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1、概率论与数理统计第三讲1.2.3 概率的公理化定义与性质 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫把概率的频率定义,几何定义,古典定义统一起来,给出了概率的公理化定义.Def.设 为一个样本空间,为其中的任一个随机事件.如果一个实值函数 满足如下三个条件:1)非负性:2)规范性:3)可列可加性:即对任意无限可列的互不相容事件 ,有 则称 为事件 发生的概率.上述定义中涉及无限可列个事件的并的概率,为了保证无限可列个事件的并也是一个事件(这样才能定义概率),我们对事件还必须做个约定,即:事件不仅是样本空间的子集,还必须是某个集合类的元素,这个集合类叫事件域.Def.设 为一个样本空间,F 为 的某些子
2、集组成的集合,满足:1)2)则 3)若 则 则称F为一个事件域,称 为一个概率空间.概率的性质1)2)若 互不相容,则3)4)推论:若 则 推论:若 则5)推论:推论:推论:例:已知 求事件 都不发生的概率例:设12件产品中有9件正品3件次品,从中任 取5件,试求取出的5件产品中 1)至少有一件次品的概率 2)至多有一件次品的概率条件概率与事件的独立性引例1:袋中有10个大小相同的球，其中红球6只，黑球4只，从中依次取出两个球，取后不放回。问1）第一次取出的球为红球的概率是多少？2）在已知了第一次取出的球为红球的情况下，问第二次取出的球为黑球的概率是多少？设事件A表示第一次取出的球为红球 事件
3、B表示第二次取出的球为黑球 事件C表示第一次取出的球为红球的情况下，第二次取出的球为黑球 （即：在事件A已经发生条件下，事件B发生）显然：P(A)=6/10P(B)=4/10 -（抽签原理）P(AB)=（6*4）/（10*9）=4/15P(C)=4/9故：P(C)=P(AB)/P(A)即对本例成立：在事件在事件A已经发生条件下，事件已经发生条件下，事件B发生的概率等于事件发生的概率等于事件 A，B都发生的概率除以事件都发生的概率除以事件A发生的概率发生的概率引例2:从100件产品中任取一件,设A:取到的产品为合格品B:取到的产品为机床1生产的 P(A)=85/100P(B)=40/100P(A
4、B)=35/100现在已经取出一个产品,从产品的标签看这个产品是机床1生产的(事件B已经发生),在这种情况下问这个取出的产品还是合格品的概率为多少?合格品数次品数总计机床 135540机床 2501060总计8515100Def.设A,B是概率空间 的两个事件,则称为 在事件B发生条件下,事件A发生的条件概率,简称条件概率易于证明:上述定义的(概率)函数P(.|B)满足非负性,规范性 和可列可加性条件,即P(.|B)确实是概率空间 的一个概率.概率的乘法公式Th.设A,B为概率空间 上的任意两个事 件,并且P(B)0,则:P(AB)=P(B)P(A|B)推广到一般的情形,即若 ,则 例:一批零件100个,其中次品10个,逐一不放 回地抽取零件,求 1)第三次才抽到合格品的概率 2)如果取到一个合格品后就不再抽取了,求在3次内取到合格品的概率作 业Page 29-301.161.171.191.201.211.231.25