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1、北京一六一中学2022届高三年级月考试题数学试卷一、选择题：共 10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.21在复平面内复 数 不对应的点与原点的距离是A.1 B.7 2C.2D.2 加2已知集合=用1%3 ,Q =X GRX2刘,则 pn 他Q)=()A.2,3 B.(-2,3 C.1,2)D.L2 2 22 23.日知0 v 8 仙 1 双曲纬C,=1与工=1 的()4s in2 0 c o s2 0c o s 0 s in 0A.实轴长相等 B.离心率相等c.焦点相同D.渐近线相同4.函数/（%）=而 2 左一；是（）A.周期为万的偶函数B.周
2、期为乃的奇函数C.周期为2%的偶函数D.周期为2%的奇函数5 .把函数y =2、的图象向右平移f个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y =、，贝 h 的值为A.B.lo g2 3 C.lo g3 2 D.也6 .已知x 0 B.x+0 D.c o s x+x 0 x7.设 ,是首项为正数的等比数列，公比为4,则“q 0”是“对任意的正整数,4,1+。2”b 0）的四个顶点恰好是边长为2,一内角为6 0。的菱形的四个顶点.口 L 求椭圆C的方程及其离心率;口 2口若“、8 为椭圆C上关于原点对称的两点，试问：在直线/：x+y-3 =0 上是否存在点P,使得4BP为等边三角形,若存在，求出点尸坐
3、标；若不存在，说明理由.20.已知函数/（x）=%1口1 口当a =l 时，求曲线/（力 在（O,7（O）处的切线方程；口 2 口求函数“X）的单调区间；口 3口当 0 时，写出方程/（力=左（攵eH）的解的个数.（只需写出结论）21.如图，设 Z是由 X”个实数组成的行列的数表，其 中 劭 /勺，2,3,）表示位于第i 行第/列的实数，且劭e 1,一 1.记 S（，）为 所 有 这 样 的 数 表 构 成 的 集 合.对 于n）,记力（/）为 4 的第n n，行各数之积，为/的第/列各数之积.令/（A）=；（A）+：/（A）i=l；=1aw。12C l n(1 2。22。2()请写出一个/e
4、S(4,4),使得(4)=0；an斯2()是否存在4eS(9,9),使得/是)=0?说明理由;()给定正整数，对于所有的NeS(，),求/(的取值集合.北京一六一中学2022届高三年级月考试题数学试卷一、选 择 题：共 10小 题，每 小 题 4 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.21.在复平面内，复 数 一 对 应的 点 与 原 点的 距 离 是1 +iA.1 B.72 C.2 D.2拉【1题答案】【答案】B【解析】【详解】币=而派与=.对应的点与原点的距离是-故选：B2.已知集合尸=x e R|l x 4),贝()A.2,3 B.(-2,3 C.1,2)
5、D.1,2【2 题答案】【答案】C【解析】【分析】先求解集合。中的不等式，结合集合的交集、补集运算，即得解【详解】由题意，2 =x e R|，N4=x|x N 2 或 x?2故金。=x-2 x 2 则 P n(a Q)=x|l 4x 2 =l,2)故选：C2 2 2 23.已知0=1与。2：T-1=1的()4s i n?。c o s?。c o s2 s i n?。A.实轴长相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.渐近线相同【3 题答案】【答案】D【解析】【分析】根据G，c2的方程，分别求出实轴长、离心率、焦点、渐近线方程，对四个选项一一验证.T T【详解】因为0。（生，所以s i n（9c o
6、 s e.4对于A：G的实轴长为2s i n。，C 2的实轴长为2 8 s 0故A错误；c 1 C 1对于B：G的离心率为一=，a的离心率为一=.故B错误；a s i n 0 a cos对于c：G的焦点在x轴上，G的焦点在v轴上故c错误；c o s 0对于D：G，的渐近线方程为了=土 上.故D正确.s i n。故选：D4,函数/（x）=s i n 2x-；是（）A.周期为）偶函数 B.周期为万的奇函数C.周期为2%的偶函数 D.周期为2乃的奇函数【4题答案】【答案】A【解析】【分析】利用降事公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.l-c o s 2x 1 1、【详解】f
