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1、高中数学函数的对称性与周期性讲义一、引例： 若)(xf是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,xfrx某一个，那么对于每个条件下的)(xf，各具有哪些特殊性质？(1),)1()1(xfxf(4),)1 ()1(xfxf(7),)1()1(xfxf(2),)2()(xfxf(5),)2()(xfxf(8),)()2(xfxf(3),)3()1(xfxf(6),)2(4)(xfxf(9),)()1(xfxf二、函数的对称性1、轴对称)()()()2()()()()(0 xfxfyxfxafxfxafxafaxxfa轴对称关于对称关于2、点对称0)()()()()00()(0)()()2()
2、()0 ,()(02)()()2(2)(),()(xfxfxfxfxfaxafxafxafxfaxfbbxafxafxafbxfbaxf对称，关于对称关于对称关于3、本质特征：【自变量】为常数）（定义域）且aaxxDxx(2212,1【函数值】axxxxxfxf对称轴对称轴轴对称性2)()(2121),)22,2(2)()(2121babxxbxfxf对 称 中 心 （对 称 中 心中 心 对 称模型：对称关于2)()()(,baxxfxbfxafDx对称关于)0 ,2()()()(,baxfxbfxafDx三，函数的周期性定义：设定义在D 上的函数,),(Dxxf对于都存在非零常数T，使得)
3、()(xfTxf则函数)(xf为周期函数 ,T 为)(xf的一个周期，【自变量】Dxx21,（定义域）且Txx21（T 为非零常数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 【函数值】)(1)(1)()(1)()()()()(221212121xfxfxfxfxfxfxfxfxf或或或模型：函数)(xf的周期为T)()(xfTxf)()2()()()2(2xfTxfTxfxfTxfTxx换成)()2(1)()(1)2(2x
4、fTxfTxfxfTxfTxx换成)4(1)4(1)2()(1)(1)4(4TxfTxfTxfxfxfTxfTxx换成四，对称性与周期性，1，若bxaxxf和关于)(对称，则)(xf是周期函数，一个周期为),(2ba2，若)()0,)0 ,)(xfbaxf对称，则和（关于（是周期函数，一个周期为)(2ba，3，若)()0,()(xfbaxxf对称，则和关于是周期函数，一个周期为)(4ba例： （1） ，设函数),7(),2()2(),()(xfxfxfxf上满足在且在闭区间【 0，7】上只有0)3()1(ff， （1） ，试判断函数)(xfy的奇偶性，（2),试求方程0)(xf在闭区间2005
5、,2005上的根的个数，并证明你的结论，（2),)(xf是定义在R 上的以 3 为周期的奇函数，且,0)2(f则)(xf在区间（ 0，6）内解得个数的最小值是（） A, 2 B, 3 C, 4 D, 5 (3),若存在常数, 0p使得函数)(),)(2()()()(xfrxppxfpxfpxfxf则满足的一个正周期为（ 4） ，已知定义在R 上的函数)(xf的图像关于（)0,43成中心对称图形，且满足)2008()2()1 (, 2)0(, 1)1(),23()(fffffxfxf则的值为（）A , -2 B, 0 C, 1 D, 2 （ 5 ）， 已 知)(xf是 定 义 在R上 的 函 数
6、 ， 且 满 足, 1)()(xfxf当名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - ,)(,1 , 02xxfx时现有四个命题：1，)(xf是周期性函数，且周期为2， 2，当,2)(2, 12xxxfx时，3，)(xf是偶函数，4，,43)5.2004(f其中正确命题的个数是， （） ，A, 1 B, 2 C, 3 D, 4 (6） ，已知函数()2006(,2005)0(),(1)(1)1()(ffxfxfxfxf则若满足
7、） ，（ 7） ，设)(xf是定义在R 上的奇函数，且)(xfy得图像关于直线1x对称，下列说法：1，);()2(xfxf2，)()4(xfxf；3，0)4()3()2()1(ffff，4，),()4(xfxf正确的是（）A, 1 2 3 , B,1 3 , C,3 4 , D, 2 3 4 , (8),定义在 R 上的函数,)(1 , 1),()2()(3xxfxxfxfxf时，且当满足1，求5, 1)(在xf上的表达是，2，若,)(1ARxaxfxA且求实数 a 的取值范围，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -