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1、郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差1一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题选讲三、例题选讲二、基本随机变量的期望和方差二、基本随机变量的期望和方差四、小结四、小结第二节方差第二节方差郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差21.概念的引入概念的引入 方差方差 D 是一个常用来体现随机变量取值分是一个常用来体现随机变量取值分散或集中程度的非负数散或集中程度的非负数.实例实例 有两片胡杨林，其平均寿命都是有两片胡杨林，其平均寿命都是 E(X)=1000年年.而在均值附近的分布情况不同：而在均值附近的分布情况不同：一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质 郑勋烨郑勋烨4.2
2、方差方差32.方差的定义方差的定义(Deviation/Variance/)衡量误差衡量误差衡量绝对误差衡量绝对误差绝对误差的均值绝对误差的均值郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差4方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大,E(X)作为随机变量的均值的代表性弱作为随机变量的均值的代表性弱;而而如果如果 D(X)值小值小,则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随机变量的均值代表性强作为随机变量的均值代表性强.3.方差的意义方差的意义比如：比如：(50+1
3、0)/2=30,(40+20)/2=30,而后者数据更加集中，与均值的误差小。而后者数据更加集中，与均值的误差小。郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差5离散型随机变量的方差是非负数加和离散型随机变量的方差是非负数加和 连续型随机变量的方差是非负函数积分连续型随机变量的方差是非负函数积分4.随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差6证明证明(2)实用计算公式，用平方期望减去期望平方：实用计算公式，用平方期望减去期望平方：期望是个数期望是个数郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差7证明证明5.方差的性质方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设
4、设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证明证明期望线性性质期望线性性质郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差8(3)a,b是常数是常数,则有则有证明证明(4)标准化随机变量定义为：标准化随机变量定义为：即随机变量减去期望再除以标准差即随机变量减去期望再除以标准差.则标准化随机变量的期望是则标准化随机变量的期望是0，方差是，方差是1：因为期望和方差都是数：因为期望和方差都是数：EX=C1，DX=C2，郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差9(3)设设 X,Y 相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则证明证明这里用到当这里用到当X,Y独立时有：独立时有：=0(记住期望记住期望EX,
5、EY都是数都是数)郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差10推广推广郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差111.两点分布两点分布(Two-Point Distribution)已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有二、基本随机变量的期望和方差二、基本随机变量的期望和方差郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差122.二项分布二项分布 (Binomial Distribution)则可分解为则可分解为n个独立的两点分布随机变量个独立的两点分布随机变量Xi的加和的加和:设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为E(Xi)=p,D(Xi)=pq,相互独立相互
6、独立且独立变量和的方差等于方差的和：且独立变量和的方差等于方差的和：郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差133.泊松分布泊松分布(Poisson Distribution)则利用指数函数的幂级数展开式则利用指数函数的幂级数展开式:我们有我们有郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差14所以所以郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差154.均匀分布均匀分布(Unified Distribution)则有则有郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差16均匀分布的方差：均匀分布的方差：郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差175.指数分布指数分布(Exponential Distribution)则利用分部积分法，我们有则利用分部积分法，我们有郑勋烨
7、郑勋烨4.2 方差方差18郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差196.正态分布正态分布(Normal Distribution)则有则有郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差20方差计算如下：方差计算如下：分部积分法分部积分法郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差21郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差22分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差23解解三、例题选讲三、例题选讲例例1郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差24于是于是郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差25(1)随机变量随机变量X，Y 相互独立相互独立,由正态
8、分布的线性变由正态分布的线性变换不变性质，换不变性质，解解例例2.随机变量随机变量X，Y 相互独立，相互独立，求求并求概率并求概率的分布，的分布，也服从正态分布，也服从正态分布，其期望和方差分别是：其期望和方差分别是：故故(2)化为标准正态分布函数计算：化为标准正态分布函数计算：郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差26正态分布数字特征的线性性质：正态分布数字特征的线性性质：期望相加减，方差永相加期望相加减，方差永相加郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差27解解例例3郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差28郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差29解解练习练习不等式标准化不等式标准化郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差30四、小结四、小结1.方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散取值分散程度的量程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分散程取值分散程度大度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则则表示表示 X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随机变作为随机变量的代表性好量的代表性好.2.方差的计算公式方差的计算公式郑勋烨郑勋烨4.2 方差方差313.方差的性质方差的性质