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1、北京一六一中学2022届高三年级月考试题数学试卷一、选 择 题：共1 0小 题，每 小 题4分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.2I.在复平面内，复 数 一 对 应 的 点与 原 点 的距 离 是1 +iA.1 B.7 2 C.2 D.2yli【1题答案】【答案】B【解析】【详解】币=而亦与=.对应的点与原点的距离是-故选：B2 .已知集合尸=x e R|lx 4),贝()A.2,3 B.(-2,3 C.1,2)D.1,2【2题答案】【答案】C【解析】【分析】先求解集合。中的不等式，结合集合的交集、补集运算，即得解【详解】由题意，2 =x e R|，N4 =x|x
2、 N 2或x?2 故金。=x -2 x 2 则 Pn(a Q)=x|l4 x 2 =l,2)故选：C2 2 2 23 .已知o=i与。2：-A1=1的()4si n?。c o s2 c o s2 si n?。A.实轴长相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.渐近线相同【3题答案】【答案】D【解析】【分析】根据G，c2的方程，分别求出实轴长、离心率、焦点、渐近线方程，对四个选项一一验证.T T【详解】因为0。（生，所以si n（9 c o se.4对于A：G的实轴长为2 si n。，C2的实轴长为2 8 s 0故A错误；c 1 C 1对于氏G的离心率为一=，a的离心率为一=.故B错误；a si
3、n 0 a cos对于c：G的焦点在*轴上，G的焦点在y轴上故c错误；c o s 0对于D：G，的渐近线方程为y =上故D正确.si n。故选：D4 .函数/（x）=si n2 x-；是（）A.周期为）偶函数 B.周期为万的奇函数C.周期为2%的偶函数 D,周期为2乃的奇函数【4题答案】【答案】A【解析】【分析】利用降事公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.l-c o s2 x 1 1 、【详解】f（X）=-=c o s2 x,故Kx）的最小正周期为n，为偶函数.故选：A.5 .把函数y =2 的图象向右平移，个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y =、，贝丫的值为
4、A.g B.lo g23 C.lo g,2 D.&【5题答案】【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到y =2i,再由题中条件得到2=3,进而可得出结果.2X【详解】函数y =2,的图象向右平移，个单位长度，得：y =2i=上，-2,所以，2=3,得：?=lo g23.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.6.已知x 0 B.x +-0 D.c o sx+x 0 x【6题答案】【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.2【详解】Qx 0,X
5、+J_ +2 =+2X+1 =(X+1)0 c o sx+x 0.可得：A B C成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设%是首项为正数的等比数列,公比为4,则“q0”是“对 任 意 的 正 整 数 0”的A充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】C【解析】详解 试题分析：由题意得，4,1 +a 2“0=q (/-2 +q 2 T )()0 q 2(T)+1)zl r j c j由 ：%=1 ：3,可得7=-=-=-.解得”=
6、7一C：n(n-l)n-313.设当x=9时，函数x)=Jsin x-3 co sx取得最大值，则c os 9=.【13题答案】【答案】立2【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数性质求出仇于是可求cos。【详解】/(x)=V3(sinx-V 3COSX)=2 括sin -3),则/=2瓜电-1)=2后，则6 工=2+2上%=夕=2+2%肛攵%3 2 6.C S 8 S 包=-36 2故答案为：-也.214.若a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的一组a,的值.【14题答案】【答案】a=h b=4.【解析】【分析】由a,b,-
7、2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列方程组，解出、的值.【详解】可以取：a=,b=4.a,b,2这三个数经适当排序后可成等差数列，可排为 2,a,b,则有：一2+人=2”.a,b,2这三个数经适当排序后可成等比数列，可排为m 2,b,则有：aO=(-27.解 得:a=l,解4.故答案为：a=l,b=4.收 过 点;杼 作 圆/+产 句 两条切线，切点分别为A,8,则 丽.丽=.【15题答案】3【答案】-2【解析】【详 解】如 图，连 接P。，在 直 角 三 角 形PAO中，0 4 =1,幺=百，所 以，t a n/A P 0 =Y3，3|PA|-|P COSAAPB
8、=A 百x g =T三、解答题：共6小题，共8 5分.解答题写出文字说明.证明过程或演算步骤.1 6.若存在A A BC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(1)求A的大小；(2)求c o sB和。的值.条件：si n C =：1 4条件：b a=1 ；条件：b c o s A -27条件：u=-c.【1 6 7 7题答案】【答案】（1）见解析;(2)见解析.【解析】【分析】若选择:71(1)由正弦定理可得si n A的值，结合。一。=1,可求0 A c,可得0C 一,利用同角三角函数基本关系式可求c o s。的值，利用三角形内角2和定理，两角和的余
