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1、 考点51 坐标系与参数方程一、 填空题1.(2018北京高考理科T10)在极坐标系中,直线cos+sin=a(a0)与圆=2cos相切,则a=.【命题意图】本小题主要考查极坐标系中曲线方程,以及直线与圆的位置关系,意在考查集合表示法的转化与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】由极坐标与直角坐标的互化公式得,在平面直角坐标系中,已知直线的方程为x+y=a即x+y-a=0(a0),极坐标下的方程=2cos两边同乘可化为2=2cos,故直角坐标系下的方程为x2+y2=2x配方化为(x-1)2+y2=1,因为直线与圆相切,所以圆心(1,0)到直
2、线x+y-a=0的距离等于圆的半径,即d=1,所以a=1,又a0,所以a=1+.答案:1+2.(2018天津高考理科T12)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则ABC的面积为.【命题意图】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系,直线与圆的相交弦长的求法,点到直线的距离以及三角形面积的求法,考查数形结合思想以及运算求解能力.【解析】将直线的参数方程化成普通方程得:x+y-2=0,又因为圆x2+y2-2x=0的圆心C的坐标为C(1,0),半径r=1,所以圆心C到直线的距离d=,|AB|=2=2=.所以ABC的面积S=|AB|h=|AB
3、|d=.答案:二、解答题3.(10分)(2018全国卷I高考文科T22) 同(2018全国卷I高考理科T22) 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解析】(1)由x=cos,y=sin,x2+y2=2得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1
4、,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.所以k=-,所以C1的方程为y=-|x|+2.4.(2018全国卷I
5、I高考理科T22)同 (2018全国卷II高考文科T22) 选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程.(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标以及与普通方程的转化,意在考查考生的化归与转化能力.【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos0时,l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2
6、cos+sin)t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.5.(2018全国高考理科T22) 同(2018全国高考文科T22) 选修44:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直线与曲线的位置关系,考查转化与化归能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素
7、养.试题难度:中.【解析】(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan=k,则l的方程为y=kx-.l与O交于两点当且仅当1,解得k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数,).设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin+1=0.于是tA+tB=2sin,tP=sin.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数,).6.(2018江苏高考T21C)选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin=2,曲线C的方程为=4cos,求直线l被曲线C截得的弦长.【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cos,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为sin=2,则直线l过A(4,0),倾斜角为,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则OAB=.连结OB,因为OA为直径,从而OBA=,所以AB=4cos=2.因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.