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1、样条曲线样条曲线比分段线性插值更光滑。比分段线性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在在数数学学上上，光光滑滑程程度度的的定定量量描描述述是是：函函数数(曲曲线线)的的k阶阶导导数数存存在在且且连连续续，则则称称该该曲曲线线具具有有k阶阶光光滑性。滑性。光光滑滑性性的的阶阶次次越越高高，则则越越光光滑滑。是是否否存存在在较较低低次次的的分分段段多多项项式式达达到到较较高高阶阶光光滑滑性性的的方方法法？三三次次样条插值样条插值就是一个很好的例子。就是一个很好的例子。第1页/共25页三三 次次 样样 条条 插插 值值第2页/共25页一、一、函数组在区间上线性无关函数组在区间上线性无关定义定义 设函
2、数组 0 x,1 x,n x 在区间 a,b上连续,如果 a0 0 x a1 1 x an n x 0 (a x b)a0 a1 an 0.则称 k x 在 a,b 上是线性无关的;否则,叫线性相关.5.3.1 样条函数样条函数第3页/共25页二、二、在区间在区间a,b上线性无关的函数系上线性无关的函数系定义定义 若 i x|i=0,1,中任何有限个函数,在区间a,b 上都是线性无关的,则称 i x|i=0,1,是线性无关的函数系.三、三、k 次半截单项式次半截单项式 定义定义 记 为k次半截单项式.并规定第4页/共25页四、四、k 次半截单项式的性质次半截单项式的性质 (1)在区间(,)上有
3、 k 1阶连续的导数；(2)当 k 2 时,有 (xk+)(r)=k(k 1)(k r 1)xk-r+；(r=1,2,k-1)(3)在 x=0处,xk+的 k 阶导数不存在。对任意的实数 a,有第5页/共25页 五、五、k 次多项式样条函数次多项式样条函数 定义定义 对于区间对于区间a,b上的一个分划上的一个分划 :a x0 x1 xn b如果函数如果函数 s(x)满足条件满足条件 (1)s(x)在每个子区间在每个子区间 xi,xi+1(i=0,1,n-1)上是次数不高于上是次数不高于 k 的多项式的多项式;(2)s(x)在在(a,b)上有上有 k 1 阶连续导数阶连续导数.则称则称 s(x)
4、是定义在是定义在 a,b 上上,对应分划对应分划 的的 k k 次多项式样条函数次多项式样条函数次多项式样条函数次多项式样条函数(简称简称 k k 次样条次样条次样条次样条);x0,x1,xn称为称为样条节点样条节点样条节点样条节点;x0,xn叫做边界节点叫做边界节点,其它点叫其它点叫内节点内节点.第6页/共25页 k 次样条函数次样条函数 s(x)是次数不超过是次数不超过 k 的多项式的多项式的线性组合的线性组合,它所在的线性空间它所在的线性空间,记为记为 D Dk,.可可以证明以证明D Dk,Span1,x,x k,(x x1)k+,(x xn 1)k+.定义在定义在 a,b 上上,对应分
5、划对应分划 的的样条函数样条函数s(x)，可以表示为可以表示为 详细理由!第7页/共25页六、六、k 次次 B 样条样条 记记与式与式(5.25)对比可知，对比可知，k(x)是定义在是定义在(,)上，上，以以为内点的为内点的 k 次样条函数次样条函数,k(x)的内节点个数为的内节点个数为 k+2,节点步长为节点步长为 1.第10页/共25页 定义定义 由式(5.26)表示的函数 k(x)称为步长为1,内节点等距的 k 次 B 样条.（Basic-Spline)k 次 B 样条 k(x)的递推公式利用上公式和归纳法,可证明下列性质性质(1)k(x)k(x).(2)当|x|(k+1)/2 时,k(
6、x)0;否则,k(x)0.在研究样条函数中，在研究样条函数中，不管是理论分析还不管是理论分析还是实际计算，函数是实际计算，函数有它的独特作用。有它的独特作用。第11页/共25页七、七、B样条的例子样条的例子 k=1，内节点分别为 -1，0，1第12页/共25页图图 5-1 一次一次 B 样条样条第13页/共25页k=2，内节点分别为 -3/2，-1/2，1/2，3/2第14页/共25页图图 5-2 二次二次 B 样条样条第15页/共25页k=3，内节点分别为-2，-1，0，1，2第16页/共25页图图 5-3 三次三次 B 样条样条第17页/共25页 1(x)2(x)3(x)山丘状函山丘状函数
7、数磨光函数磨光函数第18页/共25页 八、节点等距的八、节点等距的B样条样条 在在 a,b 上上,取下面的等距节点取下面的等距节点 xi a+ih,i 0,1,n,h (b a)/n,对固定的对固定的 i,用用 代替代替 k(x)中的中的x,得到得到称式称式(5.28)中函数为中函数为 内节点等距、步长为内节点等距、步长为 h 的的 k 次次 B 样样条。条。第19页/共25页 注：第20页/共25页 等距节点 B 样条的性质 等距节点 B 样条构成 D Dk,的基 L故故 D Dk,Span L，且，且 a,b 上等距上等距 k 次样条次样条维数 Dk,=n+k.j=0,1,2,k+1i-k+j=i-k,i+1第21页/共25页x-1 a=x0 x1 x2 x3 b=x4 x5 当当n=4，k=1时，时，n+k=5，空间空间D D1,的基底图形：的基底图形：特例特例特例特例:图 5-4 空间D D1,的基底第22页/共25页x-2 x-1 a=x0 x1 x2 x3 b=x4 x5 x6当n=4，k=3时，n+k=7，空间D D3,的基底图形：图 5-5 空间D D3,的基底第23页/共25页数学符号 x0,x1,xn,y0,y1,ym,xi 1 ik=0,1,n 1.0 x,1x,nx (x,y)pnm(x,y)(,)k 1 第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页