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1、苏州市 2001-2012年中考数学试题分类解析汇编专题 11：圆一、选择题1. （2001 江苏苏州3 分）如图，已知 AOB=30 ，P 为边 OA 上一点，且OP=5 cm，若以 P为圆心， r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为【】A5cmB5 32cmC52cmD5 33cm【答案】 C。【考点】 直线与圆的位置关系，含30 度角直角三角形的性质。【分析】 作 PDOB 于 D，在直角三角形POD 中， AOB=30 ，P 为边 OA 上一点，且OP=5 cm，PD=52（ cm）。根据直线和圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，r=52cm。故选 C。2. （2001 江苏苏州
2、3 分） 如图，在 ABC 中， C=90 ， AB=10，AC=8，以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P，则 BP 的长为【】A6.4 B 3.2 C3.6 D8 【答案】 C。【考点】 圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 连接 PC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页AC 是直径，APC=90 。在 ABC 中， C=90 ，AB=10，AC=8， APC=ACB=90 。 A=A， APC ACB。PAACACAB，即PA8810。PA=6.4。 PB=ABPA=106.4=3.6。故选 C。3.（
3、江苏省苏州市2002 年 3 分）如图， O 的弦 AB=8cm，弦 CD 平分 AB 于点 E。若 CE=2 cm，则 ED 长为【】A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm【答案】 A。【考点】 相交弦定理【分析】 根据相交弦定理求解：根据相交弦定理， 得 AE?BE=CE?ED， 即 ED=4482（cm） 。故选 A。4. （江苏省苏州市2002 年 3 分） 如图，四边形 ABCD 内接于 O， 若 BOD=1600， 则 BCD=【】A. 160B. 100C. 80D. 20【答案】 B。【考点】 圆内接四边形的性质，圆周角定理。【分析】 根据同弧所对的圆周角与圆心角的关
4、系，易求得圆周角BAD 的度数；由于圆内接四边形的内对角互补，则BAD+BCD=180 ，由此得解：四边形 ABCD 内接于 O， BAD+BCD=180 。又 BAD=12 BOD=80 ， BCD=180 BAD=100 。故选 B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页5.（江苏省苏州市2002 年 3分） 如图， O 的内接 ABC 的外角 ACE 的平分线交 O 于点 D。DF AC，垂足为F，DEBC，垂足为E。给出下列 4 个结论：CE=CF， ACB=EDF ， DE 是 O 的切线，AD=BD。其中一
5、定成立的是【】A. B. C. D. 【答案】 D。【考点】 角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平角定义，四边形内角和定理，切线的判定，圆周角定理。【分析】 CD 是 ACE 的平分线，DCE=DCF 。DF AC，DEBC， DEC=DFC =900。又 DC=DC， CDE CDF（ AAS）。 CE=CF。正确。 根 据 四 边 形 内 角 和 定 理 ACE EDF DEC DFC =3800和DEC = DFC=900， ACE+EDF =180 。又 ACB+ACE=180 ， ACB=EDF 。正确。如图，连接OD、OC，则 ODC=OCD。 ODE=OCD CDE=OCD
6、900 DCE=DCA OCF900 DCE=900 OCF900。DE 不是 O 的切线。错误。【只有当 OCF=0，即 AC 是圆的直径时，DE 才是 O 的切线。同样可证，当圆心 O 在 ABC 内时， ODE =900 OCF900，DE 也不是 O 的切线。】如图，连接AD，BD。根据圆内接四边形的外角等于内对角得DCE=DAB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页又 DCE= DCF， DCA=DBA， DAB=DBA 900。AD=BD。综上所述，正确。故选D。6. （江苏省苏州市2003 年 3 分）
7、 如图， 四边形 ABCD 内接于 O， 若它的一个外角DCE=700，则BOD =【】A. 350 B. 700 C. 1100D. 1400【答案】 D。【考点】 圆内接四边形的性质，圆周角定理。【分析】 根据圆的内接四边形外角等于内对角求出A= DCE=70 ，再根据同弧所对圆心角等于圆周角一半的圆周角定理，可求BOD=2 A=140 。故选 D。7. （江苏省苏州市2004 年 3 分） 如图，AB 是的直径， 弦 CD 垂直平分OB， 则BDC = 【】。 15。20。 30。45【答案】【考点】 圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】 连接 OC，BC，