9、弦公式可求c o sB,进而可求si n B,利用正弦定理即可求解。的值.若选择：57T(1)利用正弦定理可得si n A的值，由于。c o s A =-一，可得范围一 A不，即可求解A的值；2 21T(2)由题意利用大边对大角可求0。A,则A为锐角；根据条件可知co sA V O,A为钝角；故和不能同时选择，故仅可选或.若选择：,:a=Lc,sin C =迪，由正弦定理可得sin A =4*C=且，3 14 c 271 4：b-a=,：.a b,可得0 A 一,可得A =一.2 3若选择：-：a=-c,sin C =.由正弦定理可得sin A =3型C=立，3 14 c 2,A 5 7r A
10、.2兀在AJBC 中，,*Z 7 co s A=,A c,0C/l-co s2 B-，曲74 G.由正弦定理可得丁 丁 _方,可得7b=8a,b aV ha 1,a-7 若选择：77t在A B C 中，Q=-C,：.a c f/.o C -=y=2-x,故M(x,0,2-x),2 2BM=(x-2,0,-x),C|=(L-1,-2),2B、M CE=BM GE=0 n x-2 +2x=0=x=,M停o，g）为 网靠近A的三等分点.19.已知椭圆C靛 十5（abQ）的四个顶点恰好是边长为2,一内角为60。的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C的方程及其离心率;（2）若A、B为椭圆C上关于原点对称的两点
11、，试问：在直线/：1+丁-3=0上是否存在点已 使得ABP为等边三角形，若存在，求出点尸坐标；若不存在，说明理由.【1920题答案】【答案】（1）+/=1,逅;3 3（2）存在，P为（I B）或（0,3）.【解析】【分析】（1）由题意通过解直角三角形即可求得。、匕值，再根据。、仇c的关系求出c即可；（2）若ABP是等边三角形，则P点为AB中垂线与/的交点，分AB斜率为零、斜率存在且不为零、斜率不存在三种情况讨论即可.【小 问1详解】椭圆C:炉+工=l（a b 0）的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点,=2cos30=V3 b=2sin30=1 c y/2 椭圆C的方程为工+
12、2=1,离心率e=*=Y 6.3a上 3【小问2详解】设 A&,%),则 8(-玉，-%),当直线A8的斜率为0时.，A3的垂直平分线就是轴，轴与直线/：x+y-3 =o的交点为P(0,3),又|A B|=2G，PO=3,：.Z P A O =a),：./PAB是等边三角形，.此时P(0,3)；当直线A3的斜率存在且不为0时，设A8的方程为y=丘伏工0),由，2厂 2 一1T+-V=,得(3/+1)1=3,y=kx则|A O|=后:网+33k+设A3的垂直平分线为丁=一,它与直线/：*+丁一3 =0的交点记为尸(x0,%),ky=-x+31y=xkx。解得%则|P O|%+9N 伏-1)224
13、 8为等边三角形，应有归。|=6|4 9|，代人得到第=解得=(舍)，k=-T,此时直线A8的方程为 =%，4 8中垂线为夕=羽x+y 3 =0(3 3、y=x=P(2 2；.若4 8斜率不存在时，4、8为椭圆上、下顶点，坐标为(0,1)、(0,-1),A B中垂线为x轴，/与x轴交点为P(3,0),|阳=2 9|=屈，故 尸 不 是 等 边 三 角 形，不满足题意.0 时，写出方程/（力=4（左/?）的解的个数.（只需写出结论）【2022题答案】【答案】（1）y=-2x-l（2）答案见解析（3）当人 0 或女=aea+时，方程有一个解；当0 W4 aea+，方程有两个解【解析】【分析】（1）
14、先求导，代入可得/（0）=-1,/（0）=2,利用直线方程的点斜式即得解；（2）求导，分。=0,。0,a0 讨论导函数正负即得解;（3）结合单调性，极值，边界情况得到函数简图，数形结合即得解【小 问 1 详解】当a =1 时,/(x)=尸(x)=ex-)-ex(尤-c (x 2)d)2e。又/（0）=力=-（0）=-2（J-1故曲线在（0 J（0）处的切线方程为y=-2x1【小问2 详解】r)=/卬一(a +1)U-1)2若 ar O,令/(x)=O,x=当a =0 时，/（x）=3记 0时;工=土 1a令f(x O：.x ,故/(x)的单调递增区间为(也,+)；aa令/(x)0 x 1 或
15、1 x L 故/(X)的单调递减区间为(-00,1),(1,)a a当a 0 时，x=也 1a令 r (x)0 x 四，故/(X)的单调递增区间为(-00,)；aa令/(x)l或！x ()时，“X)的单调递增区间为(四,+00),单调递减区间为(8,1),(1，四)aa极小值,且 X -8 时，/(%)-0,Xf+8 时，/(%)_ +00；X .时，,Xf 1+时，/(%)-+C O故函数的简图如下图所示：故当 G(A)4(A)=G(A)C2(A)c”(A),注意到彳(A)G 1,-1,j(A)e in,j n),下面考虑虱 A),下 A),rn(A),c,(A),c2(A),c,(A)中-
16、1 的个数，由知，上述2 个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2%(0 左 ),贝 i j 1 的个数为2 -2 鼠所以/(A)=(1)x 2 左 +1 x (2 -2k)-2(-2k),对数表4：%=l(i,j =l,2,3,显然/(4)=2.将数表4 中 的 由 由 1变为-I，得到数表A 1,显然/(A)=2-4,将数表4中的。2 2 由 1 变为-1，得到数表4,显然(4)=2-8,依此类推，将数表4T中 的 由 I 变为-I,得到数表4,即数表4 满足：=。2 2 =*=-1(14女 /)，其余因=1，所以4(4)=弓(4)=3=4(4)=-1,CI(A)=C2(A)=.=CA(A)=-1 ,所以/(A)=2(_l)x Z+(Q =2 _4 Z,由的任意性知,/(A)的取值集合为 2(-2 k)|攵=0,1,2,.,.【点睛】本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.