概率统计教案.pps

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1、1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型,二、几何概型,回忆1.1节的试验,E1,E3,E4 有共同特性:,一、古典概型,(有限性)试验的样本空间中仅含有限个样本点:,(等可能性)每个基本事件i发生的可能性相同:,具有以上两个特性的试验大量存在. 我们把满足上述两个特性的试验称为等可能试验. 这种试验是概率论发展初期研究的主要对象, 被称为古典概型.,设是等可能试验E的样本空间, 它包含n个样本点, A为E的包含k个样本点的随机事件, 则事件A的概率为,称此公式为古典概型的概率计算公式(或定义),定理1,证 由,知,所以,从而,排列:从n个不同元素中任取m个排成一列, 其不同的,古典概型计算所

2、需的知识:,组合:从n个不同元素中任取m个组成一组, 其不同的,排列 数为,加法原理:做一件事件有 k 类做法,第 i 类有ni 种做法,则总共有 n1+n2+nk 种不同的做法.,乘法原理:做一件事件有k个阶段,第i个阶段有ni种做法,则总共有n1n2nk种不同的做法.,组合 数为,古典概型举例,例1 袋内有3个白球和2个黑球, 现从袋中任取2个球, 求取出的2个球都是白球的概率.,解 参看第1节例1,若按(a)法理解,则不是古典概型,不会计算;若按(b)法理解,则是古典概型,这时样本空间的样本点数为10,而事件,所包含的样本点有3个,故所求概率为,(1) 抽球问题,袋内有a个白球与b个黑球

3、, 现从袋中任取+个球, 求取出的球恰好有个白球与个黑球的概率.,解 这是例1的一般情形, 这时样本点总数为,故所求概率为,取出的球恰好有个白球与个黑球的事件所包含,的样本点个数为,注:其中的“白球,黑球”可换作“甲物,乙物”或“合格品,次品”,例2,袋内有a个白球与b个黑球, 每次从袋中任取一个球, 取出的球不再放回去, 接连取 k (ka+b) 个球, 求第k次取得的是白球的概率.,解 这时取球是有顺序的, 样本点总数为,故所求概率为,取自a个白球, 有 a 种取法,球, 其取法种数为,(抽签原理),例3, 第 k 个球,其余 k-1个球取自其它 a+b-1个,抓格填数,例4 从1,2,1

4、0共10个数字中任取7个(可以重复),求下列各事件的概率: A:取出的7个数字全不相同; B:取出的7个数字中不含1与10; C:取出的7个数字中恰好出现两次10.,解,(2) 随机取数问题,抓人分房,例5 有n个人,每个人都以同样的概率1/N被分配在N(nN)间房中的每一间, 求下列各事件的概率: A:某指定n间房中各有1人 ; B:恰有n间房, 其中各有1人; C:某指定房间中恰有m(mn)人.,解,(3) 分房问题,分房问题的演变:,在上述分房问题中,若令N=365,n=30,m=2,则可演化为生日问题. 即对一个含30人的班级, 有下面结果:,(1) 在某指定30天,每天恰有一学生生日

5、的概率为,(2) 全班生日各不相同的概率为,(3) 某指定日恰为某二人生日的概率为,由(2)知, 在全班30人中至少有2人,生日相同的概率为,把4个球放到3个杯子中去,求第1,2个杯子中各有两个球的概率p, 其中假设每个杯子可放任意多个球.,球入杯问题,这可看作分房问题,任取一个两位数, 求这个数能被2或3整除的概率?,解 设 A 为事件“取到的数能被2整除”, B为事件“取到的数能被3整除”,则所求概率为,例6,二、几何概型,(按测度的有限性)试验的样本空间中是可测的, 且测度m()有限:,(按测度等可能性)同测度的事件发生的可能性相同, 即,具有以上两个特性的试验大量存在. 我们把满足上述

6、两个特性的试验称为按测度等可能试验. 这种试验在概率论发展史上也是主要的研究对象, 由于它与试验的几何特征有关,故被称为几何概型.,回忆1.1节的试验,E7, E8 的共同特性是:,设E是按测度等可能试验, m()是相应的测度函数, 则事件A的概率为,定理2,称此公式为几何概型的概率计算公式(或定义),类似于古典概率计算公式的推导,也可以推得,注:这里所说的测度是对几何图形大小的一种度量通常情况下,杆的测度就是杆的长度,平面图形的测度就是平面图形的面积,空间物体的测度就是物体的体积,曲线的测度就是曲线的弧长,那末,两人会面的充要条件为,例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地

7、点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.,解,会面问题,若以 x, y 表示平面上点的坐标 , 则,由几何概率知, 所求的概率为,甲、乙两人约定在下午 1 时到 2 时之间到某站乘公共汽车, 又这段时间内有四班公共汽车, 它们的开车时刻分别为 1:15, 1:30, 1:45, 2:00. 假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的,且每人,例8,在 1 时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的.如果它们约定见车就乘; 求下列事件的概率 A:两人同乘一车 B:两人同时到达车站,设 x, y 分别为甲、乙两人到达的时刻, 则,解,故,不可能事件的概率为0,概率为0的事件未必是不可能事件,注意:,

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