8、弦 CD 垂直平分OB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得OC=BC。又 OC=OB， OCB 是等边三角形。 COB=60 。根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得D=30 。故选 C。8.（江苏省苏州市2008 年 3 分） 如图 AB 为 O 的直径， AC 交 O 于 E 点， BC 交 O 于D 点， CD=BD， C=70 现给出以下四个结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页 A=45 ；AC=AB：AEBE；CE AB=2BD2其中正确结论的序号是【】ABCD9. （201
9、2 江苏苏州3分） 一组数据2，4，5，5，6 的众数是【】A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 C。【考点】 众数。【分析】 众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是5，故这组数据的众数为5。故选 C。4. （2012 江苏苏州3 分） 如图，一个正六边形转盘被分成6 个全等三角形，任意转动这个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页转盘 1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是【】A. 12B. 13C. 14D. 16【答案】 B。【考点】 几何概率。【分析】 确定阴影部
10、分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率：转动转盘被均匀分成6 部分，阴影部分占2 份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是21=63。故选 B。二、填空题1. （2001 江苏苏州2 分）已知两圆的半径分别为12 和 7，若两圆外离，则两圆圆心距d 的范围是 。【答案】 d19。【考点】 两圆的位置关系。【分析】 根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因
11、此，若两圆外离，则两圆圆心距d127=19。2. （2001 江苏苏州2 分） 弯制管道时，先按中心线计算其“ 展直长度 ” ，再下料根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 mm（单位： mm，精确到1mm）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页【答案】 389mm。【考点】 弧长的计算。【分析】 管道的展直长度实际上就是弧长，所以利用弧长公式即可求出：管道的展直长度为100120180389180（mm）。3. （江苏省苏州市2002 年 2 分） 底面半径为2cm， 高为 3cm 的圆柱的体积为 cm3（结果保
12、留）【答案】 12 。【考点】 圆柱的计算。【分析】 根据圆柱的体积=底面积 高，得：圆柱的体积= 22 3=123cm。4. （江苏省苏州市2005 年 3 分）如图， 直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B 点坐标为)4, 4(，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 。【答案】 （2，0）。【考点】 定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理。【分析】 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心。则圆心是（2，0），如图所示：5. （江苏省苏州市2007 年 3 分） 如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120 ，则扇形的面积为 cm2 精
13、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页（结果保留）【答案】3。【考点】 扇形面积的计算。【分析】 把相应数值代入2n rS360求值即可：21203S=3360。6. （江苏省 2009 年 3 分）如图， AB 是 O 的直径， 弦 CDAB若 ABD=65 ，则 ADC= 【答案】 25 。【考点】 圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】 CDAB， ADC=BAD。又 AB 是 O 的直径，ADB=90 。又 ABD=65 ， ADC=BAD =90 ABD=25 。7. （江苏省2009 年
14、3 分） 已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心， 1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留）【答案】2。【考点】 正六边形的性质，扇形弧长公式。【分析】 如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC 中，半径AB=1，圆心角BAC=600，弧长6011CmB1803。由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长CmB的 6 倍，即2。8.（江苏省苏州市2010 年 3 分） 如图，在4 4 的方格纸中 (共有 16 个小方格 )，每个小方格都是边长为1 的正方形O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于精选学
