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1、3.2函数的基本性质知识梳理1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间(3)函数单调性的常用结论对x1，x2D(x1x2)，0或f(x)
2、在D上是增函数，0或f(x)在D上是减函数，即x与y同号增，异号减在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数复合函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”对勾函数f(x)x(a0)的单调性，如图可知，(0，减，)增，0)减，(，a增(4)注意：对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论.(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单
3、调性.(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.如有多个单调增(减)区间应分别写，不能用“”联结.2、函数最值（1）概念前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值（2）求函数最值的5种常用方法单调性法先确定函数的单调性，再由单调性结合端点
4、值求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值3、函数的奇偶性(1)概念奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充
5、分条件；f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.(3)函数奇偶性常用结论若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性若yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；若yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)(4)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x
6、)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.4、函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期函数周期性常用结论(3)对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若，则T2a(a0)(2)若，则T2a(a0)(3)若，则T2a(a0)5、函数的对称性(1)函数yf(x)关于x对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函数yf(x)关于xa
7、对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0对称f(x)f(x)(即为偶函数)(2)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)(3) yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于点(a,0)对称(4)函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性
8、，在使用这两个关系时不要混淆.知识典例题型一单调性的证明例1设函数，且，（1）求解析式；（2）利用定义判断在区间，上的单调性.【答案】（1）；（2）单调递增【解析】【分析】（1）将代入到函数解析式可得关于的方程组，解得、的值，即可得函数的解析式；（2）根据题意，设，由作差法分析可得答案.【详解】（1）根据题意，函数，且，则，解可得，则.（2）设，则，又由，则，则，则函数在区间上单调递增.用定义法证明函数在定义域内是减函数【答案】见解析【分析】直接利用函数单调性的定义进行证明，设在R上任取两个数x1，x2，且x1x2，然后判定f（x1）f（x2）的符号，从而得到结论【详解】设在R上任取两个数x1
9、，x2，且x1x2；则f（x1）f（x2）=x1（x2）=+（x2x1）=+（x2x1）=（x1x2）（1）x1x2，x1x20，10，则f（x1）f（x2）0，函数在R上是减函数题型二单调性求解参数问题例 2若函数f(x)(4x)(x2)在区间(2a，3a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】根据二次函数的性质列出不等式组，求解即可.【详解】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x3解得故答案为：已知函数，（1）当时，求的最值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；【答案】（1）最小值是，最大值是35.；（2）【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而
10、求出函数的最值即可；（2）求出函数的对称轴，得到关于的不等式，求出的范围即可【详解】解：（1）当时，由于，在上单调递减，在上单调递增，的最小值是，又，故的最大值是35.（2）由于函数的图像开口向上，对称轴是，所以要使在上是单调函数，应有题型三 脱式计算例 3已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为_【答案】【分析】由偶函数的性质将不等式表示为，再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系，解出不等式即可【详解】函数是上的偶函数，所以，由，得，函数在区间上单调递增，得，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为若函数的定义域为，且为增函数，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数的定
