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1、3.1函数的概念及其表示知识梳理 1、函数概念函数两集合A，B设A，B是两个非空的数集对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记法函数yf(x)，xA2、函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法
2、、图象法和列表法(5)区间表示：设a，b是两个实数，而且，规定：满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a,b)，(a,b这里的实数a与b都叫做相应区间的端点3、一般函数中求解定义域的方法：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)yx0要求x0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数ytan x，xk(kZ)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求4、抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的定义
3、域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域5、求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f(x)与或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).6、分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，
4、其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数知识典例题型一函数概念例1对于集合Ax|0x2，By|0y3，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是()【答案】D求解来源：函数概念下列图象表示函数图象的是（ ）ABCD【答案】C题型二定义域求解例 2函数的定义域为 【答案】函数的定义域为（ ）ABCD【答案】C题型三 抽象函数定义域例 3已知函数yf(x1)的定义域是2,3，则yf(2x1)的定义域是()A3,7 B1,4 C5,5 D.【答案】D已知函数f(x+3)的定义域为-2,4),则函数f(2x-3)的定义域为_.【答案】2,5).题型四值域
5、求解例 4（1）函数y的值域； （2）函数y的值域；【答案】（1）（2）求函数的值域【答案】题型五解析式求解例 5（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_。（2）已知，则f(x)_。【答案】（1）（2）已知，则_.【答案】题型六 函数相等例 6 下列函数中，与函数yx相等的是()Ay()2 By Cy Dy【答案】B下列各组函数表示同一函数的是（ ）ABCD【答案】D题型七 参数问题例 7 函数的定义域为，则实数的取值范围是（）ABCD试题分析：由题意可知恒成立，当时恒成立；当时需满足，代入解不等式可得，综上可知实数的取值范围是已知函数f（x）=的定义域
6、为R，则实数m取值范围为Am|1m0Bm|1m0Cm|m0Dm|m0【答案】A【分析】函数f（x）=的定义域为R,只需要满足函数y=mx2+6mxm+8的函数值非负即可，讨论二次项系数和判别式,使得函数值大于等于在R上恒成立即可.【详解】函数f（x）=的定义域为R，函数y=mx2+6mxm+8的函数值非负，（1）当m=0时，y=8，函数值非负，符合题意；（2）当m0时，要mx2+6mxm+8恒为非负值，则m0，且关于x的方程mx2+6mxm+8=0根的判别式0，即m0，且（6m）24（m）（m+8）0，即m0，且m2+m0，解得1m0综上，1m0故选A题型八 函数赋值 例 8 定义在上的函数满
7、足（），则等于 （ ）A2B3C6D9【答案】C【解析】试题分析：法一、根据条件给赋值得：，所以.所以选函数，则 _【答案】1【分析】根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.【详解】根据题意，则；故答案为1题型九 函数与不等式例 9 已知函数，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】依题意得，选A已知函数（1）若，求的值；（2）解不等式.【答案】（1） ；（2）.【分析】（1）当时，根据解析式求出，当时，求出对应的，判断是否符合要求，进而即可求解.（2）根据分段函数对进行分类讨论，分别求出和时的满足的范围，进而求解即可.【详解】（1）当时，由，得，不符合题意；当时，由，得或 (舍去)，
8、故（2）等价于 或解得，解得，综合知的解集为.巩固提升1、若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）。ABCD【答案】D【分析】由题意可知，根据复合函数定义域的求解方法，由的定义域求出的定义域，再根据分母不为零、二次方根的被开方数非负求得使分母有意义的的范围，最后取交集即可求得结果。【详解】由函数的定义域是，函数得，解得，故答案选D。2、函数f（x）(3x1)0的定义域是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据函数解析式可知且，解不等式组即可.【详解】由得x1且x，所以函数定义域为，故选：D.3、已知函数，则的定义域是_,的值域是_【详解】要使函数有意义，只需0，即，所以定义域为，+）；令t，t0则x（t21）由f（x）x得y（t21）t（t1）2，t0当t1时，函数取最小值无最大值故函数f（x）x的值域是，+），故答案为，+） ，+）4、已知，若，则_.【答案】【分析】先解，设其解为，再解【详解】时，由知，而，因此由知，即，故答案为：5、已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】解：当k=0时，满足条件当时，综上：