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1、 3.4函数的应用（一）知识梳理在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准确确定函数的定义域是建立函数模型解答实际问题的一个关键环节，不可忽视数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础，当然需要有较强的运算能力根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型，再用得到的函数模型解决相应问题，这是函数应用的一个基本过程在求其具体解析式时用到的最重要的方法是：待定系数法知识典例题型一 分段函数应用例 1 某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月
2、用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()A.10吨B.13吨C.11吨D.9吨【详解】设用水吨时，对应的收费为，则由题意知，当 ，此时最多缴费16元当，超出部分为 即 该职工这个月实际用水8，由 ，即，解得（吨），故选：D题型二 实际应用问题例 2 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【答案】(1)80(2
3、) 15 m/s.【解析】解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2，解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得v5log25log2815(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.巩固提升1、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用A一次函数B二次函数C指数型函数D对数型函数【答案】D【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.【
4、详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D2、甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙在上述股票交易中
5、()A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利9元C.甲盈利1元D.甲亏本1.1元【答案】C【详解】甲两次付出为1 000元和1 000元，两次收入为1 000元和1 000元，而1 0001 0001 0001 0001，故甲盈利1元3、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y0.1x211x3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于_【答案】180台.【详解】设产量为台，利润为万元，则 则当 时，生产者的利润取得最大值即答案为180台.4、某商品在最近100天内的单价f(t)与时间t的函数关系是f(t)，日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t) (
6、0t100，tN)，则这种商品的日销售额的最大值为_【答案】808.5【解析】由题意知日销售额s(t)f(t)g(t)，当0t100，最大值为s(40)736.综上，这种商品日销售额s(t)的最大值为808.55、2016年9月15日，天宫二号实验室发射成功借天宫二号东风，某厂推出品牌为“玉兔”的新产品生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数，其中，是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益总成本利润（I）试将利润元表示为月产量的函数；（II）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【答案】（I）；（II）当时，有
7、最大利润元【解析】试题分析：（I）依题设，总成本为，利用总收益总成本利润，求得利润的表达式为；（II）当时，利用配方法求的当时，；当时，是减函数，最大值小于，所以当时，有最大利润元试题解析：（I）依题设，总成本为，则（II）当时，则当时，；当时，是减函数，则，所以，当时，有最大利润25000元6、心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为 （单位：分），学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强）， （1）开讲
8、后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）试比较开讲后分钟、分钟、分钟，学生的接受能力的大小；（3）若一个数学难题，需要的接受能力以及分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？【答案】(1)开讲后分钟，学生的接受能力最强,并能维持分钟.(2)开讲后分钟、分钟、分钟的学生的接受能力从大到小依次是:分钟、分钟、分钟.(3)不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题.【分析】(1)分段求出的最大值再比较即可.(2)按分段函数分别求出时的函数值再比较大小即可.(3)求出满足的的取值范围，看能否超过分钟即可.【详解】(1)由题意可知,当时， 所以当
9、时,取得最大值是.当时，所以开讲后分钟，学生的接受能力最强,并能维持分钟.(2)由题意可知, 所以开讲后分钟、分钟、分钟的学生的接受能力从大到小依次是:分钟、分钟、分钟.(3)当时，由，解得；当时，成立；当时，由，解得.综上，当时，接受能力达到.而，所以不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题.7、已知甲、乙两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留1小时后再以50km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t（从甲地出发时开始）的函数，求此函数表达式【答案】【分析】分为，三段求函数解析式【详解】某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地需要的时间为h，某人开汽车以50km/h的速度返回甲地需要的时间为h，当时，当时，当时，综上所述：