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1、Lagrange插值多项式的缺点插值多项式的缺点我们知道我们知道,Lagrange,Lagrange插值多项式的插值基函数为插值多项式的插值基函数为理论分析中很方便，理论分析中很方便，但是但是当当插值节点增减插值节点增减时时全部插值全部插值基函数基函数就要随之就要随之变化变化，整个公式也将发生变化，这在，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很实际计算中是很不方便不方便的；的；Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x)都需重新算过。都需重新算过。第1页/共33页两点直线公式(xk,yk)(xk+1,yk+1)考虑点
2、斜式，两点为(x0,y0)(x1,y1):在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式C(x)应是一个二次多项式。第2页/共33页所以有C(x)应是一个二次多项式。根据插值条件根据插值条件：可以求出：重新写p2(x)：第3页/共33页第4页/共33页基函数基函数第5页/共33页有再继续下去待定系再继续下去待定系数的形式将更复杂数的形式将更复杂 。为此引入差商和差分的概念为此引入差商和差分的概念第6页/共33页差商差商(亦称均差亦称均差)/*divided difference*/1阶差商阶差商/*the 1st divided difference of f w.r.t.xi
3、 and xj*/2阶差商阶差商定义定义2.2.11101010111010,.,.,.,.,.,+=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶阶差差商商第7页/共33页差商的计算方法差商的计算方法(表格法表格法):):规定函数值为规定函数值为零阶差商零阶差商差商表差商表第8页/共33页第9页/共33页差商具有如下性质差商具有如下性质:Warning:my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！第10页/共33页NewtonNewton插值公
4、式及其余项插值公式及其余项第11页/共33页12 n+11+(x x0)2+(x x0)(x xn 1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=f x0,xi NewtonNewton插值公式及其余项插值公式及其余项第12页/共33页第13页/共33页NewtonNewton插值公式及其余项插值公式及其余项第14页/共33页例：例：已知已知x=1,4,9的平方根为的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商，利用牛顿基本差商 公式求公式求 的近似值。的近似值。解：解：从而得二阶牛顿基本差商公式为从而得二阶牛顿基本差商公式为因此计算得因此计算得 的近似值为的近似值为第15页/共33页第16页/共33页复习：复
5、习：多项式插值问题：寻找一个多项式插值问题：寻找一个n次多项式，次多项式，满足下列插值条件：满足下列插值条件：函数函数在插值节点上的取值为：在插值节点上的取值为：第17页/共33页Lagrange Lagrange 插值方法插值方法其中：其中：余项公式：余项公式：第18页/共33页Newton Newton 插值方法插值方法其中：其中：余项公式：余项公式：第19页/共33页性质性质3 3P32P32第20页/共33页练习练习第21页/共33页上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以用时经常会遇到等
6、距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念；插值公式，我们先来看一个新概念；第22页/共33页向前向前向前向前向后向后向后向后中心中心中心中心差分算子差分算子差分算子差分算子不在函数表上，要用到不在函数表上，要用到函数表上的值函数表上的值第23页/共33页利用一阶差分可以定义二阶差分利用一阶差分可以定义二阶差分差分差分第24页/共33页可以用归纳法证明如差分差分第25页/共33页差分表差分表第26页/共33页差分与函数值之间的关系差分与函数值之间的关系归纳可知，归纳可知，k阶差商可表示
7、为阶差商可表示为 第27页/共33页在等距节点的前提下在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系差商与差分有如下关系第28页/共33页依此类推第29页/共33页由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前向前(差分差分)插值公式插值公式第30页/共33页则插值公式化为其余项化为第31页/共33页称为Newton向前插值公式插值余项为NewtonNewton插值法的优点是计算较简单插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时尤其是增加节点时,计算只要增加一项计算只要增加一项,这点是这点是LagrangeLagrange插值无法比的插值无法比的.但是但是NewtonNewton插值仍然没有改变插值仍然没有改变LagrangeLagrange插值的插值曲线插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点等缺点.第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页