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1、插值法：插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一个插值函数(x)来逼近已知函数f(x)，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同。曲线拟合方法:不要求近似函数(x)所表示的函数严格通过已知数据点(xi,yi),而是通过观察这些点的分布规律，选择某种能描述这一近似规律的函数(x)来逼近函数f(x)，然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好，其中最常见的原则就是最小二乘原理。但在实际应用中，节点上的函数值通常不是精确值，而是由实验或测量得到的数据，不可避免的带有误差，如果用插值法，会保留这些误差，影响精度。为了尽量减少这种测量误差，人们又提出了另外一种构造近似函数的方法曲线拟合方法。第1页/共
2、60页原始数据的散点图分段线性插值二次分段拟合曲线已知数据点(xi,yi)第2页/共60页艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降
3、低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。第3页/共60页附件1:同时服用3种药物（zidovudine(齐多夫定),lamivudine(拉米夫定),indinavir(茚地那韦)）的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度。第1列是病人编号，第2列是测试CD4的时刻（周），第3列是测得的CD4（乘以0.2个/ml），第4列是测试HIV的时刻（周），第5列是测得的HIV（单位不详）。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两
4、组数据。(略)PtID CD4DateCD4CountRNADateVLoad234240 178 0 5.5234244 228 4 3.9234248 126 8 4.72342425 171 25 42342440 99 40 523425 0 14 0 5.3 第4页/共60页附件2:1300多名病人按照4种疗法服药大约每隔8周测试的CD4浓度。第1列是病人编号，第2列是4种疗法的代码：1=600mg zidovudine(齐多夫定)与400mg didanosine(去羟肌苷)按月轮换使用；2=600mg zidovudine 加2.25mg zalcitabine(双脱氧胞苷)；3
5、=600mg zidovudine 加400mg didanosine；4=600mg zidovudine 加400mg didanosine 加400mg nevirapine(奈韦拉平)。第3列是病人年龄，第4列是测试CD4的时刻（周），第5列是测得的CD4，取值log(CD4+1).ID 疗法 年龄 时间 Log(CD4 count+1)1236.42710 3.1355 1236.42717.57143.0445 1236.427115.57142.7726 1236.427123.57142.8332 1236.427132.57143.2189.第5页/共60页 请你完成以下问题
6、：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提
7、前终止）有什么改变。第6页/共60页第7页/共60页第8页/共60页35岁-45岁-40-30-20-10010203012345671234第9页/共60页第10页/共60页第11页/共60页生长阻滞模型 第12页/共60页缺少数据年份年份平均学费平均学费19891989187.06187.0619901990190.64190.6419911991205.09205.0919921992396.56396.5619931993592.99592.9919941994871.13871.13年份年份平均学费平均学费199519951064.081064.08199619961816.2518
8、16.25199719972312.502312.50199819982755.482755.48199919993548.363548.36200020004620.824620.82200120014620.824620.82200220024547.82354547.8235200320034676.1954 4676.1954 200420044894.69544894.6954200520055092.0835092.083200620065157.1185157.118缺少数据是用样条插值函数求出来的高等教育学费问题探讨第13页/共60页*数据散点图O 拟合曲线图(*其中部分数据是
9、用样条插值函数求出来的)样条插值第14页/共60页 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。基本思想:就是利用函数f(x)在一些给定点的函数值(或其导数值)，建立一个简单而又便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x).插值法有很多种,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值.插值法第15页/共60页插值法 设函数 y=f(x)在区间a,b上有定义,且已知f(x)在a,b上n+1个互异点x0,x1,.,xn 处的值 y0,y1,yn ,若存在一个近似函数(x)，满足：(x0)=y0,(
10、x1)=y1,(xn)=yn ,(*)则称(x)为f(x)的插值函数，f(x)称为被插值函数，x0,x1,.,xn 称为插值节点。(*)式称为插值条件。而误差函数R(x)=f(x)-(x)称为插值余项。基本概念满足同一插值条件的插值函数(x)有许多类型，如：多项式函数类型、三角函数类型、指数函数类型等，常用的插值函数是多项式,我们称其为代数插值（或多项式插值）。(x)作为函数 y=f(x)的近似表达式(近似函数),满足:y=f(x)(x)我们把构造满足插值条件的近似函数(x)，称为插值问题。我们这章只讨论代数插值：插值多项式Pn(x)是否存在?如何求解?插值误差和余项如何估计?第16页/共60
