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1、-高中数学专题训练（教师版）函数的奇偶性和周期性 一、选择题 1下列函数中，不具有奇偶性的函数是()Ayexex Bylg1x1x Cycos2x Dysinxcosx 答案 D 2(2011山东临沂)设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是()Af(x)f(x)是奇函数 Bf(x)|f(x)|是奇函数 Cf(x)f(x)是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数 答案 D 3已知 f(x)为奇函数，当 x0，f(x)x(1x)，那么 x0，f(x)等于()Ax(1x)Bx(1x)Cx(1x)Dx(1x)答案 B 解析 当 x0，f(x)(x)(1x)又 f(x)f(x)，f(x)x(1
2、x)4若 f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则 g(x)ax3bx2cx 是()A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 答案 A 解析 由 f(x)是偶函数知 b0，g(x)ax3cx 是奇函数 5(2010山东卷)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)2x2xb(b 为常数)，则 f(1)()A3 B1 C1 D3 答案 D 解析 令 x0，则x0，所以 f(x)2x2xb，又因为 f(x)在 R 上是奇函数，所以 f(x)f(x)且 f(0)0，即 b1，f(x)2x2x1，所以 f(1)2213，故选 D.6(2011北京海淀区)定义在 R 上的函数
3、f(x)为奇函数，且 f(x5)f(x)，若 f(2)1，f(3)a，则()Aa3 Ca1 答案 C 解析 f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)，又 f(2)1，a0()Ax|x4 Bx|x4 Cx|x6 Dx|x2 答案 B 解析 当 x0，f(x)(x)38x38，又 f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x)x38，x0 x38，x0.f(x2)x238，x0 x238，x0或 x0，解得 x4 或 x0.故选 B.二、填空题 8设函数 f(x)(x1)(xa)为偶函数，则 a_.答案 1 解析 f(x)x2(a1)xa.f(x)为
4、偶函数，a10，a1.9设 f(x)ax5bx3cx7(其中 a，b，c 为常数，xR)，若 f(2011)17，则 f(2011)_.答案 31 解析 f(2011)a20115b20113c20117 f(2011)a(2011)5b(2011)3c(2011)7 f(2011)f(2011)14，f(2011)141731.10函数 f(x)x3sinx1 的图象关于_点对称 答案(0,1)解析 f(x)的图象是由 yx3sin x 的图象向上平移一个单位得到的 11已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，总有 f(x2)f(x)成立，则 f(19)_.答案 0 解析
5、依题意得 f(x4)f(x2)f(x)，即 f(x)是以 4 为周期的函数，因此有 f(19)f(451)f(1)f(1)，且f(12)f(1)，即 f(1)f(1)，f(1)0，因此 f(19)0.12定义在(，)上的函数 yf(x)在(，2)上是增函数，且函数 yf(x2)为偶函数，则 f(1)，f(4)，f(512)的大小关系是_ 答案 f(512)f(1)f(4)解析 yf(x2)为偶函数 yf(x)关于 x2 对称 又 yf(x)在(，2)上为增函数 yf(x)在(2，)上为减函数，而 f(1)f(5)f(512)f(1)f(4)13(2011山东潍坊)定义在 R 上的偶函数 f(x
6、)满足 f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于 f(x)的判断：f(x)是周期函数；f(x)关于直线 x1 对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确的序号是_ 答案 解析 由 f(x1)f(x)得 f(x2)f(x1)f(x)，f(x)是周期为 2 的函数，正确，f(x)关于直线 x1 对称，正确，f(x)为偶函数，在1,0上是增函数，f(x)在0,1上是减函数，1,2上为增函数，f(2)f(0)因此、错误，正确综上，正确-三、解答题 14已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)、g(x
7、)的解析式 答案 f(x)x22，g(x)x 解析 f(x)g(x)x2x2.f(x)g(x)(x)2(x)2.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x)x2x2.由解得 f(x)x22，g(x)x.15 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且函数 f(x)在0,1)上单调递减，并满足 f(2x)f(x)，若方程 f(x)1 在0,1)上有实数根，求该方程在区间1,3上的所有实根之和 答案 2 解析 由 f(2x)f(x)可知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又因为函数 f(x)是奇函数，则 f(x)在(1,1)上单调递减，根据函数 f(x)的单调性，方程 f(x)1
