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1、1.引言2.拉格朗日插值3.均差与牛顿插值公式4.差分与等距节点插值5.埃尔米特插值6.分段低次插值7.三次样条插值插值法插值法插值法插值法第1页/共133页能否存在一个性能优良、便于计算的函数能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题一、插值问题第2页/共133页-(1)这就是插值问题,(1)式为插值条件,其插值函数的图象如图第3页/共133页第4页/共133页整体误差的大小反映了插值函数的好坏整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函一般插值函数都使用代数多项式和有理函数。数都使用代数多项式和有理函数。x0 x1
2、x2x3x4xP(x)f(x)第5页/共133页Lagrange插值多项式插值多项式为了求得便于使用的简单的插值多项式为了求得便于使用的简单的插值多项式P(x),我们先讨论我们先讨论n=1的情形的情形要求线性插值多项式要求线性插值多项式L1(x),使它满足使它满足：L1(x)的几何意义就是通过这两点的直线；的几何意义就是通过这两点的直线；第6页/共133页由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数是由两个线性函数也是线性插值多项式也是线性插值多项式称为线性插值基函数称为线性插值基函数第7页/共133页n=2的情况，假定插值节点为的情况，假定插值节点为为了求出为了求出L L2 2(x)(x)的
3、表达式，可采用基函数方法的表达式，可采用基函数方法第8页/共133页同理同理线性无关，作为二次插值基函数线性无关，作为二次插值基函数第9页/共133页得到二次插值多项式得到二次插值多项式考虑通过n+1个节点第10页/共133页n+1n+1次多项式次多项式第11页/共133页且(请同学们思考请同学们思考)从而从而第12页/共133页n 1希望找到希望找到li(x)，i=0,n 使得使得 li(xj)=ij；然后令；然后令=niiinyxlxP0)()(，则显然有，则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn=njj i jiniiixxCxxxxxx
4、Cxl00)().().()(=j i jiiiixxCxl)(11)(Lagrange Polynomial节点节点f第13页/共133页例1:解:第14页/共133页且在例在例1中中,如果只给出两个节点如果只给出两个节点169和和225,也可以作插值也可以作插值多项式多项式,即即1次次Lagrange插值多项式插值多项式,有两个插值基函数有两个插值基函数,这种插值方法称为这种插值方法称为Lagrange线性插值线性插值,也可以在也可以在n+1个个节点中取相邻的两个节点作线性插值节点中取相邻的两个节点作线性插值第15页/共133页例2.解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值
5、多项式为第16页/共133页所以所以LagrangeLagrange插值多项式的缺点：插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高高次插值的精度不一定高高次插值通常优于高次插值通常优于低次插值低次插值第17页/共133页三、插值余项三、插值余项Remainder满足不会完全成立不会完全成立因此因此,插值多项式存在着截断误差插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估那么我们怎样估计这个截断误差呢？计这个截断误差呢？第18页/共133页令设其中第19页/共133页近似函数近似函数误差误差第20页/共133页根据根据RolleRolle定理定理,再由再由RolleRol
6、le定理定理,依此类推由于因此第21页/共133页所以定理定理2 2.Lagrange型余项第22页/共133页第23页/共133页余项表达式只有在余项表达式只有在f(x)f(x)的高阶导数存在时才能应用。的高阶导数存在时才能应用。设则第24页/共133页例3:解:第25页/共133页第26页/共133页练习练习1：第27页/共133页练习练习2：第28页/共133页第29页/共133页第30页/共133页第31页/共133页第32页/共133页第33页/共133页第4章 插值和拟合均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式第34页/共133页Lagrange插值多项式的缺点插值多项式的缺点我们知道
7、我们知道,Lagrange,Lagrange插值多项式的插值基函数为插值多项式的插值基函数为理论分析中很方便，理论分析中很方便，但是但是当当插值节点增减插值节点增减时时全部插值全部插值基函数基函数就要随之就要随之变化变化，整个公式也将发生变化，这在，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很实际计算中是很不方便不方便的；的；Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x)都需重新算过。都需重新算过。第35页/共133页解决解决由线性代数的知识可知由线性代数的知识可知,任何一个任何一个n n次多项式都可以表示成次多项式都可以
8、表示成共共n+1n+1个多项式的线性组合个多项式的线性组合那么，是否可以将这那么，是否可以将这n+1n+1个多项式作为插值基函数呢？个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组显然，多项式组线性无关，线性无关，因此，因此，可以作为插值基函数可以作为插值基函数第36页/共133页基函数基函数第37页/共133页有再继续下去待定系再继续下去待定系数的形式将更复杂数的形式将更复杂 。为此引入差商和差分的概念为此引入差商和差分的概念第38页/共133页差商差商(亦称均差亦称均差)/*divided difference*/1阶差商阶差商/*the 1st divided difference of fxi
