2，则CM CN的取值范围是4，6.解析：以 C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则点 A(3，0)，B(0，3)，所以直线 AB 的方程为x3y31，即 y x3.设点 N(a，3a)，M(b，3b)，且 0a3，0b3.不妨设 ab，因为 MN 2，所以(a b)2(3a3b)2 2，所以 ab1，所以ab1，所以 0b2.CM CN(a，3a)(
8、b，3 b)2ab3(ab)9 2(b1)b3(b 1b)92(b1)24.因为 0b2，当 b 0 或 b 2 时有最大值6，当 b1 时，有最小值4，所以 CM CN的取值范围是4，6.自测反馈1.若 a，b 均为单位向量，且a(a2b)，则 a，b 的夹角大小为3.解析：由题意得a(a2b)0，即 a22a b0.因为 a，b 均为单位向量，所以a b12.4 设 a 与 b 的夹角为，所以 cos a b|a|b|12112，所以 3，故 a与 b 的夹角大小为3.2.已知向量a(1，1)，b(1，1)，设向量c 满足(2ac)(3bc)0，则|c|的最大值为26.解析：设c(x，y)
9、，则 2ac(2x，2y)，3b c(3x，3y).因为(2ac)(3bc)0，所以(2 x，2y)(3 x，3y)0，即x122 y522132.因为圆经过原点，所以|c|的最大值为圆的直径26.3.在 ABC 中，AC 3，BC4，C90，D 是 BC 的中点，则 BA AD的值为17.解析：如图以C 为原点，AC 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，则点C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，D(0，2)，所以 BA(3，4)，AD(3，2)，所以BA AD(3，4)(3，2)98 17.4.已知菱形ABCD 的边长为 2，BAD 120，点 E，F 分别在边BC，DC 上，BE BC，CF CD.若AE BF 1，则 22.解析：AE BF(ABBE)(BC CF)(AB BC)(BC CD)(AB AD)(AD AB)|AB|2|AD|2(12)AB AD(12)AB AD(12)22cos 120 2(21)1，解得 22.因为 0，所以 22.1.求两个非零向量的夹角时，要注意它的取值范围是0，.2.两个向量数量积是一个数，常用的计算方法有：定义法、坐标法、基底法等，在使用定义法时，要准确确定两个向量的夹角.3.你还有哪些体悟，写下来：5