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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 苏州市 2001-2022年中考数学试题分类解析汇编专题 11：圆一、挑选题1. （2001 江苏苏州 3 分）如图,已知 AOB=30,P 为边 OA 上一点,且 OP=5 cm,如以 P为圆心, r 为半径的圆与 OB 相切,就半径 r 为【】A5cm B5 3 cm C5 cm D5 3 cm2 2 3【答案】 C；【考点】 直线与圆的位置关系,含【分析】 作 PDOB 于 D,30 度角直角三角形的性质；在直角三角形POD 中, AOB =30 ,P 为边 OA 上一点,且OP=5 cm,PD=5 2（ cm）；依据直线和圆相切,就圆的
2、半径等于圆心到直线的距离,r=5 2cm；应选 C；2. （2001 江苏苏州 3 分） 如图,在于点 P,就 BP 的长为【】ABC 中, C=90, AB=10,AC=8,以 AC 为直径作 圆与斜边交A6.4 B 3.2 C3.6 D8 【答案】 C；【考点】 圆周角定理,相像三角形的判定和性质；【分析】 连接 PC,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - AC 是直径, APC=90 ；在 ABC 中, C=90 ,AB=10,AC=8, APC=ACB=90 ； A=A, APC ACB；PA ACAC,即PA
3、 88；AB10PA=6.4； PB=ABPA=106.4=3.6；应选 C；3.（江苏省苏州市 2002 年 3 分）如图, O 的弦 AB=8cm,弦 CD 平分 AB 于点 E；如 CE=2 cm,就 ED 长为【】A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm【答案】 A；【考点】 相交弦定理【分析】 依据相交弦定理求解：依据相交弦定理, 得 AE.BE=CE.ED,即 ED=4248（cm）；应选 A；4.（江苏省苏州市2002 年 3 分） 如图,四边形 ABCD 内接于 O,如 BOD=1600,就 BCD =【】B. 100C. 80D. 20A. 160【答案】 B；
4、【考点】 圆内接四边形的性质,圆周角定理；【分析】 依据同弧所对的圆周角与圆心角的关系,易求得圆周角接四边形的内对角互补,就BAD+BCD =180 ,由此得解：BAD 的度数；由于圆内四边形 ABCD 内接于 O, BAD+BCD=180 ；又 BAD=1 2 BOD=80 , BCD =180 BAD=100 ；应选 B；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.（江苏省苏州市2002 年 3 分） 如图, O 的内接ABC 的外角 ACE 的平分线交 O 于点 D；DF AC,垂足为 F,DEBC,垂足为 E；给
5、出以下 4 个结论：CE=CF, ACB=EDF , DE 是 O 的切线, AD=BD ；其中肯定成立的是【】A. B. C. D. 【答案】 D；【考点】 角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,平角定义,四边形内角和定理,切线的判定,圆周角定理；【分析】 CD 是 ACE 的平分线,DCE=DCF ；DF AC,DEBC, DEC =DFC =90 0；又 DC =DC, CDE CDF（ AAS）； CE=CF；正确； 根 据 四 边 形 内 角 和 定 理 ACE EDF DEC DFC =380 0 和DEC = DFC=90 0, ACE+EDF =180 ；又 ACB+ACE=
6、180 , ACB=EDF ；正确；如图,连接 OD 、OC,就 ODC=OCD ； ODE =OCD CDE=OCD 90 0 DCE=DCA OCF 90 0 DCE =90 0 OCF 90 0；DE 不是 O 的切线；错误；【只有当 OCF =0,即 AC 是圆的直径时,DE 才是 O 的切线；同样可证,当名师归纳总结 圆心 O 在 ABC 内时, ODE =900 OCF 90 0,DE 也不是 O 的切线；】第 3 页,共 22 页如图,连接AD,BD；依据圆内接四边形的外角等于内对角得DCE =DAB,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又