15、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页 (结果保留根号及)【答案】2。【考点】 扇形的弧长公式。【分析】 由图形可知90AOB，扇形的半径2 2AO，根据扇形的弧长公式可计算出弧长为：902 2=2180。9. （江苏省苏州市2011 年 3 分） 如图，已知AB 是 O 的一条直径，延长AB 至 C 点，使得 AC 3BC，CD 与 O 相切，切点为D若 CD3，则线段BC 的长度等于 【答案】 1。【考点】 圆的切线性质，勾股定理。【分析】 连接 OD, 则由圆的切线性质得ODCD，由 AC3BC 有 OC2BC2OB。
16、RtCDO 中, 根据勾股定理有222222OCODCD2BCBC3BC1。10. （ 2012 江苏苏州3 分） 已知扇形的圆心角为45 ，弧长等于2，则该扇形的半径是 . 【答案】 2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页【考点】 弧长的计算。【分析】 根据弧长的公式n rl180，得180180l2r=2n45，即该扇形的半径为2。三、解答题1. （2001 江苏苏州6 分） 如图，已知AB 是半圆 O 的直径， AP 为过点 A 的半圆的切线。在AB上任取一点C（点 C 与 A、B 不重合），过点C 作半圆的
17、切线CD 交 AP 于点 D；过点 C 作 CEAB，垂足为 E连接 BD，交 CE 于点 F。（1）当点 C 为AB的中点时（如图1），求证： CF=EF；（2）当点 C 不是AB的中点时（如图2），试判断CF 与 EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。【答案】 解：（ 1）证明： DA 是切线， AB 为直径， DAAB。点 C 是AB的中点，且CE AB，点 E 为半圆的圆心。又 DC 是切线， DCEC。又 CEAB，四边形DAEC 是矩形。CDAO， CD=AD。EFBE1=ADAB2，即 EF=12AD=12EC。F 为 EC 的中点， CF=EF。（2）CF =EF 保持
18、不变。证明如下：如图，连接BC，并延长 BC 交 AP 于 G 点，连接AC，AD、DC 是半圆 O 的切线， DC=DA。 DAC=DCA 。AB 是直径， ACB=90 。 ACG=90 。 DGC+ DAC= DCA+DCG=90 。 DGC= DCG。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页在 GDC 中， GD=DC。DC=DA， GD=DA。AP 是半圆 O 的切线， APAB。又 CEAB， CEAP。 BCF BGD， BEF BAD。CFBFEFGDBDAD。GD=AD， CF =EF。【考点】 探究
19、型， 圆的综合题， 切线的性质， 矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由题意得DAAB，点 E 为半圆的圆心，DCEC，可得四边形DAEC 是矩形，即可得出EFBEADAB，即可得EF 与 EC 的关系，可知CF=EF。（2）连接 BC，并延长BC 交 AP 于 G 点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，DAC = DCA，由角度代换关系可得出DGC = DCG，即可得 GD=DC=DA，由已知可得CEAP，所以CFBEEFGDABAD，即可知CF=EF。2. （江苏省苏州市2002 年 7 分） 已知：O1与O2外切于点P，
20、 过点P的直线分别交O1、O2于点B、A，O1的切线BN交O2于点M、N，AC为O2的弦，（1）如图（ 1），设弦AC交BN于点D，求证：AP ABAC AD；（2）如图（ 2），当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BBN于点D时，试问：AP ABAC AD是否仍然成立？证明你的结论。【答案】 解：（ 1）证明：连结PC，过点P作1O与2O的公切线EF。APFC。又BN是1O的切线，MBPEPB。又EPBAPF，MBPC。又AA，APCADB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页APACADAB，即AP ABA
21、C AD。（2）仍成立。证明如下：连结PC，过点P作1O和2O的公切线EF。BN是1O的切线，MBMP。MBPEPB。ABDAPE。又ACPAPE，ABDACP。又AA，APCADB。APACADAB，即AP ABAC AD。【考点】 相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（ 1）连结PC，过点P作1O与2O的公切线EF。根据弦切角定理可得APFC，由BN也是1O的切线，根据切线长定理可得MBMP，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到MBPEPB，由对顶角相等的性质，得到MBPC。又AA，从而APCADB，根据相似三角形
22、的性质即可证明。（2）同（ 1）可以证明。3. （江苏省苏州市2003 年 7 分） 如图，已知AB 是 O 的直径， BC 切 O 于点 B， AC 交O 于点 D，AC10，BC6，求 AB 和 CD 的长。【答案】 解： AB 是 O 直径， BC 是 O 的切线， BCAB。在 RtABC 中，2222ABACBC1068。CA 是 O 的割线， CD?CA=BC2。CD 10=62， CD=3.6。【考点】 切线的性质，切割线定理，勾股定理。【分析】 由 AB 是 O 直径， BC 是 O 的切线可以得到BCAB，利用勾股定理在RtABC精选学习资料 - - - - - - - -