9、 and xj*/2阶差商阶差商定义定义2.2.11101010111010,.,.,.,.,.,+=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶阶差差商商第39页/共133页差商的计算方法差商的计算方法(表格法表格法):):规定函数值为规定函数值为零阶差商零阶差商差商表差商表第40页/共133页第41页/共133页差商具有如下性质差商具有如下性质:Warning:my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！第42页/共133页NewtonNe
10、wton插值公式及其余项插值公式及其余项第43页/共133页12 n+11+(x x0)2+(x x0)(x xn 1)n+1Nn(x)ai=f x0,xi NewtonNewton插值公式及其余项插值公式及其余项第44页/共133页第45页/共133页NewtonNewton插值公式及其余项插值公式及其余项第46页/共133页例：例：已知已知x=1,4,9的平方根为的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商，利用牛顿基本差商 公式求公式求 的近似值。的近似值。解：解：从而得二阶牛顿基本差商公式为从而得二阶牛顿基本差商公式为因此计算得因此计算得 的近似值为的近似值为第47页/共133页第48页/共
11、133页二、代数插值多项式的存在二、代数插值多项式的存在唯一性唯一性且满足且满足-(2)-(3)第49页/共133页-(4)上述方程组的系数行列式为上述方程组的系数行列式为n+1n+1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式由由CramerCramer法则法则,线性方程组线性方程组(4)(4)有唯一解有唯一解第50页/共133页定理定理1.1.则满足插值条件则满足插值条件的插值多项式的插值多项式存在且唯一存在且唯一.注：注：若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n，则插值多项式，则插值多项式不唯一不唯一。例如例如 也是一个插值多项式，也是一个插值多项式，其中其中 可以是任意多项式。可以是任意多项式
12、。第51页/共133页性质性质3 3P32P32第52页/共133页练习练习第53页/共133页4.3 埃尔米特插值埃尔米特插值 /*Hermite Interpolation*/不仅要求函数值重合，而且要求若干阶不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 (x)满足满足 (xi)=f(xi),(xi)=f (xi),(mi)(xi)=f(mi)(xi).注：注：N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。N 1要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插阶导数都重合的插值多项式即为值多项式即为Taylor多项式
13、多项式其余项为其余项为一般只考虑一般只考虑 f 与与f 的值。的值。第54页/共133页3 Hermite Interpolation例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和和 f(x1),求多项式求多项式 P(x)满足满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且且 P(x1)=f(x1),并估计误差。并估计误差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1,x2，且且 h0(x1)=0 x1 是重根。是重根。
14、)()()(22100 xxxxCxh =又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)h1(x)有根有根 x0,x2 )()()(201xxxxBAxxh +=由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 h1(x1)=0 可解。可解。与与h0(x)完全类似。完全类似。(x)h1有根有根 x0,x1,x2 h1)()()(2101xxxxxxCx =h1又又:(x1)=1 C1 可解。可解。其中其中 hi(xj)=ij,hi(x1)=0,(xi)=0,(x1)=1 h1 h1第55页/共133页3 Hermite Interpolation一般地，已知一般地，已知 x0,xn 处有处有 y0,yn
15、 和和 y0,yn，求，求 H2n+1(x)满满足足 H2n+1(xi)=yi，H2n+1(xi)=yi。解：解：设设+=ni)()()(=0iixhxhyixH2n+1 n=0iyi其中其中 hi(xj)=ij,hi(xj)=0,(xj)=0,(xj)=ij hi hihi(x)有根有根 x0,xi,xn且都是且都是2重根重根 )()()(2xlBxAxhiiii+=由余下条件由余下条件 hi(xi)=1 和和 hi(xi)=0 可解可解Ai 和和 Bi (x)hi有根有根 x0,xn,除了除了xi 外都是外都是2重根重根 hi)()(iili2(x)xxCx=hi又又:(xi)=1 Ci=