7、 DCE= DCF, DCA=DBA, DAB=DBA 90 0； AD=BD ；综上所述,正确；应选D；DCE =700,6.（江苏省苏州市2003 年 3 分）如图,四边形 ABCD 内接于 O,如它的一个外角就BOD =【】C. 11000 D. 140A. 350 0 B. 70【答案】 D；【考点】 圆内接四边形的性质,圆周角定理；【分析】 依据圆的内接四边形外角等于内对角求出A= DCE=70 ,再依据同弧所对圆心角等于圆周角一半的圆周角定理,可求BOD =2 A=140 ；应选 D；7.（江苏省苏州市 2004 年 3 分）如图,AB 是的直径, 弦 CD 垂直平分 OB,就 B
8、DC =【】； 15；20； 30；45【答案】【考点】 圆周角定理,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定和性质；【分析】 连接 OC,BC,弦 CD 垂直平分 OB,依据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质,得 OC=BC；又 OC=OB, OCB 是等边三角形； COB =60 ；依据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理,得D=30 ；应选 C；8.（江苏省苏州市 2022 年 3 分） 如图 AB 为 O 的直径, AC 交 O 于 E 点, BC 交 O 于D 点, CD=BD, C=70现给出以下四个结论：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精
9、选学习资料 - - - - - - - - - A=45 ；AC=AB： AEBE ；CEAB=2BD2其中正确结论的序号是【】ABCD】9. （2022 江苏苏州3 分） 一组数据2,4,5,5,6 的众数是【A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 C；【考点】 众数；【分析】 众数是在一组数据中,显现次数最多的数据,这组数据中,显现次数最多的是 5,故这组数据的众数为 5；应选 C；4. （2022 江苏苏州 3 分） 如图,一个正六边形转盘被分成6 个全等三角形,任意转动这个名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - -
10、 - - 转盘 1 次,当转盘停止时,指针指向阴影区域的概率是【】1D. 1 6A. 1B. 1C. 234【答案】 B；【考点】 几何概率；【分析】 确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例,时指针指向阴影部分的概率：依据这个比例即可求出转盘停止转动转动转盘被匀称分成6 部分,阴影部分占2 份,转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2 6=1；3应选 B；二、填空题1. （2001 江苏苏州 2 分）已知两圆的半径分别为12 和 7,如两圆外离,就两圆圆心距d 的范畴是 ；【答案】 d19；【考点】 两圆的位置关系；【分析】 依据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和）,内切
11、（两圆圆心距离等于两圆半径之差）,相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和）,相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差）,内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）；因此,名师归纳总结 如两圆外离,就两圆圆心距d127=19；第 6 页,共 22 页2. （2001 江苏苏州2 分） 弯制管道时,先按中心线运算其“展直长度 ”,再下料依据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 mm（单位： mm,精确到 1mm）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 389mm；【考点】 弧长的运算；【分析】 管道的展直长度实际上就是弧长,所以利用弧长公式即可求出：
12、管道的展直长度为100120180389（mm）； cm3（结1803.（江苏省苏州市2002 年 2 分）底面半径为2cm,高为 3cm 的圆柱的体积为果保留）【答案】 12；【考点】 圆柱的运算；【分析】 依据圆柱的体积 =底面积 高,得：圆柱的体积 =2 23=12 cm ；34. （江苏省苏州市 2005 年 3 分）如图, 直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、B、C,其中,B 点坐标为 ,4 4 ,就该圆弧所在圆的圆心坐标为 ；【答案】 （2,0）；【考点】 定圆的条件,坐标与图形性质,垂径定理；【分析】 依据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦 AB 和 BC 的垂直平
