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1、四川省成都外国语学校高三（下）3 月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题12 个小题，每题 5 分，共 60 分，请将答案涂在答题卷上）1 （5 分）已知集合 A= 0，2，4，6，B=nN| 2n8 ，则集合 AB 的子集个数为（）A8 B7 C 6 D42 （5 分）已知复数，则（）Az 的实部为 1 Bz 的虚部为 iCz 的虚部为 1 Dz 的共轭复数为 1+i3 （5 分）下列关于命题的说法错误的是（）A命题 “ 若 x23x+2=0，则 x=1” 的逆否命题为 “ 若 x1，则 x23x+20”B“a=2”是“ 函数 f（x）=logax 在区间（ 0，+）上为增函数 ” 的充分
2、不必要条件C若命题 P：? nN，2n1000，则 P：? nN，2n1000D命题 “ ? x（， 0） ，2x3x” 是真命题4 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“ 松竹并生 ” 的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（）A2 B3 C 4 D55 （5 分）函数 f（x）=+ln| x| 的图象大致为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页ABCD6 （5 分）设an 是公差不为零的等差数列，满
3、足，则该数列的前10 项和等于（）A10 B5 C0 D57 （5 分）如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1的体积为 6，C1BC的正切值为，当 AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD A1B1C1D1外接球的表面积（）A10B12C 14D168 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的焦点 F到双曲线 C：=1（a0，b0）渐近线的距离为，点 P是抛物线 y2=8x 上的一动点， P到双曲线 C的上焦点 F1（0，c）的距离与到直线x=2 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
4、 页，共 27 页ABC D9 （5 分）甲、乙两人相约周六上午8：00 到 8：30 之间在公交车站乘车去新华书店，先到者若等了15 分钟还没有等到对方，则需发微信联系假设两人的出发时间是独立的，在 8：00 到 8：30 之间到达车站的时间是等可能的，则两人不需要发微信联系就能见面的概率是（）ABC D10 （5 分）已知函数y=2sin（x + ） （0 2 ）的部分图象如图所示，点A（，0） ，B、C是该图象与 x 轴的交点， 过点 B作直线交该图象于D、E两点，点 F（，0）是 f（x）的图象的最高点在x 轴上的射影，则的值是（）A22B2C2 D以上答案均不正确11 （5 分）已知
5、定义在 R内的函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） ，当 x 1，3时，f（x）=，则当 t（，2 时，方程 7f（x）2x=0的不等实数根的个数是（）A3 B4 C 5 D612 （5 分）已知 f （x）是定义在（ 0，+）上的函数 f（x）的导函数，若方程f （x）=0 无解，且 ? x（0，+） ，f f（x）log2016x =2017，设 a=f（20.5） ，b=f（log3） ，c=f（log43） ，则 a，b，c 的大小关系是（）Abca Bacb Ccba Dabc二填空题（本大题4 个小题，每题 5 分，共 20 分）精选学习资料 - - - - - - - -
6、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页13 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是14 （5 分）已知 f（x） ，g（x）都是定义在 R上的可导函数，并满足以下条件：g（x）0f（x）=2axg（x） （a0，a1）f（x）g （x）f （x）g（x）若+=5，则 a=15 （5 分）在 ABC中，已知 c=2，若 sin2A+sin2BsinAsinB=sin2C，则 a+b 的取值范围16 （5 分）如果直线 2axby+14=0（a0，b0）和函数 f（x）=mx+1+1（m0，m1）的图象恒过同一个定点， 且该定点始终落在圆 （xa+1）
7、2+ （y+b2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）设 Sn是数列的前 n 项和，已知 a1=3an+1=2Sn+3（nN*） （1）求数列 an 的通项公式；（2）令 bn=（2n1）an，求数列 bn 的前 n 项和 Tn18 （12 分）空气质量指数（ Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI大小分为六级，050 为优； 51100 为良； 101150 为轻度污染； 151200 为中度污染； 201250 为重度污染； 30
8、0 为严重污染一环保人士记录2017 年某地某月 10 天的 AQI的茎叶图如下（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI100）的天数； （按这个月总精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页共 30 天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（AQI100）的这些天，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率19 （12 分）如图，四边形 ABCD是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD 平面 CDEF ，BAD= CDA=90 ，AB=AD=DE= CD=2 ，M 是线段