11、页 最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn,.(1)这时插值问题变为:求一个n次多项式Pn(x),使其满足插值条件:pn(xi)=yi,i=0,1,2,，n,(2)只要求出Pn(x)的系数a0,a1,an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .(3)a0+a1xn+anxnn=yn pn(x0)=y0pn(x1)=y1pn(xn)=yn第17页/共60页 而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式 由于xi互异，所以(4)右端
12、不为零，从而方程组(3)的解 a0,a1,an 存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法-Lagrange插值和Newton插值。第18页/共60页第19页/共60页1 Lagrange插值多项式 设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点ax0 x1.xnb上的函数值为y0,y1,y2,.,yn，求一个次数不超过n的多项式 Ln(x)=a0+a1x+.+anxn (1)*使得 Ln(xi)=yi (i=0,1,2,.,n)(2)*成立。称(1)*式为
13、满足插值条件(2)*的拉格朗日插值多项式。第20页/共60页由两点式,可求L1(x)的表达式整理得:另一种推导方式:令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1一、拉格朗日插值多项式的构造线性插值多项式1、线性插值先从最简单的线性插值(n=1)开始.即有：a=x0，b=x1,这时插值问题就是求一次多项式L1(x)(=c+dx )，使其满足条件：L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,第21页/共60页即l0(x)含有因子x-x1，l1(x)含有因子(x-x0)，l0(x),l1(x)称为以x0,x1 为节点的线性插值基函数这样得到一次插值多项式:令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1l0
14、(x0)=1,l1(x0)=0,l0(x1)=0,l1(x1)=1.令 l0(x)=0(x-x1),l1(x)=1(x-x0)，利用 l0(x0)=1 和 l1(x1)=1确定其中的系数0，1得：线性插值多项式0=1/(x0-x1)故有:由L1(x0)=y0,L1(x1)=y1得1=1/(x1-x0)第22页/共60页令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2。线性插值仅仅用两个节点上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题：求二次多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2，使其满足条件：L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2
15、类似的可以得出 l1(x),l2(x):这样 l0(x)含有 x-x1,x-x2 两个因子，令 l0(x)=0(x-x1)(x-x2),利用 l0(x0)=1 确定其中的系数0，得 2、抛物线插值l0(x0)=1,l1(x0)=0,l2(x0)=0,l0(x1)=0,l1(x1)=1,l2(x1)=0,l0(x2)=0,l1(x2)=0,l2(x2)=1.第23页/共60页于是 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)L2(x)=-y0+-y1+-y2 .(4)(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)l0(x),l1(
16、x),l2(x)称 为以 x0,x1,x2为节点的抛物 线插值基函数。3、n次多项式插值：仿照线性插值和二次插值的办法，进一步讨论一般形式的 n 次多项式 Ln(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,使其满足 Ln(x0)=y0,Ln(x1)=y1,.,Ln(xn)=yn .(5)我们仍从构造插值基函数着手，先对某个固定的下标 j，作 n 次多项式 l j(x),使其满足条件可求得 二次插值多项式第24页/共60页 .(*)公式（*）就是Lagrange插值多项式，lj(x)称为以x0,x1,.,xn为节点的Lagrange插值基函数。将lj(x)代入:第25页/共60页例1 求过点(2,0
17、)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式解:用5个节点作4次插值多项式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=5y3=4y4=1第26页/共60页例1 求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式解:用5个节点作4次插值多项式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=5y3=4y4=1第27页/共60页L4(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+y3l3(x)+y4l4(x)第28页/共60页 例2:已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0
18、.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值。y1-y0sin0.3367L1(0.3367)=y0+(0.3367-x0)x1-x0 0.01892=0.314567+(0.0167)=0.330365.0.02用线性插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34,解:由题意取x0=0.32x1=0.34x2=0.36y0=0.314567 y1=0.333487y2=0.352274得:由线性插值公式第29页/共60页用抛物插值计算 sin0.3367时，因为 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已