8、在(1,1)上有唯一的实根，根据函数 f(x)的对称性，方程 f(x)1 在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线 x1 对称，故两根之和等于 2.16已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数()求 a，b 的值；()若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 答案(1)a2，b1(2)k13 解析()因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)0，即b1a20b1 f(x)12xa2x1 又由 f(1)f(1)知12a4112a1a2.()解法一 由()知 f(x)12x22x1，易知 f(x)在(，)上为减函数又因 f(x)是奇函数
9、，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0 等价于 f(t22t)k2t2.即对一切 tR 有：3t22tk0，从而判别式 412k0k13 解法二 由()知 f(x)12x22x1.又由题设条件得：12t22t22t22t1122t2k222t2k10，即：(22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)1，因底数 21，故：3t22tk0 上式对一切 tR 均成立，从而判别式 412k0k13 -1(2010上海春季高考)已知函数 f(x)ax22x 是奇函数，则实数 a_.答案 0 2(2010江苏卷)设函数 f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数 a 的
10、值为_ 答案 1 解析 令 g(x)x，h(x)exaex，因为函数 g(x)x 是奇函数，则由题意知，函数 h(x)exaex为奇函数，又函数 f(x)的定义域为 R，h(0)0，解得 a1.3(2011高考调研原创题)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且x|f(x)0 x|1x3，则 f()f(2)与 0的大小关系是()Af()f(2)0 Bf()f(2)0 Cf()f(2)0 D不确定 答案 C 解析 由已知得 f()0，f(2)f(2)0，因此 f()f(2)0.4如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为 5，那么 f(x)在区间7，3上是()A增函数且最小值为5
11、B增函数且最大值为5 C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为5 答案 B 解析 先考查函数 f(x)在7，3上的最值，由已知，当 3x7 时，f(x)5，则当7x3 时，f(x)f(x)5 即 f(x)在7，3上最大值为5.再考查函数 f(x)在7，3上的单调性，设7x1x23.则 3x2x17，由已知f(x2)f(x2)f(x1)，即 f(x)在7，3上是单调递增的 5(08全国卷)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式fxfxx0 的解集为_ 答案(1,0)(0,1)解析 由 f(x)为奇函数，则不等式化为 xf(x)0 法一：(图象法)由，可得1x0 或 0
12、x1 时，xf(x)0.法二：(特值法)取 f(x)x1x，则 x210 且 x0，解得1x1，且 x0.6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)f(x)，且 f(x)1 1x01 0 x1，则 f(3)_.解析 f(x1)f(x)，则 f(x)f(x1)f(x2)f(x2)，则 f(x)的周期为 2，f(3)f(1)1.7(2011深圳)设 f(x)1x1x，又记 f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，则 f2011(x)()A1x Bx C.x1x1 D.1x1x 答案 C 解析 由题得 f2(x)f(1x1x)1x，f3(x)f(1x)x1x1，f4(x)f(
13、x1x1)x，f5(x)1x1xf1(x)，其周期为 4，所以 f2011(x)f3(x)x1x1.1设函数 f(x)在(，)上满足 f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有 f(1)f(3)0.(1)证明函数 f(x)为周期函数；-(2)试求方程 f(x)0 在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论 解析(1)由 f2xf2xf7xf7x fxf4xfxf14xf(4x)f(14x)f(x)f(x10)f(x)为周期函数，T10.(2)f(3)f(1)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0 故 f(x)在0,10和10,0上均有两个解，从而可知函数 yf(x)在0,2005上有 402 个解，在2005,0上有 400 个解，所以函数 yf(x)在2005,2005上有 802 个解