《2022年高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 .pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数 yf(x)定义域为A，区间 MA，任取区间M 中的两个值x1， x2，改变量 xx2x10，则当 yf(x2)f(x1)0 时，就称f(x)在区间 M 上是增函数，当y=f(x2)f(x1)0 时，就称f(x)在区间 M 上是减函数如果 yf(x)在某个区间M 上是增 (减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做 y=f(x)的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当 x1x2时判断相应的函数值f(x1)
2、与 f(x2)的大小利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于 y=f (x)型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u= (x)，然后分别根据u= (x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律此外， 利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述奇偶性：(1)设函数 f(x)的定义域为D，如果对 D 内任意一个x，都有 xD，且 f(x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D 内任意一个x，都有 xD，且 f(
3、x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称此外，由奇函数定义可知：假设奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数 f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期关于函数的周期性，下面结论是成立的(1)假设 T 为函数 f(x)的一个周期，则kT 也是 f(x)的周期 (k 为非零整数 )(2)假设 T 为 y=f(x)的
4、最小正周期，则|T为 y=Af(x + )+b 的最小正周期，其中 0 对称性：假设函数y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于直线2bax对称，假设函数y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于点 (2ba，0)对称函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(
5、xa) y=f(x)上下平移y=f(x)b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 (2)利用和 y=f(x)对称关系作图：y=f(x)与 y=f(x)的图象关于y 轴对称； y=f(x)与 y=f(x)的图象关于x 轴对称y=f(x)与 yf(x)的图象关于原点对称；y=f-1(x)与 y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用 y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转 180 ，其余部分不变的方法作出y=f(|x|)的图象：可先做出 y
6、=f(x)， 当 x0 时的图象， 再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质， 作出 y=f(x)(x0)的图象此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究还要记住一些结论：假设函数y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于直线2bax对称，假设函数y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于点 (2ba，0)对称(二)解题方法指导例 1设 a0 ，试确定函数21)(xaxxf在(1，1)上的单调性例 2讨论xxxf2)(的增减性例 3f(x)在( ，2)上是增函数，且对任意实数x 均有 f(4x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+)
7、上的增减性例 4* 已知函数 f(x)的定义域为R，对任意实数m，n，都有21)()()(nfmfnmf且当21x时，f(x)0又.0)21(f()求证; 1)21(,21)0(ff()判断函数f(x)的单调性并进行证明例 5在 R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 例 6判断以下函数的奇偶性)1lg()()1 (2xxxf(2)11)()(xxaaxxf(其中 (x)为奇函数， a 0且 a 1) 例 7设函数)1 , 1(1)(2xbxxaxxf是奇函数，判断它的增减性
8、例 8设 f(x)是定义域为R 且以 2为一个周期的周期函数，也是偶函数， 已知当 x2，3时 f(x)=(x 1)2+1，求当 x1，2时 f(x)的解析式例 9作出112xxy的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性例 10作出函数的图象(1)1) 1(32xy(2)y=|lg|x| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 例 11 (1)作出方程 x+y=1 所表示的曲线(2)作出方程 x 1+y+1=1 所表示的曲线例 12已知函数f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x(1)
9、求函数 g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)f(x) x1例 题 解 析例 1 解：任取x1，x2(1，1)，且 x=x2x10，则)1)(1 ()1)(11)()(2221211222122212xxxxxxaxaxxaxxfxfy由于 1x1x21，所以 x=x2x1 0，1x1x20， 121x 0， 122x 0因此当 a0 时， y=f(x2)f(x1)0，当 a0 时， y=f(x2) f(x1) 0所以当 a0 时 f(x)在(1， 1)上是增函数，当a 0 时， f(x)在 (1，1)上是减函数例 2 分析：可先在(0， ) 上研究 f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶
