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1、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M M）466 741 950 1422 1634 466 741 950 1422 1634水温（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500500米，600600米，10001000米）处的水温。这就是本章要讨论的“插值问题”例第1页/共30页 当当精精确确函函数数 y=f(x)非非常常复复杂杂或或未未知知时时，在在区区间间a,b上上一一系系列列节节点点 x0 xm 处处测测得得函函数数值值 y0=f(x0),ym=f(xm)，由由
2、此此构构造造一一个个简简单单易易算算的的近似函数近似函数 g(x)f(x)，满足条件满足条件 g(xj)=f(xj)(j=0,m)(*)这个问题称为这个问题称为“插值问题插值问题”。一、插值问题这里的 g(x)称为f(x)的插值函数。节点 x0 xm称为插值节点,条件(*)称为插值条件，区间a,b称为插值区间。定义1第2页/共30页x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)第3页/共30页最常用的插值函数是?代数多项式代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值本章主要讨论的内容插值函数的类型有很多种插值函数的类型有很多种插值问题插值问题插值法插值法插值函数插值函数第4页/共30页一一、
3、插值问题解的存在唯一性？二、二、插值多项式的常用构造方法？三、三、插值函数的误差如何估计？代数插值第5页/共30页二、代数插值问题解的存在惟一性令只要证明pn(x)的系数 a0,a1,an 存在唯一即可,给定区间a,b上互异的n+1个点 的一组函数值 f(xj)，j=0,n,求一个n次多项式 pn(x)Pn,使得为此由插值条件知为此由插值条件知 pn(x)的系数满足下列的系数满足下列n+1个代个代数方程构成的线性方程组数方程构成的线性方程组:第6页/共30页而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式由于 xi 互异，所以上式右端不为零，从而方程组的解 a0 0,a1
4、 1,an 存在且唯一。第7页/共30页为此我们必须从其它途径来求 pn(x)：不通过求解方程组而获得插值多项式。通过解上述方程组求得插值多项式pn(x)的方法并不可取。这是因为当n较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病态方程组）,当阶数n越高时，病态越重。第8页/共30页基本思想：在n 次多项式空间Pn 中找一组合适的基函数 0(x),1(x),3(x),使不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值插值Newton插值插值三、插值多项式的构造方法知识点一第9页/共30页n=1可见可见 P1(x)是过是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直线
5、。两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP +=101xxxx 010 xxxx =y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl 2 Lagrange2 Lagrange插值插值插值插值求求 n 次多项式次多项式 使得使得已知已知 x0,x1;y0,y1，求求第10页/共30页一、构造基函数与节点有关，而与f 无关这里每个lj(x)都是n次多项式，且容易验证lj(x)满足j=0,1,=0,1,，n知识点二第11页/共30页插值基函数图形n=1n=2第12页/共30页对任意的Ln(x)Pn，都有Ln(x)=c0 l0(x)+c1 l1(x)+cn ln(x)其中c0,c1,c
6、n 为组合系数可以证明函数组l0 0(x)，l1 1(x)，,ln(x)在插值区间a,ba,b上线性无关，所以这n+1+1个函数可作为P Pn的一组基函数，称为LagrangeLagrange插值基函数第13页/共30页由LagrangeLagrange插值基函数满足 ，方程组变成因此得到插值多项式Ln(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+f(xn)ln(x)记为记为Ln(x)f(xj)lj(x)称L Ln(x)为n次Lagrange插值多项式知识点三第14页/共30页二、二、插值余项插值余项/*Remainder*/Rolles Theorem的推论:若 充分光滑，且存在存在使
7、得使得定理1 若若在在a,b内存在内存在,则在则在a,b上上的的n+1个互异的点，对个互异的点，对 f（x)所作的所作的n次次Lagrange插插值多项式值多项式Ln(x)有误差估计有误差估计 第15页/共30页 由于由于Rn(xi)0，i=0,1,=0,1,，n任意固定任意固定 x xi (i=0,n),考察考察(t)有有 n+2 个不同的根个不同的根 x0 xn x证明第16页/共30页已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50，并估计误差。并估计误差。n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用
8、例1解第17页/共30页sin 50 =0.7660444利用利用x0,x1 作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.010010.01001利用利用 计算得：计算得：sin 50 0.76008,利用利用x1,x2作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.00596 0.00596第18页/共30页n=2sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061 0.00061第19页/共30页特殊地:有关于Langrange插值的几点说明 仅与已知数据 有关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。(1)即即若 本身是一个不超过n次的多项式，则(
9、2)第20页/共30页从 角度观察，内插误差要小些，即x 位于x0,x1,xn之间。而外插有可能误差变大，因此要慎用。(3)Langrange插值也有其不足为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的 全改变,也就是原来的数据不能利用,浪费资源；(4)第21页/共30页 3 3 逐次线性插值逐次线性插值逐次线性插值逐次线性插值 用用 拉拉 格格 朗朗 日日 插插 值值 多多 项项 式式 Ln(x)计计 算算 函函 数数近近 似似 值值，如如 精精 度度 不不 满满 足足 要要 求求 需需 增增 加加 插插 值值 节节点点 时时，原原 来来 算算 出出 的的 数数 据据 均均 不不 能能 利利 用
10、用，必必 须须重重 新新 计计 算算。为为 克克 服服 这这 缺缺 点点，通通 常常 可可 用用 逐逐 次次线性插值方法求得高次插值。线性插值方法求得高次插值。第22页/共30页对 已 给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物线插值计算sin0.3367 的值并估计截断误差。取sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，用线性插值计算：其截断误差为：例2解第23页/共30页取sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用线性插值计算：其截断误差为：第24页/共30页取
11、sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用抛物线插值计算：其截断误差为：=0.330374 第25页/共30页埃特金（Aitken）逐次线性插值方法 是三节点抛物线插值计算的，它也可由 和 按类似线性插值的方法计算，即第26页/共30页一般情况，两个k 次插值多项式可通过线性插值得到(k+1)次插值多项式是关于节点x0,x1,xk的插值多项式首先:为k+1次插值多项式。其次：对i=0,1,k 1，有当 x=xk时，有当 x=xl时，有第27页/共30页公式也可改为列维尔（Neville）算法第28页/共30页已知f(x)=sh x 的值，用埃特金插值求f(0.23)的近似值。表中右端是各次插值的计算结果，由于三次插值的两个结果相同，因而不需要再计算四次插值，故求得 f(0.23)=0.232034。例3解第29页/共30页谢谢您的观看！第30页/共30页