9、AE上的动点（）试确定点 M 的位置，使 AC 平面 MDF，并说明理由；（）在（）的条件下，求平面MDF 将几何体 ADE BCF分成的两部分的体积之比20 （12 分）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A已知+=，其中 O为原点， e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴于点 H，若 BF HF，且 MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x）=2exax2（xR，aR） （1）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在 x=1处的切线方程
10、；（2）当 x0 时，若不等式 f（x）0 恒成立，求实数a 的取值范围 选修 4-4：坐标系与参数方程 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页22 （10 分）已知直线 l 的参数方程是（t 是参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 =2cos（ +） （1）求直线 l 的普通方程与圆 C的直角坐标方程；（2）设圆 C与直线 l 交于 A、B两点，若 P点的直角坐标为 （1，0） ，求| PA|+| PB |的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f
11、（x）=| 2x1| | 2x2| ，且 f（x）的最大值记为k（）求不等式 f（x）x 的解集；（）是否存在正数a、b，同时满足 a+2b=k，+=4？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页2016-2017 学年四川省成都外国语学校高三（下）3 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12 个小题，每题 5 分，共 60 分，请将答案涂在答题卷上）1 （5 分） （2017 春?金牛区校级月考）已知集合A=0，2，4，6 ，B= nN| 2n8 ，则集合 AB的子集个数为（）A8 B7
12、C 6 D4【分析】 先分别求出集合 A，B，从而求出集合AB，由此能求出集合AB 的子集个数【解答】 解：集合 A= 0，2，4，6 ，B=nN| 2n8 = 0，1，2 ，集合 AB= 0，2 ，集合 AB 的子集个数为 n=22=4故选： D【点评】本题考查交集的子集个数求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、子集定义的合理运用2 （5 分） （2014?桃城区校级模拟）已知复数，则（）Az 的实部为 1 Bz 的虚部为 iCz 的虚部为 1 Dz 的共轭复数为 1+i【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】 解：复数=1i，z的虚部为 1故选： C【点评】 本题考查
13、了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页3 （5 分） （2017?吉林二模）下列关于命题的说法错误的是（）A命题 “ 若 x23x+2=0，则 x=1” 的逆否命题为 “ 若 x1，则 x23x+20”B“a=2”是“ 函数 f（x）=logax 在区间（ 0，+）上为增函数 ” 的充分不必要条件C若命题 P：? nN，2n1000，则 P：? nN，2n1000D命题 “ ? x（， 0） ，2x3x” 是真命题【分析】选项 A 是写一个命题的逆否命题， 只要把原命题的结论否定
14、当条件，条件否定当结论即可；选项 B看由 a=2能否得到函数 f（x）=logax 在区间（ 0，+）上为增函数，反之又是否成立；选项 C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式【解答】 解：因为命题 “ 若 x23x+2=0，则 x=1” 的逆否命题为 “ 若 x1，则 x23x+20” ，所以 A 正确；由 a=2能得到函数 f（x）=logax 在区间（0，+）上为增函数，反之，函数f（x）=logax 在区间（ 0，+）上为增函数， a 不一定大于 2，所以 “a=2”是“ 函数 f（x）=logax 在区间（ 0，+）上为增函数 ” 的充分不必要条件，所以选项B正确；命题
15、P：? nN，2n1000，的否定为 P：? nN，2n1000，所以选项 C正确；因为当 x0 时恒有 2x3x，所以命题 “ ? x（， 0） ，2x3x” 为假命题，所以 D 不正确故选 D【点评】本题考查了特称命题的否定，特称命题的否定为全称命题，注意命题格式的书写，属基础题4 （5 分） （2017?湖北模拟）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“ 松竹并生” 的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
16、- - -第 8 页，共 27 页A2 B3 C 4 D5【分析】由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】 解：当 n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2时，a=，b=8 满足进行循环的条件，当 n=3时，a=，b=16 满足进行循环的条件，当 n=4时，a=，b=32 不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5 （5 分） （2017?吉林二模）函数 f（x）=+ln| x
