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1、课时质量评价(二十)A组全考点巩固练1 .已知函数f(角=e(ax+l),曲线y=Hx)在x=处的切线方程为y=bx-e. (1)求4 8的值；(2)若函数g(x)=力 33一/有两个零点，求实数力的取值范围2 .已知函数*x)=lnx嗤20,讨论Ax)的零点个数3 .已知函数f(x) = (x2)e*+a(xI)。)有两个零点生,如 证明：*+*2l时，Ax)g(x)； (3)如果矛 1处 且Hx) =F(X2),证明：Xi + x22.课时质量评价(二十)A组全考点巩固练1 .解：(1) F(x) =e(ax+l),则/ (x) =e(ax+l)+e, a=e(ax+l + d).(/ (
2、1) = e(2a + 1) = b, f a = 1,由题意知，解得(./(I) = e(a + 1) = b e, ib = 3e,所以 a=l, b=3e.(2)g(x) =/(x) 3ex/n=ex2) in,函数g(x) =e(x2)勿有两个零点，相当于函数(x) =e (x2)的图象与直线y=有 两个交点，(x)=e(x2)+e=e(x1).当x( 8, 1)时，/ (x)0,所以(x)在(1, +8)上单调递增；当x=l时，(x)取得极小值(1) =-e.又当 f + 8时，(x)f + 8,当 x2 时，(x)0,所以/(x)0, f(x)在(0, +8)上单调递增.又Hl)=
3、0,所以Ax)有且只有1个零点.当1勿2 口寸，寸+(2 2力)x+l=0有2个正根，解得x m 1Vm2 2m,及=%一1 +Vm2 2m.因为 X1X2=1,所以 0VX1V1, %21.当 00, f(%) 0, /(x)单调递增；当 XiVxVx2时，gx)短时，g(x)0, ff (x)0, ”x)单调递增.因为1(小，X2), /(I) =0,所以/(x)在(xi,生)上有1个零点，且/(汨)0, /(A2)1, 0院勿0, 葭今=加一吗且=二0, e+l em+le-rn+l e-m+l所以F(x)在(o,荀)和(如+8)上各有1个零点.综上，当W2时，f(x)有且只有1个零点；
4、当/2时，F(x)有3个零点.3 .证明:f (x) = (xl)e+2a(x1) = (x1) (e+2z),因为 a0,所以f(x)在(一8, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，/(I) = -e.由 F(xi) =F(&) =0,可设构造函数 Fd) f(x) f2 - x),所以 Fr (x) =fr (x) f (2 x) = (x1) (e, + 2a) (x1) (e，+2a) = (jr1) (eA e2-),当水1时,xkO, e0,尸J)在(8, 1)上单调递增.又、(1)=0,故 Fx) 0(X1),即 fx)(KI).把代入上述不等式得F(xi) =/(矛2)
5、1, 2 xil, F(x)在(1, +8)上单调递增，故矛22 ,即e + x22.4 .解：(1)当 a=l 时，f(x)=ex sin x+x,ff(x)=e(sin x+cos x) +l=V2e sin(%+)+i当一巴VxVO 时，sin （x +24442V 4/2所以一IV&sin + ,因为 0e*20 在（0,引上恒成立，所以, （x）在（0,引上单调递增.又尸（0）=l + a, ff （1） = a + eT,当心一i时，ff（%）r （0）0,）在（0,总上单调递增，没有零点，不符合题意.当。工一段时，/（x）/Ax）在（0，,上单调递减，没有零点，不符合题意.丸Z