16、1 hi)(x)(ili2(x)xx=设设则则第56页/共133页3 Hermite InterpolationQuiz:给定给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是下面哪个是 h2(x)的图像？的图像？x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1 求求Hermite多项式的基本步骤：多项式的基本步骤：写出相应于条件的写出相应于条件的hi(x)、hi(x)的组合形式；的组合形式；对每一个对每一个hi(x)、hi(x)找出尽可能多的条件给出的根；找出尽可能多的条件给出的根；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根
17、据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；最后完整写出最后完整写出H(x)。第57页/共133页4 分段低次插值分段低次插值 /*piecewise polynomial approximation*/Remember what I have said?Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result,since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)
18、。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)分段分段低次低次插值插值第58页/共133页4 Piecewise Polynomial Approximation 分段线性插值分段线性插值 /*piecewise linear interpolation*/在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。分段分段Hermit
19、e插值插值 /*Hermite piecewise polynomials*/给定给定在在 上利用两点的上利用两点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数函数导数一般不易得到。导数一般不易得到。How can we make a smooth interpolation without asking too much from f?Headache 第59页/共133页三次样条三次样条 插值插值第60页/共133页早早早早期期期期工工工工程程程程师师师师制制制制图图图图时时时时，把把把把富富富富有有有有弹弹弹弹性性性性的的的的细细细细长长长长木木木木条条条条（所所所所谓谓谓谓样样样样
20、条条条条）用用用用压压压压铁铁铁铁固固固固定定定定在在在在样样样样点点点点上上上上，在在在在其其其其它它它它地地地地方方方方让让让让它它它它自自自自由由由由弯弯弯弯曲曲曲曲，然然然然后后后后画画画画下下下下长长长长条条条条的的的的曲曲曲曲线线线线，称称称称为为为为样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线。它它它它实实实实际际际际上上上上是是是是由由由由分分分分段段段段三三三三次次次次曲曲曲曲线线线线并并并并接接接接而而而而成成成成，在在在在连连连连接接接接点点点点即即即即样样样样点点点点上上上上要要要要求求求求二二二二阶阶阶阶导导导导数数数数连连连连续续续续，从从从从数数数数学学学学上上上上加加加加以
21、以以以概概概概括括括括就就就就得得得得到到到到数数数数学学学学样样样样条条条条这这这这一概念。一概念。一概念。一概念。三次样条插值三次样条插值样条本质上是一段一段的样条本质上是一段一段的三次多项式三次多项式拼合而成的曲线拼合而成的曲线在拼接处在拼接处,不仅函数是连续的不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数且一阶和二阶导数也是连续的也是连续的第61页/共133页一、三次样条插值函数一、三次样条插值函数定义定义定义定义1.1.-(1)第62页/共133页注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数
22、值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点可能需要）；而；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)第63页/共133页要求出要求出S(x)S(x)，则在每个小区间上，则在每个小区间上 要确定要确定4 4个待定系数，共有个待定系数，共有n n个小区间，所以应确定个小区间，所以应确定4n4n个参数。个参数。共共(n+1)+(3n-3)=4n-2(n+1)+(3n-3)=4n-2个条件，因此还需要两个个条件，因此还需要两个条件才能确定条件才能确定S(x)S(x)第64页/共133页可在区间端点可在区间端点a,ba,b上各加一
23、个条件（边界条件），上各加一个条件（边界条件），具体要根据实际问题要求给定；具体要根据实际问题要求给定；1.已知两端的一阶导数值已知两端的一阶导数值2.两端的二阶导数已知两端的二阶导数已知其特殊情况为其特殊情况为第65页/共133页3.当当f(x)是是 为周期的周期函数时，则要求为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，这时边界条件应满足：也是周期函数，这时边界条件应满足：这样确定的样条函数这样确定的样条函数S(x)S(x)称为周期样条函数；称为周期样条函数；第66页/共133页加上任何一类边界条件加上任何一类边界条件(至少两个至少两个)后后一般使用第一、二类边界条件一般使用第一、二类边