17、| 的图象大致为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页ABCD【分析】 当 x0 时，函数 f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当 x0 时，函数 f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有 B正确，【解答】 解：当 x0 时，函数 f（x）=，由函数 y=、y=ln（x）递减知函数 f（x）=递减，排除 CD ；当 x0 时，函数 f（x）=，此时， f（1）=1，而选项 A 的最小值为 2，故可排除 A，只有 B正确，故选： B【点评】题考查函数的图象， 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分
18、类讨论的思维能力6（5 分）（2017?吉林二模）设 an 是公差不为零的等差数列， 满足，则该数列的前 10 项和等于（）A10 B5 C0 D5【分析】 设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页a1+a10=0，则可求得数列的前10 项和等于 0【解答】 解：设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d（d0） ，由，得，整理得： 2a1+9d=0，即 a1+a10=0，故选： C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算
19、题7 （5 分） （2017?河南一模）如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1的体积为 6，C1BC的正切值为，当 AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD A1B1C1D1外接球的表面积（）A10B12C 14D16【分析】 先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论【解答】 解：由题意设 AA1=x，AD=y，则 AB=3x ，长方体 ABCD A1B1C1D1的体积为 6，xy?3x=6 ，y=，长方体 ABCD A1B1C1D1的体积为 4x+3=6，当且仅当 2x=，即 x=1 时，取得最小值，长方体 ABCD A1B1C
20、1D1外接球的直径为=，长方体 ABCD A1B1C1D1外接球的表面积 =14 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页故选 C【点评】 本题考查长方体ABCD A1B1C1D1外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题8 （5 分） （2015?锦州一模）已知抛物线y2=8x的焦点 F到双曲线 C：=1（a0，b0）渐近线的距离为，点 P是抛物线 y2=8x上的一动点， P到双曲线 C的上焦点 F1（0，c）的距离与到直线 x=2 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）ABC D【分
21、析】 确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线 C的上焦点 F1（0，c）的距离与到直线 x=2的距离之和的最小值为3，可得 FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论【解答】解：抛物线 y2=8x的焦点 F （2，0） ，双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线的方程为axby=0，抛物线 y2=8x的焦点 F到双曲线 C：=1（a0，b0）渐近线的距离为，a=2b，P到双曲线 C的上焦点 F1（0，c）的距离与到直线 x=2 的距离之和的最小值为 3，FF1=3c2+4=9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
22、纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页c2=a2+b2，a=2b，a=2，b=1双曲线的方程为x2=1故选 C【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9 （5 分） （2017 春?金牛区校级月考）甲、乙两人相约周六上午8：00 到 8：30之间在公交车站乘车去新华书店，先到者若等了15 分钟还没有等到对方，则需发微信联系假设两人的出发时间是独立的，在8：00 到 8：30 之间到达车站的时间是等可能的，则两人不需要发微信联系就能见面的概率是（）ABC D【分析】 由题意知本题是一个几何概型，视30 分钟为一个单位
23、试验包含的所有事件是 = （x，y）| 0 x1，0y1 ，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A= （x，y）| 0 x1，0y1，| xy| ，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果【解答】解：视 30分钟为一个单位1设两人到达约会地点的时刻分别为x，y，依题意，必须满足 | xy| 才能相遇我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1 的正方形内， 面积为1，甲、乙两人的到达时刻（x，y）满足 | xy| ，面积为，所以两人不需要发微信联系就能见面的概率是1=故选 A【点评】本题是一个几何概型， 对于这样的问题，
24、 一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果10 （5 分） （2017 春?金牛区校级月考）已知函数y=2sin（x+ ） （0 2 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页的部分图象如图所示，点A（，0） ，B、C 是该图象与x 轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点 F（，0）是 f（x）的图象的最高点在x 轴上的射影，则的值是（）A22B2C2 D以上答案均不正确【分析】 根据函数 y=2sin（x+ ） （ 0）的部分图象，利用周期性求得 ，可得
