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1、高中数学函数的周期性一、知识回忆1周期函数：对于函数y f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x T)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3关于函数周期性常用的结论(1)假设满足()f xafx，则(2 )()()f xafxaaf xafx，所以2a是函数的一个周期(0a)；(2)假设满足1()( )f xaf x，则(2 )()f xafxaa1()f xa( )f x，所以2a是函数的一个周期(0a)；(3)假设函
2、数满足1()( )f xaf x-，同理可得2a是函数的一个周期(0a). 4 如 果)(xfy是R上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为T ， 那 么)()(ZnxfnTxf5函数图像关于bxax,轴对称)(2baT6函数图像关于0,0,ba中心对称)(2baT7函数图像关于ax轴对称，关于0,b中心对称)(4baT二、方法规律技巧1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin( x) ，用公式T2| |计算递推法：假设f(xa) f(x) ，则 f(x 2a)f(x a)a f(x a)f(x)，所以周期 T2a.换元法：假设f(x a)f(x a)，令 x
3、 at，xta，则 f(t) f(t2a)，所以周期 T2a2判断函数的周期只需证明f(x T)f(x)(T 0) 便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：假设T 是函数的周期，则kT(kZ 且 k0) 也是函数的周期精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，表达了转化思想三、例题讲解：1 、
4、设 定 义 在R上 的 函 数fx满 足22012fxfx， 假 设12f， 则99_f2、已知 fx是 R 上的奇函数，对xR 都有 fx+4=fx+f2成立，假设f 1=2，则 f2013等于A2 B 2 C 1 D2013 3、定义在R 上的函数的图象关于点3,04成中心对称，且对任意的实数x 都有 f(x)f32x，f(1)1，f(0) 2，则 f(1)f(2) f(2013) () A0 B 2 C1 D 4 4、已知周期函数f(x) 的定义域为R，周期为2，且当 1x1时， f(x) 1x2.假设直线yxa 与曲线 yf(x) 恰有 2 个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为
5、() Aa|a2k34或 2k54，kZ Ba|a2k14或 2k34，kZ Ca|a2k1 或 2k54， kZ Da|a2k 1，kZ 5、设 f(x) 是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间 1,1上，f(x) 1, 102,01axxbxxxa12f32，则 a 3b 的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页四、新题变式探究【 变 式 一 】 已 知 定 义 在R上 的 函 数fx满 足 条 件 ； 对 任 意 的xR， 都 有4fxfx； 对 任 意 的121212,0,2x xxxxfx且，都有 f
6、； 函 数2fx的图象关于y 轴对称 .则以下结论正确的选项是( ) A.76.54.5fffB.74.56.5fffC.4.56.57fffD.4.576.5fff【变式二】设g(x)是定义在R 上,以 1 为周期的函数,假设函数f(x)=x+g(x) 在区间 0,1上的值域为 -2,5,则 f(x) 在区间 0,3上的值域为. 【综合点评】 充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键五、易错试题常警惕易错典例1：假设函数f(x)k2x1k 2x在定义域上为奇函数，则实数k_. 易错典例2：定义在 R 上的函数f(x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个
7、正周期假设将方程f(x) 0 在闭区间 T，T上的根的个数记为n，则 n 可能为() A0 B1 C3 D5 【 变 式 】 设fx是 连 续 的 偶 函 数 ， 且 当0 x时 ，fx是 单 调 函 数 ， 则 满 足3( )()4xf xfx的所有x之和为() A 3 B3 C 8 D8练习： A 基础测试1. 【江苏省南京市2014 届高三 9 月学情调研】 设函数fx是定义在R上的偶函数， 当0 x时，21xfx.假设3fa，则实数a的值为. 2.【2014 届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出以下函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
8、- - -第 3 页，共 5 页cosyxx2sinyx2yxxxxyee，其中是奇函数的是A. B. C. D. 3.【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)(xfy是定义在R上的偶函数，且在),0上单调递增，则满足)1()(fmf的实数m的范围是4.【吉林市普通中学2013-2014 学年度高中毕业班摸底测试理】( )tansin1f xxx，假设2)(bf，则)( bfA. 0 B. 3 C. -1 D. -2 5.【安徽省示范高中2014 届高三上学期第一次联考数学理】已知偶函数( )f x对任意xR均满足(2)(2)fxfx， 且当20 x时，
9、3( )log (1)fxx， 则(2014)f的值是. B 能力提升训练1. 【江西省2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数( )yf x是周期为2 的周期函数，且当 1,1x时，| |( )21xf x，则函数( )( )| lg|F xf xx的零点个数是A9 B10 C 11 D12 2.【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014 届高三第二次联考】定义在 R 上的奇函数)(xfy满足0)3(f，且不等式)()(xf xxf在),0(上恒成立，则函数)(xg=1lg)(xxxf的零点的个数为A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.【广东省中山市一中201
10、4 届高三第二次统测】奇函数fx满足对任意xR都有2fxfx成立，且18f，则(2012)(2013)(2014)fff的值为A 2 B 4 C 6 D 8 4.【广东省广州市海珠区2014 届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数)(xf是定义在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页(,)上的奇函数，假设对于任意的实数0 x，都有)()2(xfxf，且当2, 0 x时，)1(log)(2xxf，则)2012()2011(ff的值为A . 1B.2C. 2D.15【 2014 届山东省日照市高三校际联考】已函数fx是定义在
11、1,1上的奇函数 ,在0,1上时2ln11xfxx求函数fx的解析式 ; 解不等式2(21)(1)0fxfxC 思维扩展训练1. 【湖北孝感高中2014 届高三年级九月调研考试】已知( )yf x 是定义在R 上周期为4 的奇函数，且02x时，2( )2f xxx则 1012x时，( )f x =_ 2.【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学理 】已知函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的xR 都有 f(x2)f(x)当 0 x1时，f(x)x2.假设直线y xa 与函数 yf(x)的图像在 0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 () A0 B0 或12C14或12
12、D 0或143.定义在R上的奇函数( )f x，满足(3)( )f xf x，(2)0f，则函数( )yf x在区间0,6内零点个数的情况为A2个B4个C6个D至少6个4.已知定义在R 上的函数( )yf x对任意的x都满足(1)( )f xf x， 当11x 时，3( )f xx， 假设函数( )( )logag xf xx至少 6 个零点，则a的取值范围是5.【2014 届上海市青浦区高三上学期末】定义在R 上的奇函数( )f x有最小正周期4，且0,2x时，142)(xxxf1判断并证明( )fx在0,2上的单调性，并求( )f x在2,2上的解析式；2当为何值时，关于x的方程( )f x在6, 2上有实数解？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页