13、分线,交点即为圆心；就圆心是（2,0）,如下列图：5. （江苏省苏州市 2007 年 3 分） 如图,已知扇形的半径为 3cm,圆心角为 120,就扇形的名师归纳总结 面积为 cm2 第 7 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （结果保留）【答案】 3；【考点】 扇形面积的运算；【分析】 把相应数值代入Sn r2求值即可：S12032=3；3603606. （江苏省 2022 年 3 分）如图, AB 是 O 的直径, 弦 CD AB如 ABD=65,就 ADC = 【答案】 25；【考点】 圆周角定理,平行线的性质,直角三角形两锐角的关
14、系；【分析】 CD AB, ADC=BAD；又 AB 是 O 的直径, ADB=90 ；又 ABD=65 , ADC =BAD =90 ABD=25 ；7. （江苏省 2022 年 3 分） 已知正六边形的边长为 1cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆 心, 1cm 长为半径画弧（如图）,就所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留 ）【答案】 2；【考点】 正六边形的性质,扇形弧长公式；名师归纳总结 【分析】 如图,连接AC,就由正六边形的性质知,扇形ABmC 中,半径AB=1,圆心角第 8 页,共 22 页BAC=600,弧长CmB6011；1803由正六边形的对称性,知,所得到的三条弧的
15、长度之和为弧长CmB 的 6 倍,即2；8.（江苏省苏州市2022 年 3 分） 如图,在44 的方格纸中 共有 16 个小方格 ,每个小方格都是边长为1 的正方形O 、 A 、 B 分别是小正方形的顶点,就扇形OAB 的弧长等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 结果保留根号及【答案】2；【考点】 扇形的弧长公式；【分析】 由图形可知AOB90,扇形的半径AO2 2,依据扇形的弧长公式可运算出弧长为：902 2 = 1802；AB 是 O 的一条直径,延长AB 至 C 点,使9. （江苏省苏州市2022 年 3 分） 如图,已知得 AC 3BC,CD
16、与 O 相切,切点为D如 CD 3 ,就线段 BC 的长度等于 【答案】 1；【考点】 圆的切线性质,勾股定理；【分析】 连接 OD , 就由圆的切线性质得 ODCD ,由 AC3BC 有 OC2BC2OB；Rt CDO 中, 依据勾股定理有2 OCOD2CD22BC2BC232BC1；2,就该扇形的半径是10. （ 2022 江苏苏州3 分） 已知扇形的圆心角为45,弧长等于 . 【答案】 2；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【考点】 弧长的运算；【分析】 依据弧长的公式ln r,得r180l1802=2,即该
17、扇形的半径为2；180n45三、解答题1. （2001 江苏苏州 6 分） 如图,已知 AB 是半圆 O 的直径, AP 为过点 A 的半圆的切线；在 AB 上任取一点 C（点 C 与 A、B 不重合）,过点 C 作半圆的切线 CD 交 AP 于点 D；过点 C 作 CEAB,垂足为 E连接 BD,交 CE 于点 F；（1）当点 C 为 AB 的中点时（如图 1）,求证： CF=EF；（2）当点 C 不是 AB 的中点时（如图 2）,试判定 CF 与 EF 的相等关系是否保持不变,并证明你的结论；【答案】 解：（ 1）证明： DA 是切线, AB 为直径, DAAB；点 C 是 AB 的中点,
18、且CE AB,点 E 为半圆的圆心；又 DC 是切线, DC EC；又 CEAB,四边形DAEC 是矩形；AD=1 2EC；CD AO, CD=AD；EF ADBE=1,即 EF =1 2AB2F 为 EC 的中点, CF=EF；（2）CF =EF 保持不变；证明如下：如图,连接 BC,并延长 BC 交 AP 于 G 点,连接 AC,AD、DC 是半圆 O 的切线, DC =DA； DAC =DCA ；AB 是直径, ACB=90 ； ACG=90； DGC + DAC= DCA +DCG =90； DGC = DCG；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习