25、C、B的坐标，再根据线段 EF关于点 B对称，利用两个向量的加减法及其几何意义求得要求式子的值【解答】 解：根据函数 y=2sin（x + ） （ 0）的部分图象可得?=（） ，解得 =2 ；2?（）+= ，=，函数 y=2sin（2x+） ，可得 C（，0） ，故 AC的中点为 B（，0） ；由题意可得线段 EF关于点 B对称，则（）?（）=（+）?（）=2?2=4| AB| ?| AC |=4? ?T精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页=2T2=2?=22故选： A【点评】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，两
26、个向量的加减法及其几何意义，是综合题11 （5 分） （2016?衡水模拟）已知定义在R内的函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） ，当 x 1，3 时，f（x）=，则当 t（，2 时，方程 7f（x）2x=0的不等实数根的个数是（）A3 B4 C 5 D6【分析】 题意可转化为函数y=f（x）与直线 y=x 的图象的交点的个数，从而解得【解答】 解： 7f（x）2x=0，f（x）=x，作函数 y=f（x）与直线 y=x 的图象如下，结合图象可知，函数 y=f（x）与直线 y=x 的图象有 5 个交点，故方程 7f（x）2x=0的不等实数根的个数是5，故选 C【点评】本题考查了方程的根与函
27、数的零点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题12 （5 分） （2017?河南一模）已知f （x）是定义在（ 0，+）上的函数 f（x）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页的导函数，若方程 f （x）=0无解，且? x（0，+） ，f f（x）log2016x =2017，设 a=f（20.5） ，b=f（log3） ，c=f（log43） ，则 a，b，c的大小关系是（）Abca Bacb Ccba Dabc【分析】根据 f （x） log2016x 是定值，设 t=f（x） log2016x， 得到
28、f （x）=t+log2016x，结合 f（x）是增函数判断a，b，c 的大小即可【解答】 解：方程 f （x）=0 无解，f （x）0 或 f （x）0 恒成立，f（x）是单调函数，由题意得 ? x（0，+） ，f f（x）log2016x =2017，又 f（x）是定义在（ 0，+）的单调函数，则 f（x）log2016x 是定值，设 t=f（x）log2016x，则 f（x）=t+log2016x，f（x）是增函数，又 0log43log3120.5abc，故选： D【点评】本题考查了函数的单调性、 对数函数的运算以及推理论证能力，是一道中档题二填空题（本大题4 个小题，每题 5 分，共
29、 20 分）13 （5 分） （2017 春?金牛区校级月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页【分析】由已知中的三视图， 可知该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，求出圆柱体积加三棱锥体积，可得该几何体的体积【解答】解：已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，圆柱的半径 r=2，高为 2，其体积为：三棱锥底面 S= 22=2，高为 2，其体积为：该几何体的体积V=故答案为【点评】本题考查了三视图的投影认识和理解能力空间想象思维的能力 属于基础题1
30、4 （5 分） （2017春?金牛区校级月考）已知f（x） ，g（x）都是定义在 R上的可导函数，并满足以下条件：g（x）0f（x）=2axg（x） （a0，a1）f（x）g （x）f （x）g（x）若+=5，则 a=2【分析】 根据题意，设 h（x）=，分析可得 h（x）=2ax，对其求导分析可得h （x）=0，可得h（x）=2ax为增函数，由+=5可得 2a+ =5，计算可得 a 的值，结合 a 的范围取舍即可得答案【解答】 解：根据题意，设 h（x）=，由 f（x）=2axg（x）可得 h（x）=2ax，则其导数 h （x）=，又由 f（x）g （x）f （x）g（x） ，精选学习资料
31、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页则 h （x）=0，即 h（x）=2ax为增函数，故 a1，若+=5，即 2a+=5，解可得 a=2或，又由 a1，则 a=2；故答案为： 2【点评】 本题考查导数的计算，注意“f（x）g （x）f （x）g（x）” 条件的运用15 （5 分） （2017 春?金牛区校级月考）在 ABC中，已知 c=2，若 sin2A+sin2BsinAsinB=sin2C ，则 a+b 的取值范围（2，4 【分析】sin2A+sin2BsinAsinB=sin2C ，由余弦定理可得： a2+b2ab=c2，
32、再利用余弦定理可得 C 由正弦定理可得：=， 解出 a， b 代入 a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出【解答】 解： sin2A+sin2BsinAsinB=sin2C，由余弦定理可得： a2+b2ab=c2，可得 cosC=，C（0， ） ，C=由正弦定理可得：=，a=sinA，b=sinB，B=A则 a+b=sinA+sinB=sinA+sin（A）=4sin，A，sin，a+b（2，4 故答案为：（2，4 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