7、（X）=-=c o s 2x,故/（x）的最小正周期为n，为偶函数.故选：A.5.把函数y =2的图象向右平移，个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y =、，贝丫的值为A.g B.l o g23 C.l o g,2 D.&【5题答案】【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到y =2 i,再由题中条件得到2=3,进而可得出结果.2X【详解】函数y =2,的图象向右平移，个单位长度，得：y =2 i=上，-2,所以，2=3,得：?=l o g23.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.6.已知x 0 B.x +-0 D.c
8、 o s x+x 0 x【6题答案】【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.2【详解】Qx 0,X+J _+2=+2X+1=(X+1)0 c o s x+x 0.可得：A B C成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设%是首项为正数的等比数列,公比为4,则“q 0”是“对 任 意 的 正 整 数 0”的A充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】
9、C【解析】详解试题分析：由题意得，4,1+0 2”0 O q (/“-2+q 2 T)(q+1)z l c j由 :%=1 ：3 ,可得7 =-=-=-.解得n =7一 C：n(n-l)n-31 3.设当x =9时，函数x)=J s i n x-3 co s x取得最大值，则co s 9=.【1 3题答案】【答案】立2【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数性质求出仇于是可求co s。【详解】/(x)=V 3(s i n x-V 3 C O S X)=2 括s i n -3),则/=2瓜电-1)=2后，驰e 2 =+2k兀=e=Z+2k 兀,kwZ.3 2 60 5万 G6
10、2故答案为：-巫.21 4.若a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的一组。，6的值.【1 4题答案】【答案】斫1,6=4.【解析】【分析】由a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列方程组，解出服6的值.【详解】可以取：a=,b=4.a,b,2这三个数经适当排序后可成等差数列，可排为 2,a,b D QD Q-2+b=2a.a,b,2这三个数经适当排序后可成等比数列，可排为a,2,6口 口 口 口 a8=(2.解得：a=,6=4.故答案为：a=,b=4.15.过 点PG,及 作 圆V+y 2=i两条切线，切点分别
11、为A,8,则 丽.丽=【15题答案】3【答案】-2【解析】【详 解】如 图，连 接P。，在 直 角 三 角 形PA O中，04=1,幺=百，所 以，tan/A P0=Y 3，3|PA|-|P COSAAPB=A 百x g =T三、解答题：共6小题，共85分.解答题写出文字说明.证明过程或演算步骤.16.若存在 N8C同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(1)求力的大小；(2)求cosB和的值.条件：sin C =：14条件：b a=1；条件：b c o s A -27条件：u=-c.【16 17题答案】【答案】（1）见解析;(2)见解析.【解析】【分
12、析】若选择:71(1)由正弦定理可得sin A的值，结合。一。=1,可求0 A c,可得0 C 一,利用同角三角函数基本关系式可求cos。的值，利用三角形内角2和定理，两角和的余弦公式可求c o s B,进而可求s in B,利用正弦定理即可求解。的值.若选择：57T(1)利用正弦定理可得sin A的值，由于。cos A=-一，可得范围一 A不，即可求解A的值；2 21T(2)由题意利用大边对大角可求0。a,B A,则/为锐角；根据条件可知cos/0,/为钝角；故和不能同时选择，故仅可选或.若选择：,:a=L c,sinC=迪，由正弦定理可得sinA=4*C =且，3 14 c 271 4：b
13、-a =,：.a b,可得0 A 一,可得A=一.2 3若选择：-：a=-c,sin C=.由正弦定理可得sin A=3型C=立，3 14 c 2,A 5 7 rA .2兀在AJBC 中，,*Z7cos A=,A c,0 C /l -c os2 B-，曲74G.由正弦定理可得丁 丁 _方,可得7b=8a,b aV ha 1,a-7 若选择：77t在A B C 中，Q=-C,：.a c f/.o C -=y=2-x,故M(x,0,2-x),2 2BM=(x-2,0,-x),C|=(L-1,-2),2B、M CE=BM GE=0 n x-2 +2x=0=x=,M 停o，g)为 网靠近A的三等分点.