19、相当高了。插值多项式的存在性?其截断误差是多少?所以第30页/共60页定理1 假设x0,x1,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值f(xj)(j=0,1,n)是给定的，那么存在唯一的次数不超过n 的多项式Pn(x)满足 Pn(xj)=f(xj),j=0,1,n二、插值多项式的存在性和唯一性证明：由插值函数的构造知n次多项式Pn(x)的存在性，由代数基本定理可证明它的唯一性。函数f(x)的n次插值多项式Ln(x)只是在节点处有:Ln(xj)=f(xj),j=0,1,n若xxj,一般Ln(x)f(x),令 Rn(x)=f(x)-Ln(x)称Rn(x)为插值多项式的余项第31页/共6
20、0页 三、Lagrange插值的插值余项(截断误差)定理2：设Ln(x)是过点x0，x1，x2，xn的 n 次插值多项式，f(x)在a，b上有n阶连续导数，在(a，b)内存在n+1阶导数，其中a，b是包含点x0,x1,x2,xn的任一区间，则对任意给定的xa，b，总存在一点(a，b)（依赖于x）使其中 。证明:Rn(x)=f(x)-Ln(x),当x=xi时，显然有：Rn(xi)=f(xi)-Ln(xi),=0，n+1(xi)=0 （i=0,1,n）结论成立第32页/共60页当xxi时，Rn(xi)=0，n+1(xi)=0 （i=0,1,n）可设Rn(x)=K(x)n+1(x)需证:K(x)=f
21、(n+1)()/(n+1)!现在a,b上任意固定一点x,引进辅助函数 g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),(*)则g(t)在a,b上具有n阶连续导数，在(a,b)内存在n+1阶导数，当 t=x,x0,x1,xn 时，g(t)=0,，即g(t)在(a,b)内有n+2个零点,由Rolle定理知g(t)在(a,b)内有n+1个零点,如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在(a,b)内有1个零点,即有g(n+1)()=0,a b。这样，由(*)式便有第33页/共60页现在a,b上任意固定一点x,引进辅助函数 g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),(*)有g(n+1)(
22、)=0,a x0=0.4:0.1:0.8;y0=-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144;lagrange(x0,y0,0.54)在MatLab命令窗口输入：例 给出f(x)=lnx的数值表，用Lagrange插值计算 ln(0.54)的近似值。x0.40.50.60.70.8Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144输出结果:-0.616143精确解:-0.616186(-0.6161)第49页/共60页x0=0.4:0.1:0.8;y0=-0.916291-0.693147-0.5108
23、26-0.356675-0.223144;lagrange(x0,y0,0.54,0.65)ans=-0.6161 -0.4308 lagrange(x0,y0,0.54,0.65,0.78)ans=-0.6161 -0.4308 -0.2484第50页/共60页实验4.1（观察龙格(Runge)现象实验）实验目的：观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象.实验内容：1、给出拉格朗日插值多项式的算法流程和相关程序；2、对于函数 进行拉格朗日插值，取不同的节点数，在区间-5,5上取等距间隔的节点为插值点，把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。(a可以取任意值)具体步骤：1）a=1时
24、，i）取n=4，作出f(x)和插值多项式的曲线图；ii）取n=10，作出f(x)和插值多项式的曲线图；2）a=0.5时，i）取n=4，作出f(x)和插值多项式的曲线图；ii）取n=10，作出f(x)和插值多项式的曲线图；3、分析上述曲线图，你可以得出什么结论？第51页/共60页 插值函数，插值节点n次插值基函数范德蒙(Vandermonde)行列式拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值余项第52页/共60页 用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个点上的一张函数表后，要构造一个多项式(x)，满足下面两个条件：(1)(x)是一个
25、不超过 n 次的多项式；(2)在给定的点xi(I=0,1,n)上与 f(xi)取相同值，即(xi)=yi (I=0,1,n)。我们称(x)为 f(x)的插值函数插值函数，点 xi 为插值节点插值节点。插值函数是计算方法的基本工具。返回返回第53页/共60页若 n 次多项式 lj(x)(j=0,1,.,n)在n+1个节点 x0 x1.xn上满足条件就称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点x0，x1，,xn上的n 次插值基函数。返回返回第54页/共60页 插值余项：若在a，b上用Ln(x)近似 f（x）,则截断误差为 Rn(x)=f(x)-Ln(x),也称为插值多项式的余项
26、。返回返回第55页/共60页 Vandermonde行列式 =返回返回第56页/共60页形如的插值多项式Ln(x)称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式。返回返回第57页/共60页插值的任务就是由已知的观测点为物理量(未知量)，建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。常用的插值函数是多项式。令x1-x0=b-a=h,x=x0+t h,0t1 则易证，当0 t 1时,|t(1-t)|的最大值为1/4，特别，当n=1时，取x0=a,x1=b，则有第58页/共60页上节课内容回顾拉格朗日(Lagrange)插值多项式 Ln(x)的构造:lj(x)在n+1个节点 x0 x1.xn上满足条件称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点x0,x1,xn上的n n 次插值基函数次插值基函数。其中yj=f(xj).(j=0,1,.,n)1)构造 n 次插值基函数 lj(x):2)构造 n 次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 Ln(x):第59页/共60页谢谢您的观看！第60页/共60页