33、总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页16 （5 分） （2016?佛山模拟）如果直线2axby+14=0（a0，b0）和函数 f（x）=mx+1+1（m0，m1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围 【分析】 求出函数恒过的定点，代入直线方程，及圆的方程，再换元，转化为t的不等式，即可求出的取值范围【解答】 解：函数 f（x）=mx+1+1 的图象恒过点（ 1，2） ，代入直线 2axby+14=0可得 2a2b+14=0，即 a+b=7定点始终落在圆（ xa+1）2+（y+b2）2=25 的内部或圆上，
34、a2+b225设=t，则 b=at，代入 a+b=7，a=代入 a2+b225 可得，12t225t+120，故答案为： 【点评】本题考查恒过定点问题， 考查学生分析解决问题的能力， 考查解不等式，属于中档题三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分） （2016 秋?孝感期末）设 Sn是数列的前 n 项和，已知 a1=3an+1=2Sn+3（nN*） （1）求数列 an 的通项公式；（2）令 bn=（2n1）an，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【分析】 （1）利用数列的递推关系式推出数列是等比数列，然后求解通项公式精选学习资料 -
35、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和，求解即可【解答】 解： （1）当 n2 时，由 an+1=2Sn+3，得 an=2Sn1+3， （1 分）两式相减，得 an+1an=2sn2sn1=2an，an+1=3an， （3 分）当 n=1时，a1=3，a2=2S1+3=9，则数列 an 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，（5 分）an=3n （6 分）（2）由（ 1）得 bn=（2n1）an=（2n1）3nTn=13+332+533+ +（2n1）3n，3Tn=132+333+534
36、+ +（2n1）3n+1，错位相减得： 2Tn=13+232+233+ +23n（2n1）3n+1， （9 分）=6（2n2）3n+1（11 分）（12 分）【点评】本题考查数列的递推关系式定义域，通项公式的求法， 数列求和的方法，考查计算能力18 （12 分） （2017 春?金牛区校级月考）空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI大小分为六级， 050为优； 51100 为良； 101150 为轻度污染； 151200 为中度污染； 201250为重度污染； 300 为严重污染一环保人士记录2017 年某地某月 10
37、天的 AQI的茎叶图如下（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI100）的天数； （按这个月总共 30 天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（AQI100）的这些天，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页【分析】 （1）利用茎叶图性质和等可能事件概率计算公式能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数（2）该样本中空气质量不佳共4 天，利用对立事件概率计算公式能求出该两天的空气质量等级恰好不同的概率【解答】 解：
38、 （1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为（2）该样本中空气质量不佳共4 天，所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用19 （12 分） （2015?新余二模）如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面 ABCD 平面 CDEF ，BAD= CDA=90 ，AB=AD=DE= CD=2 ，M 是线段 AE上的动点（）试确定点 M 的位置，使 AC 平面 MDF，并说明理由；（）
39、在（）的条件下，求平面MDF 将几何体 ADE BCF分成的两部分的体积之比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页【分析】 （）首先，根据所给图形，得到当M 是线段 AE的中点时， AC 平面MDF然后，根据线面平行的判定定理进行证明即可；（）利用补图法，将几何体ADE BCF补成三棱柱 ADE BCF，然后，借助于柱体和椎体的体积公式进行求解即可【解答】 解析： （）当 M 是线段 AE的中点时， AC平面 MDF证明如下：连结 CE ，交 DF于 N，连结 MN，由于 M、N 分别是 AE 、CE的中点，所以 M
40、NAC ，由于 MN? 平面 MDF，又 AC ?平面 MDF，所以 AC平面 MDF（）如图，将几何体ADE BCF补成三棱柱 ADE BCF，三棱柱 ADE BCF 的体积为，则几何体ADEBCF 的体积VADEBCF=V三棱柱ADEBCFVFBBC=三棱锥 FDEM的体积 V三棱锥MDEF=，故两部分的体积之比为（答 1：4，4，4：1 均可） 【点评】 本题综合考查了线面平行的判定定理、柱体和椎体的体积公式等知识，属于中档题， 在解题中， 如果求解不规则几何体的体积时，一般用割补法进行运算和求解，这就是转化思想在解题中的应用20 （12 分） （2016?天津）设椭圆+=1（a）的右焦
41、点为 F，右顶点为A已知+=，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴于点 H，若 BF HF，且 MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围【分析】 （1）由题意画出图形，把| OF | 、| OA| 、| FA| 代入+=，转化为关于 a 的方程，解方程求得a 值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x2） ， （k0）
