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1、第八章 立体几何初步立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直8.68.6.2.2 直线与平面垂直直线与平面垂直1 1、空间中直线与平面的位置关系有哪些？、空间中直线与平面的位置关系有哪些？直线在平面内：直线在平面内：直线在平面外：直线在平面外：线面相交：线面相交：线面平行：线面平行：有且只有一个公共点有且只有一个公共点有无数公共点有无数公共点./=斜交垂直复习旧知复习旧知问题问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那
2、怎样用数学语言那怎样用数学语言刻画刻画直线与平面垂直直线与平面垂直呢？呢？直观感知直观感知思考：思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？如何定义一条直线与一个平面垂直？类比线面平行类比线面平行空间问题平面化空间问题平面化观察：观察：如如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子及它在地面的影子BC.随着时间的变化，旗杆随着时间的变化，旗杆所在所在直线直线AB与其影子与其影子BC所在直线是否保持所在直线是否保持垂直垂直？ABCB直线直线AB与其影子与其影子BC所在所在直线始终保持直线始终保持垂直垂直追问：追问：对于地面上不过点对于地面上不过点B的任意一
3、条的任意一条直线直线BC，旗杆，旗杆AB会与之垂直吗？会与之垂直吗？结论结论:旗杆旗杆AB所在直线与地面上所在直线与地面上任意任意一条直线都垂直一条直线都垂直.直观感知直观感知垂线垂面垂足注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形一边垂直。概念生成概念生成一般地,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面互相垂直,记作 l,直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.线面垂直定义练习巩固练习巩固探索新知探索新知问题问题2 2：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直将这一我
4、们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？过一点垂直于已知直线的平结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？过一点垂直于已知直线的平面有多少个？面有多少个？过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条有且只有一条;P.O.l垂线段垂线段点到平面的距离点到平面的距离“点面距点面距”PABCO.结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.过一点垂直于已知直线的平面只有一个只有一个探索新知探索新知 过一点作垂直于已知平面的直线过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段则该点与垂足间的线段,叫做这个叫做这个点点到该平面的
5、垂线段到该平面的垂线段,点到平面的距离在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离.PlO垂线段的长度垂线段的长度叫做这个叫做这个点到该平面的距离点到该平面的距离.练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固【例1】下列说法正确的有_(填序号)垂直于同一条直线的两条直线平行；如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若l与平面不垂直，则平面内一定没有直线与l垂直【变式训练1】如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条
6、直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)探索新知探索新知 探究探究：如何检测被吹斜的旗杆是否被扶正？（探究线面垂直的充分条件）：如何检测被吹斜的旗杆是否被扶正？（探究线面垂直的充分条件）测量旗杆与地面内每一条直线是否都为直角测量旗杆与地面内每一条直线是否都为直角追问追问：“测量每一条测量每一条”的工作量太大，有没有其他更为简便的判定方法的工作量太大，有没有其他更为简便的判定方法？探究不一定不一定当当ADADBCBC时时折痕折痕ADAD与桌面垂直与桌面垂直.如果一条直线与一个平面内的如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直两条相交直线垂直，那么该，那么该直线与直线与此平面垂直
7、此平面垂直.线面垂直的判定定理图形语言图形语言符号语言符号语言线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直推出推出概念生成概念生成典型例题典型例题例例1:1:如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.典型例题典型例题证明：如图，在平面内取两条相交直线m，n.a，am，an.又a/b，bm，bn.又m，n，且m,n是两条相交直线.b.可做结论用可做结论用课本课本P151探索新知探索新知问题问题3 3：我们知道，当直线和平面垂直时我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。该直线叫做平面的垂线。如果直如果直
8、线和平面不垂直线和平面不垂直,如何给它命名？如何给它命名？平面的斜线思考：如图，当线面相交时，“线”歪的程度明显不同，怎么刻画这种不同？用用“角角”度量度量平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).简称线面角.直线和平面所成的角斜线斜线垂线垂线斜线在平面斜线在平面上的射影上的射影斜足斜足垂足垂足规定:若直线垂直平面，则直线和平面所成的 角为90若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0 直线和平面所成角的取值范围为:概念生成概念生成探索新知探索新知思考：如果AB是平面内任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线所成的角和直线
9、PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小 典型例题典型例题【例3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角 1.构造构造：作垂线作垂线作射影作射影作平面角作平面角2.证明证明：证明某平面角就是斜线与平面所成角（证明某平面角就是斜线与平面所成角（关键证垂直关键证垂直）3.计算计算：求所成角，通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角求所成角，通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算三角形中计算.4.下结论下结论求直线和平面所成角的步骤求直线和平面所成角的步骤方法归纳方法归纳小结小结本节课我们学习了哪些内容？本节课我们学习了哪些内容？