23、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页中可以求出AB 的长，又由 CA 是 O 的割线看得到BC2=CD?CA，根据这个等式可即可求出CD。【没有学习切割线定理的，可连接 BC，根据直径所对圆周角是直角的圆周角定理知ADB =900，从而根据 BCD ACB 得对应边成比例而求出CD。】4. （江苏省苏州市2003 年 7 分） 如图 1， O 的直径为 AB， 过半径 OA 的中点 G 作弦 CEAB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线 AB 于点 F、 M。（1）求 COA 和 FDM 的度数；（2）求证： FDM COM；（3）如图 2，若将垂
24、足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线 AB 于点 F、M。试判断：此时是否仍有FDM COM ？证明你的结论。【答案】 解：（ 1） AB 为直径， CEAB，ACAE，CG=EG。在 RtCOG 中， OG=12OC， OCG=30 。 COA=60 。又 CDE 的度数 =1CAE2的度数 = AC的度数 =COA 的度数 =60 ， FDM =180 CDE=120 。（2）证明： COM =180 COA=120 ， COM =FDM 。在 RtCGM 和 RtEGM 中，GMGMCGEG， RtCGM RtEGM （HL） 。 GMC=
25、GME。又 DMF =GME， GMC =DMF 。 FDM COM 。（3）结论仍成立。证明如下： EDC 的度数 =1CAE2的度数 =AC的度数 = COA 的度数， FDM =180 COA=COM 。AB 为直径， CE AB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页在 RtCGM 和 RtEGM 中，GMGMCGEGRtCGMRt EGM （HL） 。 GMC=GME。 FDM COM。【考点】 圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形
26、全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。【分析】 （1）由于 CGOA，根据垂径定理可得出，ACAE，那么根据圆周角定理可得出 CDE=COA，在 Rt COG 中，可根据OG 是半径的一半得出AOC 是 60 ，那么就能得出 FDM =180 CDE =120 。（2）在（ 1）中根据垂径定理得出OA 是 CE 的垂直平分线，那么CMG 和 BMG就应该全等，可得出CMA=EMG ，也就可得出CMO =FMD ，在（ 1）中已经证得AOC= EDC=60 ，那么 COM=MDF ，因此两三角形相似。（3）可按（ 2）的方法得出DMF =CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理
27、来求，根据垂径定理我们可得出ACAE，那么 AOC=EDC，根据等角的余角相等即可得出COM=FDM ，由此可证出两三角形相似。5. （江苏省苏州市2004 年 6 分） 如图， O2与 O1的弦 BC 切于 C 点，两圆的另一个交点为 D，动点 A 在 O1，直线 AD 与 O2交于点 E，与直线 BC 交于点F 。（1）如图 1，当 A 在弧 CD 上时，求证： FDC FCE； ABEC ；（2）如图 2，当 A 在弧 BD 上时，是否仍有ABEC？请证明你的结论。【答案】 解：（ 1）证明： BC 为 O2 的切线，D= FCE。又 F=F， FDC FCE。在 O1中， B=D， D
28、=FCE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页 FCE=B。 ABEC。（2）仍有 AB EC。证明如下：四边形 ABCD 是 O1的内接四边形，FBA= FDC。BC 为 O2的切线，FCE=FDC 。 FCE=FBA。 AB EC。【考点】 弦切角定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，平行线的判定。【分析】 （1）在 FDC 与 FCE 中，由弦切角定理得：D=FCE，已知公共角F，由此可判定两三角形相似。根据平行线的判定，只需证明FCE= B；中证得D=FCE，而 O1中，根据圆周角定理，可
29、得D=B，将等角代换可得出B=FCE，由此得证。（2）根据平行线的判定，只需证明FCE=FBA，思路同（ 1），根据圆内接四边形的性质，得FBA=FDC ；由弦切角定理，得FCE=FDC ，将等角代换后可证得所求的结论。6. （江苏省苏州市2005 年 6 分） 如图， AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， D 是 O 上的一点，且ADCO。（1）求证： ADB OBC；（2）若 AB=2，BC=2，求 AD 的长。（结果保留根号）【答案】 解：（ 1） ADOC， A=COB。又 AB是 直 径 ， BC是 O的 切 线 ， D=OBC=90。 ADB OBC。（2）在 RtOBC