42、 ，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程， 利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出 MH 所在直线方程，求出 H的坐标，由 BF HF，得，整理得到 M 的坐标与 k 的关系，由 MOAMAO，得到 x01，转化为关于 k的不等式求得 k 的范围【解答】 解： （1）由+=，得，即，a a2（a23） =3a（a23） ，解得 a=2椭圆方程为；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x2） ， （k0） ，设 B（x1，y1） ，M（x0，k（x02） ） ，MOAMAO，x01，再设 H（0，yH） ，联立，得（ 3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）
43、24（3+4k2） （16k212）=1440由根与系数的关系得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页，MH 所在直线方程为，令 x=0，得，BF HF，即 1x1+y1yH=，整理得：，即 8k23或【点评】本题考查椭圆方程的求法， 考查直线与椭圆位置关系的应用， 体现了 “ 整体运算 ” 思想方法和 “ 设而不求 ” 的解题思想方法，考查运算能力，是难题21 （12 分） （2016 春?秦皇岛校级期末）已知函数f（x）=2exax2（xR，aR ） （1）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在 x=1处的切线
44、方程；（2）当 x0 时，若不等式 f（x）0 恒成立，求实数a 的取值范围【分析】 （1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用点斜式即可得出切线方程（2）当 x0 时，若不等式 f（x）0 恒成立 ? f（x）min0f （x）=2exa对a 分类讨论：若 a0，利用单调性即可得出是否满足条件若a0，由 f （x）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页=0，解得 x=ln即可得出单调性，对分类讨论即可得出【解答】 解： （1）当 a=1 时，f（x）=2exx2，f （x）=2ex1，f （1）=2e1，即曲线
45、 y=f（x）在 x=1处的切线的斜率k=2e1，又 f（1）=2e3，故所求的切线方程是y=（2e1）x2（2）当 x0 时，若不等式 f（x）0 恒成立 ? f（x）min0易知 f （x）=2exa若 a0，则 f （x）0 恒成立， f（x）在 R上单调递增；又 f（0）=0，当 x 0，+）时， f（x）f（0）=0，符合题意若 a0，由 f （x）=0，解得 x=ln 则当时，f （x）0，f（x）单调递减；当时，f （x）0，f（x）单调递增x=时，函数 f（x）取得最小值当，即 0a2 时，当 x 0，+）时， f（x）f（0）=0，符合题意当，即 a2 时，当时，f（x）单调
46、递增， f（x）f（0）=0，不符合题意综上，实数 a 的取值范围是（， 2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分） （2016?衡水模拟）已知直线l 的参数方程是（t 是参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 =2 cos（ +） （1）求直线 l 的普通方程与圆 C的直角坐标方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
47、 25 页，共 27 页（2）设圆 C与直线 l 交于 A、B两点，若 P点的直角坐标为 （1，0） ，求| PA|+| PB |的值【分析】 （1）将参数方程两式相加消去参数t 得到直线 l 的普通方程，将极坐标方程展开两边同乘 ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求出距离【解答】 解： （1）直线 l 的参数方程是（t 是参数） ，x+y=1即直线 l 的普通方程为 x+y1=0=2 cos（ +）=2cos 2sin ，2=2cos2sin ，圆 C的直角坐标方程为x2+y2=2x2y，
48、即 x2+y22x+2y=0（2）将代入 x2+y22x+2y=0得 t2t1=0，t1+t2=，t1t2=1| PA |+| PB | =| t1t2| =【点评】本题考查了参数方程， 极坐标方程与普通方程的转化， 参数的几何意义，属于基础题 选修 4-5：不等式选讲 23 （2016?衡水模拟）已知函数f（x）=| 2x1| | 2x2| ，且 f（x）的最大值记为 k（）求不等式 f（x）x 的解集；（）是否存在正数a、b，同时满足 a+2b=k，+=4？请说明理由【分析】 （）通过讨论 x 的范围，求出不等式组的解集取并集即可； （）求出k=1，得到 a+2b=1，结合基本不等式的性质
49、判断即可【解答】 解： （）不等式 f（x）x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页即为| 2x1| | 2x2| x0，或或，解得： x1 或 x?或 x=1，综上，不等式的解集是 x| x1 或 x=1 ；（） f（x）=| 2x1| | 2x2| | 2x12x+2| =1，当且仅当 x1 时取“=”，故 k=1，假设存在符合条件的正数a，b，则 a+2b=1，+=+=2（+）=8+8+2=16，当且仅当 a= ，b=时取“=”号，+的最小值是 16，即+164，不存在正数 a、b，同时满足 a+2b=k，+=4同时成立【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质， 是一道中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页