24、界条件,常用第二类边界条件常用第二类边界条件样条插值函数的建立样条插值函数的建立即或第67页/共133页可直接利用分段三次可直接利用分段三次可直接利用分段三次可直接利用分段三次HermitHermit插值，只要假定插值，只要假定插值，只要假定插值，只要假定可得可得第68页/共133页第69页/共133页加以整理后可得加以整理后可得-(10)第70页/共133页由条件-(11)第71页/共133页由于以上两式相等由于以上两式相等,得得第72页/共133页基本方程组基本方程组如果问题要求满足第一类如果问题要求满足第一类如果问题要求满足第一类如果问题要求满足第一类(一阶一阶一阶一阶)边界条件边界条件
25、边界条件边界条件:即-(12)第73页/共133页基本方程组化为基本方程组化为n-1n-1阶方程组阶方程组将上式化为矩阵形式将上式化为矩阵形式将上式化为矩阵形式将上式化为矩阵形式-(13)-(14)第74页/共133页这是一个三对角方程组这是一个三对角方程组这是一个三对角方程组这是一个三对角方程组如果问题要求满足第二类如果问题要求满足第二类(二阶自然二阶自然)边界条件边界条件:由由由由(11)(11)(11)(11)式式式式,可知可知可知可知-(15)第75页/共133页-(16)-(17)-(18)与基本方程组(12)联合,并化为矩阵形式,得第76页/共133页-(19)(19)(19)(1
26、9)(19)式与式与式与式与(14)(14)(14)(14)一样一样一样一样,都是三对角方程组都是三对角方程组都是三对角方程组都是三对角方程组,解是唯一的；解是唯一的；解是唯一的；解是唯一的；第77页/共133页例1.对于给定的节点及函数值解:由(12)式可得第78页/共133页由(19)式得基本方程组将上述结果代入(10)式第79页/共133页第80页/共133页定理.最后，介绍一个有用的结果最后，介绍一个有用的结果第81页/共133页小结小结小结小结第82页/共133页曲线拟合曲线拟合第83页/共133页 当函数只在当函数只在有限点集有限点集上给定上给定函数值函数值，要，要在包含该点击的区
27、间上在包含该点击的区间上用公式给出用公式给出函数的函数的简简单表达式单表达式，这些都涉及到在区间，这些都涉及到在区间a,ba,b上上用用简单函数简单函数逼近逼近已知复杂函数已知复杂函数的问题，这就是的问题，这就是函数逼近问题。函数逼近问题。插值法就是函数插值法就是函数逼近问题的一种逼近问题的一种第84页/共133页拟解决的问题：拟解决的问题：1.计算复杂的函数值计算复杂的函数值2.已知有限点集上的函数值，给出在包含该已知有限点集上的函数值，给出在包含该点集的区间上函数的简单表达式点集的区间上函数的简单表达式函数逼近函数逼近对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数f(x)，记作，记作 要求在另
28、一类简单的便于计算的函数类要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数中求函数 使使p(x)与与f(x)的误差在的误差在某种度量意义某种度量意义下最小。下最小。逼近问题逼近问题函数逼近函数逼近曲线拟合曲线拟合第85页/共133页实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:第86页/共133页纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点(1)第87页/共133页仍然是已知仍然是已知 x1 xm;y1 ym,求一个简求一个
29、简单易算的近似函数单易算的近似函数 P(x)f(x)。但是但是 m 很大；很大；yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f(xi)这时没必要取这时没必要取 P(xi)=yi,而要使而要使 P(xi)yi 总体上总体上尽可能小。尽可能小。第88页/共133页常见做法：常见做法：使使 最小最小/*minimax problem*/太复杂太复杂 使使 最小最小 使使 最小最小 /*Least-Squares method*/第89页/共133页最小二乘法的基本概念最小二乘法的基本概念一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差第90页/共133页在回归分析中称为残差平方和在回归分析
30、中称为残差平方和从而确定从而确定(1)(1)中的待定系数中的待定系数注意注意(1)(1)式是一条直线式是一条直线因此将问题一般化因此将问题一般化第91页/共133页仍然定义平方误差第92页/共133页我们选取的度量标准是-(2)-(3)第93页/共133页第94页/共133页法方程组法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数第95页/共133页由多元函数取极值的必要条件得即第96页/共133页-(4)即第97页/共133页引入记号则由内积的概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律第98页/共133页方程组(4)便可化为-(7)将其表示成矩阵形式-(8)第99页/共133页并且其系
31、数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解第100页/共133页即是的最小值所以因此第101页/共133页作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差第102页/共133页例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得第103页/共133页法方程组为解得平方误差为第104页/共133页拟合曲线与散点的关系如右图:第105页/共133页例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24.65.95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.