6、nXH当一e万a 1 时，ff(0) = 1 + 0,则一(X)只有一个零点，设为处则当OVxVr时,f (x)V0, _f(x)单调递减，当二VxW三时,f (x) 0, /(x)单调递增.由 2元题意得/(1)=当+凌20,解得一手Ww L综上，a的取值范围为a 年WaV1.5 . (1)解：函数 F(x)=(彳-1) eax,则尸(x) =XQa.由r(0) = 1 得 5=1.当x=0时,解得广(x)= 1.所以函数fx)的图象在x=0外的切线方程为y- (-1) =-1(-0),即 x+y+l=O,所以b=l.(2)证明:令 g(x) = f (x) = xex1,则/ (x) =
7、(x+l)e。所以当X 1时，g(x)单调递减,且此时g(x)O,在(一8, 1)内无零点；当 1 时,g(x)单调递增,又 g(1)0,所以g(x) =0有唯一解Xo, Ax)有唯一极值点Xo,由 %限。= 1 = ex=, x0f(Ab) =一照=1一( + %o).又给)=j,g(l) = e 1 0=- Ab+ Ab|.B组新高考培优练6 .解：由/(x) =x ev(xR)可得(x) = (l + x)e：令/(x)=0,得x= -1,则有X(18, 1)1(L +)f(X)0+/(x)极小值所以Ax)min = F( 1)= 小=士 F(x)无最大值.即八x)的值域为二+8). e
8、L eJ(2) F(力=f(x) g(x) =x exk In (x+1) (x一 1),则 F(0) =0, F (x) = (1 + x) e =(x+1)2，eX-fc. x+l x+1令 C(x) = (x+l)2 e1则 C (x) =(x?+4x+3) e= (x+1) (x+3) e0 在(一1, +) 上恒成立，所以G(x)在(一1, +8)上单调递增，所以G(x)G( 1) =0在(-1, +8)上恒成立.当AW0时，可知()0,即网x)在(一1, +8)上单调递增，即此时/()有唯一零点. 当在0时,令严(%)=0,则(x+1)2 合一 1=0,所以存在唯一的 (一1, +
9、8),使得b(族)=0,且当不(一,照)时，F (x)0, Fx) 单调递减，当(xo, +8)时，F (x)0, Hx)单调递增，所以月(x)min = (xo) =%()诃。-4 In (xo+1),当衣=1时，%o=O, F()min = F(O)=O,此时x)有唯一零点.当(KK1 时，因为 G(0)=l,所以当不(一1, 0)时，0G(x)l,故一lxoO,所以 F()min = F(Ab)-e-，+ l0,i所以尸(x)在(-l + e，照)上存在一个零点，此时尸(x)共有2个零点.当衣1 时，Ab0, F()min = 7?(Ab) k(e-1+efe A) A(eAA) A0,
10、 所以b(x)在(x。，一1 +J)上存在一个零点，此时分(x)共有2个零点.综上，当4W0或A=1时，尸(x)有唯一零点；当0人1或e1时，Nx)有2个零点.7. (1)解：/(x) = (l x)e令(%) =0,解得x=L当x变化时，(x), Mx)的变化情况如下表：X(8, 1)1(L +)f(X)+0f(x)极大值所以Hx)的单调递增区间为(一8, 1),单调递减区间为(1, +8).函数F(x)在x=l处取得极大值，且人1)= 士无极小值.e(2)证明：由题意可知 g(x)=f(2 x),得 g(x) = (2 x)e,令令x) =fx g(x),即令x)=令一2) e尸于是广(x
11、) = (xl)(，- l)el时，2.一20,从而e2Nio.又？一，0,所以(x)0,从而函数尸(x)在1, + 8)上单调递增.又尸(1) =e e = (),所以xl时,有尸3尸=0,即F(x)g(x).(3)证明：若(小一1)(生-1) =0,由(1)及Hm) =Hx2),得小=至=1.与小Zx2矛盾.若(X 1)(X21) 0,由(1)及得 X = X2.与 X1WX2 矛盾.根据得(小一1)(后一1) 0,不妨设为1.由(2)可知,f(x/g(x2),又 g(及)=f(2A2)，所以 f(x2)f(2x2),从而 f(xi) f(2 X2).因为矛21,所以2 X22 X2,即 Xi + x22.