19、资料 - - - - - - - - - 在GDC 中, GD =DC；DC =DA, GD =DA；AP 是半圆 O 的切线, APAB；又 CEAB, CE AP； BCF BGD , BEF BAD；CF GDBFEF；BDADGD =AD, CF =EF；【考点】 探究型, 圆的综合题, 切线的性质, 矩形的判定和性质,等腰三角形的判定,相像三角形的判定和性质；平行线分线段成比例定理,【分析】 （1）由题意得DAAB,点 E 为半圆的圆心,DCEC,可得四边形DAEC 是矩DC=DA,形,即可得出EFBE,即可得 EF 与 EC 的关系,可知CF=EF；ADAB（2）连接 BC,并延长
20、 BC 交 AP 于 G 点,连接AC,由切线长定理可得DAC = DCA,由角度代换关系可得出DGC = DCG,即可得 GD=DC =DA,由已知可得CE AP,所以CF GDBEEF,即可知 CF=EF；O1 、ABAD2. （江苏省苏州市2002 年 7 分）已知： O1与 O2外切于点P,过点P的直线分别交 O2 于点 B 、 A , O1 的切线 BN 交 O2 于点 M 、 N , AC 为 O2 的弦,（1）如图（ 1）,设弦 AC 交 BN 于点 D ,求证： AP AB AC AD ；（2）如图（ 2）,当弦 AC 绕点 A 旋转,弦 AC 的延长线交直线 B BN 于点
21、D 时,试问：AP AB AC AD 是否仍旧成立？证明你的结论；【答案】 解：（ 1）证明：连结 PC ,过点 P 作O 与O 的公切线 EF ；名师归纳总结 APFC ；EPB；第 11 页,共 22 页又 BN 是O 的切线,1MBP又EPBAPF ,MBPC ；又AA,APCADB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AP ADAC,即 AP ABAC AD ；AB（2）仍成立；证明如下：连结 PC ,过点 P作O 和O 的公切线 EF ；EPB； BN 是O 的切线, MBMP ；MBPABDAPE ；又ACPAPE ,ABDACP ；又AA,A
22、PCADB；AP ADAC,即 AP ABAC AD ；AB【考点】 相切两圆切线的性质,弦切角定理,切线长定理,等腰三角形的性质,对顶角的性质,相像三角形的判定和性质；【分析】（ 1）连结 PC ,过点 P作O 与O 的公切线 EF ；依据弦切角定理可得APF C ,由 BN 也是O 的切线,依据切线长定理可得 MB MP ,从而依据等腰三角形等边对等角的性质,得到 MBP EPB,由对顶角相等的性质,得到 MBP C ；又 A A,从而 APCADB,依据相像三角形的性质即可证明；（2）同（ 1）可以证明；3. （江苏省苏州市2003 年 7 分） 如图,已知AB 是 O 的直径, BC
23、切 O 于点 B, AC 交O 于点 D,AC10,BC6,求 AB 和 CD 的长；【答案】 解： AB 是 O 直径, BC 是 O 的切线, BCAB；在 Rt ABC 中,ABAC2BC22 10628 ；CA 是 O 的割线, CD .CA=BC2；CD 10=62, CD=3.6；【考点】 切线的性质,切割线定理,勾股定理；名师归纳总结 【分析】 由 AB 是 O 直径, BC 是 O 的切线可以得到BCAB,利用勾股定理在Rt ABC第 12 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中可以求出AB 的长,又由 CA 是 O 的割
24、线看得到BC2=CD.CA,依据这个等式可即可求出CD；【没有学习切割线定理的,可连接 BC,依据直径所对圆周角是直角的圆周角定理知ADB =900,从而依据BCD ACB 得对应边成比例而求出 CD；】4. （江苏省苏州市 2003 年 7 分）如图 1, O 的直径为 AB,过半径 OA 的中点 G 作弦 CEAB,在 CB 上取一点 D,分别作直线CD 、ED,交直线 AB 于点 F、 M；（1）求 COA 和 FDM 的度数；（2）求证：FDM COM；OB 上任意一点,点D 改取在 EB 上,仍作直线CD 、（3）如图 2,如将垂足G 改取为半径ED,分别交直线 AB 于点 F、M；
25、试判定：此时是否仍有FDM COM ？证明你的结论；【答案】 解：（ 1） AB 为直径, CEAB, AC AE ,CG=EG；在 Rt COG 中, OG=1 2OC, OCG=30； COA=60；又 CDE 的度数 =1 CAE 2的度数 = AC 的度数 =COA 的度数 =60, FDM =180 CDE =120 ；（2）证明： COM =180 COA=120 , COM =FDM ；在 Rt CGM 和 Rt EGM 中,GM CGGM,Rt CGM Rt EGM（HL）；EG GMC=GME ；又 DMF =GME , GMC =DMF ； FDM COM ；（3）结论仍成
