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1、 考点51 坐标系与参数方程一、选择题1.(2019北京高考理科T3)已知直线l的参数方程为x=1+3t,y=2+4t(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是()A.15B.25C.45D.65【命题意图】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离的求法,考查数形结合思想以及运算求解能力.【解析】选D.将直线l化为直角坐标方程为x-13=y-24,即4x-3y+2=0,所以点(1,0)到直线l的距离是|41-30+2|42+32=65.二、填空题2.(2019天津高考理科T12)设aR,直线ax-y+2=0和圆C:x=2+2cos,y=1+2sin(为参数)相切,则a的值为.【
2、命题意图】本题考查参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系,考查数形结合思想以及运算求解能力.【解析】将圆的参数方程x=2+2cos,y=1+2sin(为参数)化成普通方程得:(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心C的坐标为C(2,1),半径r=2,所以圆心C到直线的距离d=|2a-1+2|a2+12=2,解得:a=34.答案:34三、解答题3.(2019全国卷理科T22同2019全国卷文科T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2y=4t1+t2(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +3sin +11=0
3、.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.【解题指南】求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.(1)利用代入消元法,可求得C的直角坐标方程;根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程;(2)利用参数方程表示出C上点的坐标,根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从而根据三角函数的范围可求得最值.【解析】(1)因为-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的
4、直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin为参数,-0)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程.(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.【命题意图】考查坐标系与参数方程以及数学运算的能力.较难题.【解析】(1)因为M0,0在C上,当0=3时,0=4sin3=23.由已知得|OP|=|OA|cos3=2.设Q(,)为l上除点P外的任意一点.在RtOPQ中,cos-3=|OP|=2,经检验,点P2,3在曲线c
5、os-3=2上.所以,l的极坐标方程为cos-3=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是4,2.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,4,2.5.(2019全国卷理科T22同2019全国卷文科T22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程.(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP
6、|=3,求点P的极坐标.【命题意图】本题考查极坐标,考查考生圆的极坐标方程的求法,利用极坐标方程的运算求解能力.【解析】(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的极坐标方程为=2cos 04,M2的极坐标方程为=2sin 434,M3的极坐标方程为=-2cos 34.(2)设P(,),由题设及(1)知若04,则2cos =3,解得=6;若434,则2sin =3,解得=3或=23;若34,则-2cos =3,解得=56.综上,点P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.6.(2019江苏高考T21B)B.选修4-4:
7、坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点A3,4,B2,2,直线l的方程为sin+4=3.(1)求A,B两点间的距离.(2)求点B到直线l的距离.【命题意图】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.【解题指南】(1)由题意,在OAB中,利用余弦定理求解AB的长度即可.(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标,然后根据点B的坐标结合几何性质可得点B到直线l的距离.【解析】(1)设极点为O.在OAB中,A3,4,B2,2,由余弦定理,得AB=32+(2)2-232cos2-4=5.(2)因为直线l的方程为sin+4=3,则直线l过点32,2,倾斜角为34.又B2,2,所以点B到直线l的距离为(32-2)sin34-2=2.