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1、2021年湖南省娄底市中考数学试卷（附答案）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.2021的倒数是（）A.2021 B.-20212.下列式子正确的是（）A.a3-a2-a B.（1）=/-D-2021 2021c.a3-a2=a6 D.(=/3.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚.5万用科学记数法表示为（）A.0.5xlO5 B.5xl04C.50 xl04 D.5xl054.一组
2、数据170,5,8,5,15的中位数和众数是（）A.5,5 B.8,5 C.9,5 D.10,55.如图，点 在 矩 形ABC。的对角线BO所在的直线上，B E =D F，则四边形A E C F是()A.平行四边形 B.矩形C.菱形D.正方形6.如图，A B/C D,点瓦尸在AC边上，已知NCE0=7O。，ZBFC=1 3 0,则N 3+N O的度数为（）A.40B.50C.60D.707 .从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为()8 .2,5,根是某三角形三边的长，则+&m-7)2
3、等 于()A.2 m-1 0 B.10-2 m C.10 D.49 .如图，直线y =和 丁 =丘+4与x轴分别相交于点A(4,0),点8(2,0),则x+b 0依+4 0解 集 为()x 2C.x2D.x0,%0)的性质表述中，正确的是()a+xy随x的增大而增大；y随x的增大而减小；0 y l；0 J1A.B.C.D.试卷第2页，总7页212 .用数形结合等思想方法确定二次函数y =炉+2的图象与反比例函数y =的图象的交点的横坐标与所在的范围是（3D.XQA.0 =B E.忸(1)求证：A B E四 A C。；(2)求证：E F2=B E2+C F2；(3)如图,作A/_ L B C,垂
4、足为H,设N E 4 H=a,4FA H =0,不妨谈A B =6，c “l c /c、t a n a +t a n 请 利 用(2)的结论证明：当e +/=4 5 时，tan(a+)=-J 成立.1 -t a n a -t a n p2 6.如图，在直角坐标系中，二次函数)=/+加+。的图象与x轴相交于点A(-l,0)和点8(3,0),与)，轴交于点C.(1)求 氏c的值;试卷第6页，总7页(2)点 为 抛 物 线 上 的 动 点，过P作X轴的垂线交直线/：y =x于点。.当0(加3时，求当P点到直线/：y =x的距离最大时加的值；是否存在相，使得以点。、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不
5、存在，请说明理由；若存在，请求出，的值.参考答案1.c【分析】直接根据倒数的定义就可选出正确答案.【详解】A：倒数是本身的数是1和-1,选项错误.B：-20 21是20 21的相反数，选项错误.C：20 21 x!=1,选项正确.20 21D：20 21 x（一 击）=一1,选项错误.故选：C【点睛】本题考查倒数的定义，要注意区别相反数等相关知识，牢记定义是解题的关键.2.B【分析】根据基的乘方，底数不变，指数相乘;同底数幕相乘，底数不变指数相加;合并同类项法则.对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可.【详解】A、。3一/=。，因为/和/不属于同类项，不能进行加减合并，故A错误；B、
6、（/丫=22*3=*,故8正确；c、/./=a 3+2=a 5,故c错误；D、（a2）3=a2x 3=fl6,故 D 错误.故选：B.【点睛】本题考查基的乘方、同底数基的乘法、合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.3.B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为“X i o n,其中上同1 0,为整数，据此判断即答案第1页，总22页可.【详解】解：5 75=50000=5 xlO4.故选：B.【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定。与的值是解题的关键.4.C【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位
7、数;众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5,5,8,10,15.17,因此中位数为：=9,众数为：5,2故选：C.【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，熟悉基础概念是解题的关键.5.A【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状.【详解】解：由题意：A D/B C,ZADB=NCBD,NFDA=/E B C,又AD=BC,BE=DF,.-.ADFCBE(SAS),答案第2页，总22页AF=EC,ZAFD=ZCEB,:.AF HEC,四边形AECb为平行四边形，故选：A.【点睛】本题
8、考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌握平行四边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件.6.C【分析】取 的 交 点 为 点G,过点G作平行于C。的线M N,利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解.【详解】解：取 的 交 点 为 点G,过点G作平行于CO的线M N,如下图：C*-7 *根据题意：NCEO=70。，Z5FC=130,:.NEFG=50。,NEGF=180-50-70=60,-,-MN/CD/AB,ZB=NBGN,ND=NDGN,：.ZB+ZD=ZBGN+ZDGN=NBGD,.。,8斤相交于点6,:.NEGF=NBG
9、D=60。,:.ZB+ZD60,答案第3页，总22页故选：c.【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解.7.B【分析】分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆，再根据概率公式求解即可.【详解】解：.分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为2_j_4-2 1故选：B.【