32、99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.56 1解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为第106页/共133页6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589-49.0086 1002.5 1.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为第107页/共133页用Gauss列主元消去法,得 -1.0410 -1.2613 0.030735拟合的平方误差为图象如图第108页/共133页例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验
33、公式x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式第109页/共133页例：例：xy(xi,yi),i=1,2,m方案一：方案一：设设baxxxPy+=)(求求 a 和和 b 使得使得 最小。最小。=+=miiiiybaxxba12)(),(But hey,the system of equations for a and b is no
34、nlinear!线性化线性化/*linearization*/：令：令 ，则，则bXaY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 a 和和b。),(iiYX),(iiyx第110页/共133页方案二：方案二：设设xbeaxPy/)(=(a 0,b 0)线性化：线性化：由由 可做变换可做变换xbay lnlnbBaAxXyY=,ln,1,lnBXAY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 A 和和B),(iiYX),(iiyx第111页/共133页两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为第112页/共133页用最小二乘法得即无论从图形还是从
35、平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为第113页/共133页定义定义权函数：权函数：离散型离散型/*discrete type*/根据一系列离散点根据一系列离散点 拟合时，在每一误差前拟合时，在每一误差前乘一正数乘一正数wi，即，即 误差函数误差函数 ，这个，这个wi 就称就称作作权权/*weight*/，反映该点的重要程度。，反映该点的重要程度。=niiiiyxPw12)(连续型连续型/*continuous type*/在在a,b上用广义多项式上用广义多项式 P(x)拟合连续函数拟合连续函数 f(x)时，定义时，定义权函权函数数 (x)Ca,b，即误差函数，即误差函数
36、=。权函数权函数(x)必须必须满足：非负、可积，且在满足：非负、可积，且在a,b的任何子区间上的任何子区间上(x)0。加权最小二乘法加权最小二乘法第114页/共133页各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数 定义加权平方误差为-(9)第115页/共133页使得第116页/共133页由多元函数取极值的必要条件得即第117页/共133页引入记号定义加权内积-(10)第118页/共133页矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-(11)-(12)第119页/共133页平方误差为作为特殊情形作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为用多项式作拟合函数的法方程组为-(13)第
37、120页/共133页例：例：连续型拟合中，取连续型拟合中，取则则 Hilbert阵阵！改进：改进：若能取函数族若能取函数族=0(x),1(x),n(x),，使得任意一对使得任意一对 i(x)和和 j(x)两两两两（带权）正交（带权）正交，则，则 B 就化为就化为对角阵对角阵！这时直接可算出这时直接可算出ak=第121页/共133页用正交多项式作最小二乘拟合*即正交多项式如何选取呢正交多项式如何选取呢-(14)第122页/共133页使得第123页/共133页由可知因此第124页/共133页而因此第125页/共133页可知最后可得正交多项式选取的方法:-(15)由第126页/共133页使得由正交多项式的性质,法方程组第127页/共133页-(16)-(17)可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解第128页/共133页平方误差为第129页/共133页例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用二次多项式作这组数据的拟合函数第130页/共133页设拟合函数取第131页/共133页第132页/共133页感谢您的观看！第133页/共133页