14、19.已知椭圆C靛 十5(a b Q)的四个顶点恰好是边长为2一内角为60。的菱形的四个顶点.口 y 求椭圆c的方程及其离心率;口2口若4 8为椭圆C上关于原点对称的两点，试问：在直线/：x+y-3=0上是否存在点尸，使得Z8P为等边三角形，若存在，求出点尸坐标；若不存在，说明理由.19-20题答案】【答案】(1)旦;3 3(2)存在，尸为或(0,3).【解析】【分析】(1)由题意通过解直角三角形即可求得。、匕值，再根据a、6、c的关系求出c即可；(2)若N8P是等边三角形，则尸点为力8中垂线与/的交点，分 斜 率 为 零、斜率存在且不为零、斜率不存在三种情况讨论即可.【小 问1详解】椭圆C:
15、炉+工=l(a b 0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点,=2cos30=V3 b=2sin30=1 c y/2 椭圆C的方程为工+2=1,离心率e=*=Y 6.3a上 3【小问2详解】设 A&,%),则 8(-玉，-%),当直线A8的斜率为0时.，A3的垂直平分线就是轴，轴与直线/：x+y-3 =o的交点为P(0,3),又|A B|=2 G，PO=3,：.ZPAO=a),：./PAB是等边三角形，.此时P(0,3)；当直线A3的斜率存在且不为0时，设A8的方程为y =丘伏工0),由，2厂 2 一1T +-V=,得(3/+1)1=3,y=kx则|A O|=后:网+33
16、k +设A3的垂直平分线为丁=一,它与直线/：*+丁一3 =0的交点记为尸(x0,%),ky =-x+31y =xkx。解得%则|PO|%+9N 伏-1)22 4 8为等边三角形，应有归。|=6|4 9|，代人得到第=解得=0(舍)，k=-T,此时直线AB的方程为 =中垂线为、=，x+y 3 =0 (3 3、=P,一 .y =x(2 2；若4 8斜率不存在时，A.8为椭圆上、下顶点，坐标为(0,1)、(0,-1),4 8中垂线为x轴，/与x轴交点为P(3,0),|阳=2月|=屈，故形尸不是等边三角形，不满足题意.3 3 A综上，存在点P,尸 为5，彳 或(，3).1 2Z)or2 0.已 知
17、函 数=J.口1 口当a=l时，求曲线/(x)在(O J(O)处的切线方程；口2 口求函数/(x)的单调区间；口3口当a 0时，写出方程/(x)=Z(左wR)的解的个数.(只需写出结论)【2022题答案】【答案】(1)y=-2x-l(2)答案见解析(3)当人 0或女=aea+时，方程有一个解；当0 W4 aea+，方程有两个解【解析】【分析】(1)先求导，代入可得/(0)=-1,/(0)=2,利用直线方程的点斜式即得解；(2)求导，分。=0,。0,a 0讨论导函数正负即得解;(3)结合单调性，极值，边界情况得到函数简图，数形结合即得解【小 问1详解】当a=1时,/(x)=尸(x)=ex-)-e
18、x(尤-c (x 2)d)2e。又/(0)=力=-(0)=-2(J-1故曲线在(0 J(0)处的切线方程为y=-2 x 1【小问2详解】r)=/卬一(a+1)U-1)2若a r O,令/(x)=0,x=当a=0时，/(x)=3记O：.x ,故/(x)的单调递增区间为(也,+)；aa令/(x)0 x 1 或 1 x L 故/(X)的单调递减区间为(-0 0,1),(1,)a a当a 0 时，x=也 1a令 r (x)0 x 四，故/(X)的单调递增区间为(-0 0,)；aa令/(x)l或！x ()时，“X)的单调递增区间为(四,+0 0),单调递减区间为(8,1),(1，四)aa极小值,且 X
19、-8 时，/(%)-0,Xf+8 时，/(%)_+0 0；X .时，,Xf 1+时，/(%)-+C O故函数的简图如下图所示：故当 G(A)4(A)=G(A)-C 2(A)c”(A),注意到彳(A)G 1,-1 ,j(A)e in,j n),下面考虑虱A),下 A),/(A),G(A),C2(A),c“(A)中-1 的个数,由口知，上述2 个实数中，-1 的个数一定为偶数，该偶数记为2 依则 1 的个数为2 -2 人,所以/(A)=(1)x 2 左 +1 x (2 -2k)-2(-2k),对数表4：%=l(i,j =l,2,3,显然“A)=2.将数表4 中 的 由 由 1 变为-1，得到数表A 1,显然/(A)=2-4,将数表A中的。2 2 由 1 变为-1，得到数表4,显然(4)=2-8,依此类推，将数表4T中 的 由 I 变为-I,得到数表4,即数表4 满足：a”=4 2 =*=-1(1 4 女 )，其余他=1，所以4(4)=弓(4)=3=4(4)=-1,q(A)=C 2(A)j.=c*(A)=T,所以/(A)=2 (_ l)x Z +(Q =2 _ 4 Z,由人的任意性知，/(A)的取值集合为知(-2 旬 状=0,1,2,，疥.【点睛】本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.