11、义域为，且为增函数，等价转化为，解不等式，即可求解.【详解】的定义域为，且为增函数，又，即，的取值范围是.故答案为:题型四 分段函数单调性例 4已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由函数是上的减函数，可得，求解即可.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得.故选：A.已知在上单调递减，则实数a的取值范围为 （）ABCD【答案】B【分析】由已知，在各自的区间上均应是减函数，且当时，应有，求解即可【详解】由已知，在上单减，在上单调递减， ，解得且当时，应有，即，由得，的取值范围是，故选B题型五奇偶函数例 5设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2
12、x+2x+m，则f（1）=_.【答案】【分析】由函数是上的奇函数，求得，得到当时，函数，再由，即可求解.【详解】由题意，因为函数是上的奇函数，则，解得，即当时，函数，又由.故答案为：.若函数在上是奇函数，则的解析式为_【答案】【分析】由函数在上是奇函数，可得，可求得，结合可求得，进一步求得解析式【详解】在上是奇函数，又，即，题型六 性质应用例 6 已知是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【分析】结合的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.【详解】因为是实数集上的偶函数，所以，又因为在区间上是增函数，并且，所以，所以，所以D选项的正确的故选：D已知函数在
13、区间上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合自变量的大小关系，即可得出结论.【详解】由函数在区间上是增函数得，.故选:D.题型七 周期性例 7 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（ ）A4B3C2D1【答案】A【分析】利用函数是偶函数和对称性求出函数的周期，再化简计算得出的值【详解】由，知为周期函数，且周期，则故选:A
14、题型八 抽象函数例 8 已知函数满足：对于任意都有，且时，.（1）证明函数是奇函数；（2）判断并证明函数在上的单调性，然后求函数在上的最值；【答案】（1）详见解析（2）在R上是减函数，证明详见解析，有最大值6；最小值-6【分析】（1）抽象函数的奇偶性证明，采用令值的方式证明；（2）单调性证明需要借助条件中表达式构造：去证明.【详解】解：（1）设，有，取，则有是奇函数（2）设，则，由条件得在上是减函数，在上也是减函数。当时有最大值；当时有最小值，由，当时有最大值；当时有最小值.已知对任意的实数，都有：，且当时，有（1）求；（2）求证：在上为增函数；【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）【分析
15、】(1)在已知恒等式中令可得;(2)用增函数的定义可证;(3)利用已知恒等式和求得,再将不等式化为后,利用单调性可化为在上恒成立,再利用二次函数的最值可解决.【详解】（1）解：令，则，解得（2）证明：设是上任意两个实数，且，则则所以，由得，所以，故，即，所以在上为增函数巩固提升1、定义在上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有（ ）A函数先增后减B函数是上的增函数C函数先减后增D函数是上的减函数【答案】B2、已知函数，若，则（ ）A-26B26C18D10【答案】A【分析】令,利用为奇函数整体代换,进行求解.【详解】令,由得为奇函数,则由得,所以,所以.故选:A.3、若函数，是定义在上的减
16、函数，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.4、设函数，若对于任意的xx|1 x 3，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）Am0B0mCm0或0mDm【答案】D【详解】若对于任意的xx|1 x 3，恒成立即可知：mx2mxm5 0在xx|1 x 3上恒成立令g(x)mx2mxm5，对称轴为当m0时，5 0恒成立当m 0时，有g(x)开口向下且在1,3上单调递减在1,3上，得m 5，故有m 0时，有g(x) 开口向上且在1,3上单调递增在1,3上，得综上，实数m的取值范围为故选：
17、D5、若函数定义域为R，且其图像关于原点成中心对称，当时，则当时，_【答案】6、若函数的定义域为，且为增函数，则a的取值范围是_.【答案】的定义域为，且为增函数，又，即，的取值范围是.故答案为:7、若在区间上是减函数，则a的取值范围是_.【答案】由，得当时，在上是减函数，依题意得，解得，即a的取值范围是.故答案为:8、设函数f(x)为奇函数，则a_.【答案】9、已知函数.(1)用函数单调性的定义证明在区间上为增函数;(2)解不等式.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】（1）通过计算，证得在区间上为增函数.（2）利用的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】（1）的定义域为.任取
18、，则.当时，而，所以，所以在区间上为增函数.（2）由于，且由（1）知在区间上为增函数，所以由可得，即，解得.10、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.（1）计算，；（2）求的解析式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据奇函数的性质求得，根据奇函数的定义求得.（2）先令，得到，然后根据奇函数求得函数时的解析式，进而求得函数在上的解析式.【详解】（1）是上的奇函数，因为是上的奇函数，又时，所以.（2）当时，因为当时，所以又函数是上的奇函数，即又 .11、已知函数.（1）用定义证明在区间上是增函数.（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）证明见解析；（2），.【分析】（1）用单调性定义证明，任取，且，然后证明；（2）由（1）的单调性易得最值【详解】（1）任取，且，则.，即，故函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上是增函数，.