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1、牛顿牛顿(ni dn)Newton插值多项式插值多项式第一页，共16页。这种形式这种形式(xngsh)的插值多项式称为的插值多项式称为n次牛顿插值次牛顿插值多项式。多项式。，即，即其中其中(qzhng)(qzhng)系数系数可由插值条件可由插值条件(tiojin)记为记为为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式 确定。确定。第1页/共16页第二页，共16页。定义定义(dngy)1 设函数设函数f(x)在点在点 为为f(x)在点在点处的处的一阶差商一阶差商，记为，记为，即，即称一阶差商的差商称一阶差商的差商（为为f(x)在在处的处的二阶差商二阶差商，记
2、为，记为上的值依次上的值依次(yc)为为称称互异互异(h y)）为此我们引入差商概念：为此我们引入差商概念：第2页/共16页第三页，共16页。一般一般(ybn)地，称地，称 m-1 阶差商的差商阶差商的差商为为 f(x)在点在点特别特别(tbi)地，规定零阶差地，规定零阶差商商处的处的m阶差商。阶差商。即即第3页/共16页第四页，共16页。为便于为便于(biny)应用，通常采用差商表，例如应用，通常采用差商表，例如一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商第4页/共16页第五页，共16页。性质性质(xngzh)1 k阶阶差商差商是由函数是由函数(hnsh)值值线性组合而成的，即线性组合而
3、成的，即性质性质(xngzh)2 差商具有对称性，即在差商具有对称性，即在k阶阶差商差商中任意调换中任意调换2个节点个节点和和差商有如下性质：差商有如下性质：的顺序，其值不变。的顺序，其值不变。第5页/共16页第六页，共16页。性质性质(xngzh)3 k阶差商阶差商和和 k 阶导数阶导数(do sh)之间有如下重要之间有如下重要(zhngyo)关关系：系：有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商来表示牛顿差值多项式来表示牛顿差值多项式中的系数。中的系数。第6页/共16页第七页，共16页。由插值条件由插值条件(tiojin)，可得，可得由插值条件由插值条
4、件(tiojin)，可得，可得由插值条件由插值条件(tiojin)，可得，可得第7页/共16页第八页，共16页。一般地，可以一般地，可以(ky)证明证明有有于是，满足于是，满足(mnz)插值条件插值条件 的的n次牛顿次牛顿(ni dn)插值多项插值多项式为式为第8页/共16页第九页，共16页。例例3 已知函数已知函数(hnsh)表表10012114416910111213试用试用(shyng)牛顿线性插值与抛物线插值牛顿线性插值与抛物线插值求求的近似值，并估计的近似值，并估计(gj)截断误截断误差。差。第9页/共16页第十页，共16页。解：先构造解：先构造(guzo)差商表，差商表，取取一阶差
5、商二阶差商三阶差商100100.04761912111-0.000094110.0434780.000000313814412-0.000072460.04000016913第10页/共16页第十一页，共16页。由差商表，牛顿由差商表，牛顿(ni dn)插值多项式的系数插值多项式的系数依次为依次为牛顿牛顿(ni dn)线性插值多项线性插值多项式为式为 牛顿牛顿(ni dn)抛物线插值多项式抛物线插值多项式为为 所求近似值为所求近似值为 所求近似值为所求近似值为 第11页/共16页第十二页，共16页。可知可知(k zh)近近似值似值与与的截断误差分别的截断误差分别(fnbi)为为，由插值余项公式
6、由插值余项公式(gngsh)第12页/共16页第十三页，共16页。在实际计算中，特别是在函数在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数比较的高阶导数比较复杂或复杂或f(x)的表达式没有的表达式没有(mi yu)给出时，由性质给出时，由性质3，我们可以用差商表示的余项公式我们可以用差商表示的余项公式 实际计算(j sun)中，当n+1阶差商变化不激烈时，可用近似近似(jn s)代替代替取取来估计截断误差。来估计截断误差。第13页/共16页第十四页，共16页。例例3中，若用此方法中，若用此方法(fngf)估计截断误差，则有估计截断误差，则有与实际与实际(shj)误差误差相当相当(xingdng)接接近。近。第14页/共16页第十五页，共16页。练习：给定数据练习：给定数据(shj)如下：如下：x 1 1.5 0 2 f(x)1.25 2.50 1.00 5.50 用牛顿用牛顿(ni dn)二次、三次插值多项式近似计算二次、三次插值多项式近似计算f(1.46)的值，并估计牛顿的值，并估计牛顿(ni dn)二次插值多项式近二次插值多项式近似计算的截断误差，说明牛顿似计算的截断误差，说明牛顿(ni dn)二次多项式近二次多项式近似计算结果的有效数字。似计算结果的有效数字。第15页/共16页第十六页，共16页。