10、性判断其在(，0)上的增减性，而当 x0 时， 有,222)(xxxf当且仅当xx2即2x时“=”成立，即当2x时， f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点解： 任取 x1，x2(0，2 ，且 x=x2x10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 则)21)()2()2()()(2112112212xxxxxxxxxfxfy因为,2021xxx=x2 x1 0，且02121xx，因此 y=f(x2)f(x1)0，故f(x)在2,0(上是减函数同理可证f(x)在),2是增函数又由),(2)(xf
11、xxxf可知 f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在2,(上是增函数，在)0,2上是减函数综上所述，xxxf2)(在2,(和),2上是增函数，在)0,2，2,0(上是减函数例 3 解：任取x1，x2(2， ) ，且 x1x2，则由 2 x1 x2得 24 x14x2 因为 f(x)在( ，2)上是增函数，所以有f(4x1)f(4 x2) 而由已知又有f(4x1)=f(x1)， f(4x2)=f(x2)，所以 f(x1) f(x2)，故 f(x)在(2， ) 上是减函数小结： 注意体会解题中的划归思想此题假设是一个小题，由f(4x)=f(x)可知 f(x)的图像关于x=2 对称
12、，立即就可以判断出f(x)在(2， ) 上是减函数例 4 分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路解： ()由 f(mn)=f(m)f(n)21得 f(0)=f(00)=2f(0)21有 f(0)=21又由及0)21(f得1)21(f()任取 x1，x2 R 且 x x2x10 则212112xx根据已知可得0)21(12xxf则有21)()()()(1121122xfxxfxxxfxf21)(21)21()21(21)()2121(112112xffxxfxfxxf).(1)(11)()21(0111xfxfxff函数
13、f(x)在 R 上为增函数例 5 解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(x)=f(x)， f(x)=f(x)，联立，消去 f(x)，得 f(x)=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 显然函数f(x)=0 既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0 就是所求的函数例 6 解： (1)因为对任意x R，都有0|122xxxxxx，所以函数定义域为R 任取 xR，则 xR 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122xfxxxxxxxf所以)1lg()(2xxxf是奇函数(2)函数的定义域为R任
14、取 xR，则 xR，且有.11)(11)(11)()(xxxxxxaaxaaxaaxxf所以11)()(xxaaxxf是偶函数例 7 解：显然 x 1，1，x1，1，因为 f(x)为奇函数，所以对区间1，1内任意实数x 均有 f(x)=f(x)成立，即1122bxxaxbxxax，也就是1122bxxaxbxxax这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0所以1)(2xxxf任取 x1，x2 1，1，且 x=x2x10 则)1)(1()1)(11)()(2221211221122212xxxxxxxxxxxfxfy因为 1x1x21，所以 x=x2 x1 0，1 x1x
15、2 0，因此 y=f(x2) f(x1) 0，所以当x 1， 1时1)(2xxxf为增函数注：此题也可以通过f(0)=0， f(1)=f(1)求得 a=b=0 例 8 分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是 f(x)为偶函数， 再一个是f(x)为周期函数， 通过画出草图，就会发现可以先求出当x 3，2时函数的解析式，在利用周期性求出当x 1，2时 f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法解：当 x3，2时 x2，3所以 f(x)=( x1)21=(x1)2 1，因为 f(x)是偶函数， 因此当 x3， 2时， f(x)=(x1)21 当 x1，2时， x43， 2，有 f(x4)=(x4
16、1)21=(x3)21，因为 2 为 f(x)的周期，可知4也为 f(x)一个周期，有f(x4)=f(x) 故 x1，2时 f(x)=(x3)21例 9 解：因为112112xxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xxy的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(1，2) 渐近线分别为x=1，y=2 函数在 (，1)和( 1， ) 上都是增函数例 10 解： (1)将函数32xy的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1) 1(32
17、xy，如图(2)y= lg x为偶函数，当x0 时先作出y=lgx 的图象，在根据奇偶性作出y=lgx的图象，最后将y=lg x在横轴下面的图象关于x 轴旋转 180 ，其余部分不变即可得到y=lgx的图象，如图例 11 分析，曲线 x y=1 是关于 x 轴， y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线 x1 y1=1，只需通过将曲线x y 1 适当平移即可得到解： (1)先作出线段xy=1(x1，y 1)，再作出该线段分别关于x 轴， y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程 x y=1 所表示的曲线，如图(2)将(1)中方程 x y=1 所表示的曲线右移一个单位，下移一
18、个单位就得到方程x1 y1=1 所表示的曲线，如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 例 12 解： (1)设 f(x)上任意一点P(x0， y0)关于原点的对称点为P(x，y) 则020200yyxx即yyxx00因为点 P(x0，y0)在 f(x)=x22x 的图像上，所以200 xy2x0，即 y=(x)2 2( x) 故 g(x)=x22x(2)由 g(x)f(x) x1得 2x2 x1当 x1 时，不等式化为2x2x10，此式无实数解当 x1 时，不等式化为2x2x10 解得211x，因此 g(x)f(x) x1解集为.21, 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页