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1、 4.5 函数的应用（二） 知识梳理1、函数的零点(1)零点的定义：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)零点的几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2、函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根函数零点的存在性定理只能判断函数在某个
2、区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3、二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法4、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证（2）求区间的中点c（3）计算：，并进一步确定零点所在的区间：若（此时），则c就是函数的零点；若（此时），则令；若（此时），则令（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）
3、；否则重复步骤由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解5、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号知识典例题型一零点存在定理例 1设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【解析】当x时，函数图象是连续的，且f(x)0，f(1)0，f(e)e10，所以函
4、数有唯一的零点在区间(1，e)内【答案】D巩固练习函数的零点所在的大致区间是（ ）A.B.C.D.【答案】A题型二零点个数求解例 2 已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函数yf(x)3x的零点个数就是yf(x)与y3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.巩固练习已知函数，则函数的零点个数为_【答案】2题型三二次函数零点问题例 3 函数的两个零点分别在区间之内，则实数的取值范围为_【答案】巩固练习已知有零点，则实数的取值范围是_【答案】(-1,1)题型四二分法例 4 若函数的一个正数零点附近的函数值用
5、二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A1.4B1.3C1.2D1.5【答案】A【分析】由表格中参考数据可得，结合题中要求精确到0.1可得答案【详解】由表格中参考数据可得，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选：A巩固练习用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次计算得f(0)0，第二次应计算f(x1)，则x1_.【答案】0.25【分析】由零点存在定理得零点在上，区间中点即为下一步要计算的自变量的值【详解】f(0)f(0.5)0，f(x)在区间(0，0.5)内有零点又0.25，第二次应计算f(0.25)，即x10.25.故答案为：0.25
6、题型五函数应用例 5 光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为_（，）【答案】7【分析】根据题意列出不等式，求解不等式即可.【详解】设至少需块玻璃板，由题知，即，取对数，即，即，故答案为：7巩固练习研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.（3）若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.【答案】（1）；（2）一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位；（3）鲑鱼A
7、的耗氧量较大.【分析】（1）直接将数据代入函数解析式计算得到答案.（2）令，得，计算得到答案.（3）根据得到，解不等式得到答案.【详解】（1）将代入函数关系式，得，所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是.（2）令，得，即，则，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.（3）鲑鱼A的耗氧量较大.理由：由，得，即，则，所以鲑鱼A的耗氧量较大.巩固提升1、函数的零点所在的区间是（ ）A.B.C.D.【答案】C2、若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()A.(，1) B.(1，)C.(，1 D.1，)【答案】B【解析】因为函数f(x)x22xa没有零点，所以方程x22xa
8、0无实根，即44a1.3、函数的零点所在的区间是（ ）A.B.C.D.【答案】B4、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A1.2B1.3C1.4D1.5【答案】C【分析】由表中参考数据可得，又精确度为，由二分法定义即可得答案.【详解】由表中参考数据可得，所以，由二分法定义得零点应该存在于区间内，又精确度为，且，故方程的一个近似根为.故选：C5、函数（且）的自变量与函数值的一组近似值为23450.30100.47710.60200.6990则函数的一个零点存在区间是（ ）A.B.C.D.【答案】C6、方程的实数解的个数为_
9、【答案】27、二次函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_【答案】8、已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；【答案】见解析;9、某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年10、某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？