30、 中， OB=12AB=1，BC=2， OC=2221 = 3 ADB OBC，ADABOBOC，即AD213。2AD=33。【考点】 相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页【分析】 （1） 根据平行线的性质得A=COB， 根据直径所对的圆周角是直角得D=OBC，就可以判定 ADB OBC。（2）根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC 的长。7. （江苏省苏州市2006 年 7 分） 如图， ABC 内接于 O，且 ABC C，点 D 在弧BC 上运动过点
31、D 作 DEBCDE 交直线 AB 于点 E，连结 BD(1)求证： ADB=E；(2)求证： AD2=AC AE；(3)当点 D 运动到什么位置时，DBE ADE 请你利用图进行探索和证明【答案】 解：（ 1）证明： DEBC， ABC=E。 ADB， C 都是 AB 所对的圆周角，ADB=C。又 ABC=C， ADB=E。（2）证明： ADB=E，BAD=DAE， ADB AED。ADAEABAD，即 AD2=AB?AE。又 ABC=C， AB=AC， AD2=AC?AE。（3）点 D 运动到弧BC 中点时， DBE ADE。证明如下：DEBC， EDB=DBC。 DBC 所对的是弧DC，
32、 EAD 所对的是弧DB，且DC=DB， DBC=EAD。 EDB=EAD。又 DEB=AED， DBE ADE。【考点】 圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 DEBC，可得 ABC=E；由 ADB， C 都是 AB 所对的圆周角，得ADB =C；又 ABC= C，因此 ADB=E。（ 2 ） 由 ABC=C得AB=AC ； 由 ADB AED得ADAEABAD； 即AD2=AB?AE=AC?AE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页（3）点 D 运动到弧BC 中
33、点时， DBE ADE 。由DC=DB，得 BAD=DBC；由 DEBC，得 EDB =DBC；又 BDE=BAD，因此 DBE ADE。8. （江苏省苏州市2007 年 8 分） 如图， BC 是 O 的直径，点A 在圆上，且AB=AC=4P为 AB 上一点，过 P 作 PEAB 分别 BC、OA 于 E、F(1)设 AP=1，求 OEF 的面积(2)设 AP=a (0a2)， APF、 OEF 的面积分别记为S1、S2。若 S1=S2，求 a 的值；若 S= S1+S2，是否存在一个实数a，使 S153?若存在，求出一个a 的值；若不存在，说明理由【答案】 解： (1)BC 是 O 的直径
34、，BAC=90 。又 AB=AC， B=C=45 。OABC， B=1=45 。 PE AB， 2=1=45 。 4=3=45 。则 APF、 OEF 与 OAB 均为等腰直角三角形。AP=l， AB=4， AF=2,OA=22。 OE=OF=2。 OEF 的面积为1OE OF12。(2) PF=AP=a AF=2aOE=OF=2 2一2a。211Sa2，221SOE OF(2a)2S1=S2，221a(2a)2，解得a42 2。0a2，a42 2。不存在。理由如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页222212
35、13344S SSa(2a)a4a4(a)22233，当4a3时， S取得最小值为43。15433，不存在这样实数a，使 S153。【考点】 圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次函数的最值。【分析】 (1)根据已知条件，证出APF、 OEF 与 OAB 均为等腰直角三角形即易求出 OEF 的面积。（2）由 S1=S2列出方程，解之即可。求出 S关于a的函数关系式， 由二次函数的最值求出S的最小值， 与153比较即可。9. （江苏省苏州市2008 年 9 分） )如图，在 ABC 中， BAC=90 ，BM 平分 ABC 交 AC于 M，以 A为圆心， AM 为
36、半径作OA 交 BM 于 N，AN 的延长线交BC 于 D，直线 AB 交 OA 于 P、K 两点作 MTBC于 T(1)求证 AK=MT；(2)求证： ADBC；(3)当 AK=BD 时，求证：BNACBPBM【答案】 证明：（ 1） BAC=90 ，BM 平分 ABC 交 AC 于 M，MTBC， AM=MT。又 AM=AK， AK=MT。（2） BM 平分 ABC 交 AC 于 M， ABM=CBM。又 AM=AN， AMN=ANM。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页又 ANM=BND， AMN=BND 。
37、 BAC=900， ABM AMB=900。 CBM BND=900。 BDN=900。 ADBC。（3） BNM 和 BPK 是 A 的割线， BN BM=BP BK。即BNBKBPBM。AK=BD， AK=MT， BD=MT。ADBC，MTBC， ADB=MTC=900。 C CMT=900。 BAC=900， C ABC=900。 ABM=CMT。在 ABD和 CMT中 ， ABMCMTBDMTADBMTC， ABD CMT（ASA）。AB=MC。AK=AM， ABAK=MCAM，即 BK=AC。BNACBPBM。【考点】 角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质