26、立；证明如下： EDC 的度数 =1 CAE 2的度数 = AC 的度数 = COA 的度数, FDM =180 COA=COM ；AB 为直径, CE AB；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt CGM 和 Rt EGM 中,GM CGGMRt CGMRt EGM（HL）；EG GMC=GME ； FDM COM；【考点】 圆周角定理,锐角三角函数,特别角的三角函数值,线段垂直平分线的性质,直角三角形两锐角的关系,平角定义,直角三角形全等的判定和性质,判定；垂径定理,相像三角形的【分析】 （1）由于 CG
27、OA ,依据垂径定理可得出,AC AE ,那么依据圆周角定理可得出 CDE =COA,在 Rt COG 中,可依据 OG 是半径的一半得出AOC 是 60,那么就能 得出 FDM =180 CDE =120 ；（2）在（ 1）中依据垂径定理得出 OA 是 CE 的垂直平分线,那么CMG 和 BMG CMO =FMD ,在（ 1）中已经证得 就应当全等,可得出CMA =EMG ,也就可得出AOC = EDC=60 ,那么 COM=MDF ,因此两三角形相像；（3）可按（ 2）的方法得出 DMF =CMO,关键是再找出一组对应角相等,仍是用垂径定理来求,依据垂径定理我们可得出 AC AE ,那么
28、AOC =EDC ,依据等角的余角相等即可得出COM=FDM ,由此可证出两三角形相像；5. （江苏省苏州市 2004 年 6 分） 如图, O2与 O1 的弦 BC 切于 C 点,两圆的另一个交 点为 D,动点 A 在 O1,直线 AD 与 O2 交于点 E,与直线 BC 交于点 F ；（1）如图 1,当 A 在弧 CD 上时,求证： FDC FCE； AB EC ；（2）如图 2,当 A 在弧 BD 上时,是否仍有AB EC？请证明你的结论；【答案】 解：（ 1）证明： BC 为 O2 的切线, D= FCE；又 F=F, FDC FCE；在 O1 中, B=D, D=FCE,名师归纳总结
29、 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - FCE=B； AB EC；（2）仍有 AB EC；证明如下：四边形 ABCD 是 O1的内接四边形,FBA= FDC；BC 为 O2 的切线, FCE=FDC ； FCE=FBA； AB EC；【考点】 弦切角定理,圆周角定理,圆内接四边形的性质,相像三角形的判定,平行线的判 定；【分析】 （1）在FDC 与 FCE 中,由弦切角定理得：D=FCE,已知公共角F,由此可判定两三角形相像；依据平行线的判定,只需证明FCE= B；中证得D=FCE,而 O1 中,依据圆周角定理,可得D=B,将等角
30、代换可得出B=FCE,由此得证；（2）依据平行线的判定,只需证明FCE=FBA,思路同（ 1）,依据圆内接四边形的性质,得FBA=FDC ；由弦切角定理,得FCE=FDC ,将等角代换后可证得所求的结论；6. （江苏省苏州市 2005 年 6 分） 如图, AB 是 O 的直径, BC 是 O 的切线, D 是 O 上的一点,且 AD CO；（1）求证：ADB OBC；（2）如 AB=2,BC=2 ,求 AD 的长；（结果保留根号）【答案】 解：（ 1） AD OC, A=COB；又 AB是 直 径 , BC是 O的 切 线 , D=OBC =90 ； ADB OBC；（2）在 Rt OBC
31、中, OB=1 2AB=1,BC=2 , OC=222 1 = 3AB OC,即AD 12；AD=23； ADB OBC ,AD OB33【考点】 相像三角形的判定和性质,圆周角定理,切线的性质,勾股定理；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【分析】（1）依据平行线的性质得A=COB,依据直径所对的圆周角是直角得D=OBC,就可以判定ADB OBC；（2）依据相像三角形的对应边成比例可以运算出 OC 的长；7. （江苏省苏州市 2006 年 7 分） 如图,ABC 内接于 O,且 ABC C,点 D 在弧BC 上运
32、动过点 D 作 DE BCDE 交直线 AB 于点 E,连结 BD1 求证： ADB=E；2求证： AD 2=ACAE；3 当点 D 运动到什么位置时,DBE ADE 请你利用图进行探究和证明【答案】 解：（ 1）证明： DE BC, ABC=E； ADB, C 都是 AB 所对的圆周角,ADB=C；又 ABC=C, ADB=E；（2）证明： ADB=E,BAD=DAE, ADB AED；AD ABAE,即 AD2=AB.AE；2=AC.AE；AD又 ABC=C, AB=AC, AD（3）点 D 运动到弧 BC 中点时,DBE ADE；证明如下：DE BC, EDB=DBC； DBC 所对的是
