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1、 考点51 坐标系与参数方程一、 选择题 无二、 填空题 无三、 解答题1.(2020全国卷高考文科T22理科T22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.【命题意图】本题考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程与直角坐标方程互化,合理消元是解题的关键,要注意曲线坐标的范围,考查计算求解能力,属于中档题.【解题指南】(1)利用sin2t+cos2t=1消去参数t,
2、求出曲线C1的普通方程,即可得出结论;(2)当k=4时,x0,y0,曲线C1的参数方程化为x=cos2ty=sin2t(t为参数),两式相加消去参数t,得C1普通方程,由cos =x,sin =y,将曲线C2化为直角坐标方程,联立C1,C2方程,即可求解.【解析】(1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:x=cos4t,y=sin4t,消去参数t得C1的直角坐标方程为x+y=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由x+y=1,4x-16y+3=0解得x=14y=14.故C1与C2的公
3、共点的直角坐标为14,14.2.(2020全国卷文理科T22)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.【命题意图】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】(1)由cos 2+sin 2=1得C1的普通方程为:x+y=4(0x4);由x=t+1ty=t
4、-1t得x2=t2+1t2+2y2=t2+1t2-2,两式作差可得C2的普通方程为:x2-y2=4.(2)由x+y=4x2-y2=4得x=52y=32,即P52,32,设所求圆圆心的直角坐标为(a,0),其中a0,则a-522+0-322=a2,解得:a=1710,所以所求圆的半径为1710,所以所求圆的直角坐标方程为:x-17102+y2=17102,即x2+y2=175x,所以所求圆的极坐标方程为=175cos .3.(2020全国卷文理科T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2y=2-3t+t2(t为参数,且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求AB;(2)以
5、坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.【命题意图】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程.【解析】(1)令x=0,则t2+t-2=0,解得t=-2或t=1(舍),则y=2+6+4=12,即与y轴的交点为(0,12).令y=0,则t2-3t+2=0,解得t=2或t=1(舍),则x=2-2-4=-4,即与x轴的交点为(-4,0).所以AB=(0+4)2+(12-0)2=410.(2)由(1)可知kAB=12-00-(-4)=3,则直线AB的方程为y=3(x+4),即3x-y+12=0.由x=cos ,y=sin 可得,直线AB的极坐标方程为3cos -sin +12=0.4.(2020江苏高考T21)B.在极坐标系中,已知点A1,3在直线l:cos =2上,点B2,6在圆C:=4sin 上(其中0,02).(1)求1,2的值;(2)求直线l与圆C的公共点的极坐标.【命题意图】本题主要考查极坐标公式及极坐标的意义、极坐标的求法.【解析】(1)1=2cos3=4,2=4sin6=2.(2)联立得4sin cos =2得sin 2=1,因为0,02,所以=4,=22,所以公共点的极坐标为22,4.