38、，垂直的判定，割线长定理，全等三角形的判定和性质。【分析】 （1）根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，有AM=MT，从而由圆的半径相等结论。（2）由已知，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到CBM BND=900的结论，从而根据三角形内角和定理得到BDN=900，即 ADBC。（ 3）根据割线长定理，有BNBKBPBM，故只要证得BK=AC 即可证得结论。由ABD CMT 可得 AB=MC， 由圆半径相等得AK=AM， 从而 ABAK=MCAM， 即 BK=AC。10. （江苏省苏州市2011 年 8 分） 如图，已知AB 是 O 的弦， OB2， B30 ，C是弦
39、 AB 上的任意一点（不与点A、B 重合），连接CO 并延长 CO 交于 O 于点 D，连接 AD(1)弦长 AB 等于 （结果保留根号）；(2)当 D20 时，求 BOD 的度数；(3)当 AC 的长度为多少时，以A、C、D 为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页【答案】 解: (1) 23。（2） BOD 是 BOC 的外角， BCO 是 ACD 的外角， BOD B BCO， BCO AD。 BOD BA D。又 BOD 和 A 分别是弧 BD 所
40、对的圆心角和圆周角， BOD2A。又 B30 ， D20 ， 2 A A30 20 ，即 A50 。 BOD2A100 。（3） BCO AD， BCO A， BCO D。要使 DAC BOC，只能 DCA BCO90 。此时 BOC60 ， BOD120 ， DAC60 。 DAC BOC。 BCO90 ，即 OCAB， AC12AB3。当 AC3时，以 A、C、D 为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似。【考点】 弦径定理 , 直角三角函数 , 圆周角定理 , 三角形外角定理，相似三角形的判定。【分析】 (1) 由 OB2， B30 知01ABOBcos B2 cos303AB2
41、32。(2) 由 BOD 是圆心角 , 它是圆周角A 的两倍 , 而ABD得求。(3) 要求 AC 的长度为多少时，DAC BOC，只能 DCA BCO90 ，据此可求。11. （2012 江苏苏州8 分） 如图，已知半径为2 的 O 与直线 l 相切于点A，点 P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为C，PC 与 O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为x 2x4. 当5x=2时，求弦PA、 PB 的长度；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页当 x 为何值时，PD PC的值最
42、大？最大值是多少？lPDCBOA【答案】 解：（ 1） O 与直线 l 相切于点A，AB 为 O 的直径， ABl。又 PCl， ABPC. CPA=PAB。AB 为 O 的直径，APB=90 。 PCA=APB. PCA APB。PCPAAPAB，即 PA2=PC PD。PC=5x=2，AB=4，5PA4102。在 RtAPB 中，由勾股定理得：PB16106。（2）过 O 作 OEPD，垂足为E。PD 是 O 的弦， OF PD， PF=FD 。在矩形 OECA 中， CE=OA=2， PE=ED=x2。CD=PCPD= x2（x 2）=4 x 。2PD PC=2 x24x =2x +12
43、x162=2 x3+2。2x4当x=3时，PD PC有最大值，最大值是2。【考点】 切线的性质， 平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理， 垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】 （1）由直线 l 与圆相切于点A，且 AB 为圆的直径，根据切线的性质得到AB 垂直于直线 l，又 PC 垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB 与 PC 平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA 与 PAB 相似，由相似得比例，将PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长，在RtAPB 中，由 AB
44、 及 PA 的长，利用勾股定理即可求出PB 的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页（2）过 O 作 OE 垂直于 PD，与 PD 交于点 E，由垂径定理得到E 为 PD 的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用 PC-EC 的长表示出PE，根据 PD=2PE 表示出 PD，再由 PC-PD 表示出 CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x 的二次函数，配方后根据自变量x 的范围， 利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x 的取值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页