33、弧 DC , EAD 所对的是弧 DB ,且 DC=DB , DBC =EAD； EDB=EAD；又 DEB=AED, DBE ADE；【考点】 圆周角定理,平行线的性质,等腰三角形的判定,相像三角形的判定和性质；【分析】 （1）由 DE BC,可得 ABC=E；由 ADB, C 都是 AB 所对的圆周角,得ADB =C；又 ABC= C,因此 ADB=E；名师归纳总结 AD（ 2 ） 由 ABC=C得AB=AC ； 由 ADB AED得ADAE； 即第 16 页,共 22 页ABAD2=AB.AE=AC.AE；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）
34、点 D 运动到弧 BC 中点时,DBE ADE ；由 DC=DB ,得 BAD=DBC ；由 DE BC,得 EDB =DBC ；又 BDE=BAD,因此DBE ADE；8. （江苏省苏州市 2007 年 8 分） 如图, BC 是 O 的直径,点 A 在圆上,且 AB=AC=4P为 AB 上一点,过 P 作 PEAB 分别 BC、OA 于 E、F1设 AP=1,求 OEF 的面积2设 AP=a 0a2, APF、 OEF 的面积分别记为 S1、S2；如 S1=S2,求 a 的值；如 S= S1+S2,是否存在一个实数a,使 S15.如存在,求出一个a 的值；如不存3在,说明理由【答案】 解：
35、 1 BC 是 O 的直径, BAC=90；又 AB=AC, B=C=45；OA BC, B=1=45；PE AB, 2=1=45； 4=3=45；就 APF、 OEF 与 OAB 均为等腰直角三角形；AP=l, AB=4, AF= 2 ,OA= 2 2 ； OE=OF= 2 ； OEF 的面积为1 OE OF 1；22 PF=AP=a AF= 2a OE=OF= 2 2 一 2a ；S 1 1 a 2,S 2 1 OE OF 2 a 22 2S1=S2 ,1 a 22 a 2,解得 a 4 2 2 ；2 0 a 2 ,a 4 2 2 ；不存在；理由如下：名师归纳总结 - - - - - -
36、-第 17 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - Sa S 1S 21a22a243a24a43a424,22233当4时, S 取得最小值为；33154,不存在这样实数a,使 S15；333【考点】 圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,解一元二次方程,二次函数的最值；【分析】 1依据已知条件,证出 OEF 的面积；APF 、 OEF 与 OAB 均为等腰直角三角形即易求出（2）由 S1=S2列出方程,解之即可；求出 S 关于 a 的函数关系式, 由二次函数的最值求出S 的最小值, 与15比3较即可；9. （江苏省苏州市2022 年 9 分） 如图,在
37、ABC 中, BAC=90,BM 平分 ABC 交 AC于 M,以 A为圆心, AM 为半径作 OA 交 BM 于 N,AN 的延长线交 点作 MT BC 于 T 1 求证 AK=MT ；2 求证： ADBC；3 当 AK=BD 时, 求证：BN BPACBMBC 于 D,直线 AB 交 OA 于 P、K 两【答案】 证明：（ 1） BAC=90 ,BM 平分 ABC 交 AC 于 M,MTBC, AM =MT；又 AM =AK, AK=MT ；（2） BM 平分 ABC 交 AC 于 M, ABM=CBM；又 AM =AN, AMN =ANM ；名师归纳总结 - - - - - - -第 1
38、8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 ANM=BND , AMN =BND ； BAC=900, ABM AMB =900； CBM BND =900； BDN=900； ADBC；（3） BNM 和 BPK 是 A 的割线, BNBM =BPBK；即BN BPBK BMAK=BD, AK=MT, BD=MT；ADBC,MT BC, ADB=MTC=90 0； C CMT=90 0； BAC=90 0, C ABC=90 0； ABM=CMT；ABM CMT在 ABD 和 CMT 中 , BD MT, ABD CMTADB MTC（ASA）；AB=MC；AK=AM , ABAK=MCAM ,即 BK=AC；BN BPAC；BM【考点】 角平分线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,对顶角的性质,垂直的判定,