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1、5.6 函数 知识梳理1、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A02、函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx3、函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径4、注意（1）由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度.（2）函数yAsin(x)的对称轴由xk(kZ)确定；对称中心由xk(kZ)确定其横坐标.知识典例题型一 三角函数平移例 1将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A
2、BCD【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C巩固练习要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A向左平移长度B向右平移长度C向左平移长度D向右平移长度【答案】D【分析】根据三角函数的平移原则，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为，因此要得到函数的图象，只需将的图象向右平移单位.故选：D.题型二 三角函数解析式求解例 2函数的部分图象如图所示则（ ）ABCD【答案】A【分析】由图象可知，周期,即可求出，再代入点即可求出.【详解】由图象可知，当时，函数取得最大值，所以，因为，所以故选：A巩固练习已知函数的部分图象如
3、图所示，若，则（ ）A，B，C，D，【答案】C【分析】由图象结合三角函数的性质可得，即可得，再代入特殊点即可得.【详解】由图象可得函数的最小正周期满足，所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴，又，所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴，且，所以函数的最小正周期满足即，所以，所以，所以，又，所以.故选：C.题型三 三角函数图象变换例 3为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
4、D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【分析】按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案.【详解】对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各
5、点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确.故选：C.巩固练习（多选）已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）A把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线B把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】AD【分析】先利用诱导公式把化简得，然后利用三角函数图像变换规律求解即可【详解】解：
6、，所以将曲线：向左平移个单位长度，得，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线；或将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故选：AD题型四 三角函数例 4（多选）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）ABC是函数的一条对称轴D是函数的对称轴心【答案】ACD【分析】根据函数图象先求出的表达式，再对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.由图象可得， 所以，即,由，所以，即,所以B不正确.所以函数的对称轴为：，即当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.所以函数的对称中
7、心满足：，即所以函数的对称轴心为，所以D正确.故选：ACD巩固练习下图是函数（其中，）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A函数的图象关于原点对称B函数的图象关于点对称C函数在区间上单调递增D方程在区间上的所有实根之和为【答案】ABD【分析】根据函数图象求出的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误.【详解】由已知，因此，所以，过点，因此，又，所以，对A，图象关于原点对称，故A正确；对B，当时，故B正确；对C，由，有，故C不正确；对D，当时，所以与函数有4个交点令横坐标为，故D正确.故选：ABD.巩固提升1、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位
8、D向左平移个单位【答案】D【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位故选：D2、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )ABCD【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然3、将函数图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得函数图像的解析式为.故选：D4、若函数的部分图象如图，则（ ）ABCD【答案】B
9、【详解】由题中图象可知.故选B.5、函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据图象可得周期，根据周期可得，根据可得在时取最小值，由此可求得，根据图象过点，可得，再根据平移变换可得结果.【详解】由图象可知最小正周期：，又在时取最小值，.又，.又图象过点，.，把图象向右平移个单位后得到函数，.故选：A.6、函数 的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位【答案】A【分析】先看图得到的解析式，再利用平移得到结果即可.【详解
10、】看图可知周期满足，故，又时取得最小值-1，故，即，所以将向右平移个单位，得到.故选：A.7、将函数（，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则_.【答案】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值【详解】解：将函数，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，再向右平移个单位长度得到的图象，且，解得，函数，故答案为：8、先将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位，则可得变换后图象的函数解析式为_.【答案】【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换，即可得出答案.【详解】将函
11、数的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，再将所得图象向右平移个单位，得出的图象故答案为：9、（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ）A函数的图象关于直线对称B函数的图象关于点对称C函数在上单调递减D函数在上恰有4个极值点【答案】AD【分析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质研究对称性、单调性以及极值点，即可作出选择.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得因为，所以函数的图象关于直线对称，即A正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，即B错误；因为，所以函数单调递增，即C错误；因为，所以当时函数取得极值，即函数在上恰有
12、4个极值点，D正确；故选：AD10、（多选）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）AB最小正周期为C的图象关于对称D在区间上单调递增【答案】BCD【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，对A，函数，故A错误； 对B，最小正周期为，故B正确；对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，单调递增，故D正确，故选：BCD11、已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标；（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后
13、将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.【答案】（1）；对称中心为，；（2）减区间是：；有最大值，有最小值.【分析】（1）根据最大值可得，根据周期得，根据最高点得，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得的对称中心；（2）根据图象变换的结论可得的解析式，根据余弦函数的递增区间可得在上的单调减区间，根据余弦函数的图象可得在上的最值.【详解】（1）由所给图象知：；，把点代入得：，即，又，；由，得，所以的对称中心为，.（2）易知.化简得，当时，由，得，所以的单调递减区间是：；当时，当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为.12、函数的部分图象如图所示（1）求函数的解析式（2）将的图象向右平移个单位后得到新函数的图象，求函数的解析式【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由所给图象可知，所以，由，得，解得，所以（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为