10、点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是：首先判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形，然后利用概率公式求解.8.D【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论.【详解】解：:2,3,机是三角形的三边，5 2/?i5+2,解得：3x0.观 察 图 像 可 知,c 解集为T x 0,%0）,此a+x a+xQ+R a+x时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可.【详解】1 a +x a-x。+工又。0,x 0,，随着X的增大，。+九也会随之增大,答案第6页，总22页随着X的增大而减小,a+x此 时 与 越 来
11、越 小，则1 -L越来越大，a+x Q+X故随着X的增大y也越来越大.因此正确，错误；：a 0,x 0 ,A 0 1,a+x：.0 1-1,a+x故0 y 1,因此正确，错误：综上所述，A选项符合.故选：A.【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是将已知函数的形式进行化简整理转化为反比例函数进行判断.1 2.D【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标/所在的范围.【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：答案第7页，总22页01 2 3(HJ由图知，显然g Xo l,3 2当天=时，将其分别代入、=%2+2与丁=一计算得；4 x9。4 1
12、 2 8Y =7 7 +2 =左，W1 6 1 6 9 3，48 4 1 5 n此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，3一 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数.【详解】由题意得:x-1 0,解得：x l,故答案为：X1.【点睛】答案第8页，总22页本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数.对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实
13、际问题有意义.14.100.【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可.【详解】解：设扇形圆心角度数为“,014=20,AB=40，在扇形AQ B中，,.在扇形 COD中，OC=O A+AC=20+30=50,360CD=2 coe=2 万*5 0*上=100360 360故答案为：100.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解.15.1【分析】将AABC的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出P E+P E 的值.【详解】解：连接A P,如下图：答案第9页，总22页V PE L A B于点E,
14、PF，AC于点尸，S.ABC=S.APC+S.APB=1S /AifP CC+S nArPt iI I=-2A C-PF+-2A B PEv A B =A C =2,S APC+S pB=PF+PE=1,；.PE+PF=1，故答案是：1.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将A 5 C的面积拆成两个三角形面积之和来解答.16.3.【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可.【详解】又:-3/+1 =0，二尸+1 =3,n I 产+1 3 f .t t t故答案为：3.【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进
15、行变形再利用已知方程进行简便运算.答案第10页，总22页17.15.【分析】根据同角的余角相等得到NAB4=Ncc,进一步根据三角函数求解即可.【详解】解：如图所示，A 5 L A Z）且四边形A3CO 为平行四边形，二 A!B 1BC,ZA B C =ZABC+ZABA=90，又：BE工AB,二 A ABE=A ABC+Za=90,，NABA=N a,A A：.sin ZABA=sin a =0.05,AB又:AB=300mm,A4=ABsinZABA=300 x0.05=15 mm.故答案为：15.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角
16、函数关系求值.18.【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作Ir a d,当6=6 0。时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小.【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作Irad,答案第11页，总 22页当=60时-，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径,圆心角所对的弧长比半径大,:.a 7 6 65m+5 0 0 0,二卬随，的增大而增大，答案第15页，总22页，m=5 4时，w有最小值，最小值为7 7 0元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
17、（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出w关 于 的 函 数解析式和一元一次不等式组.2 4.（1）见详解；（2）AC2=AD.NC.【分析】（1）根据直径所对的圆周角为9 0。，MB=ME，以及8D是N A B C的角平分线，推导出各个角度之间的关系，等量代换即可证出；（2）由圆周角相等推导出所对应的弧相等进一步得到弦相等，据此得出AADC为等腰三角形，再根据N尸 以 及（1）中的N M 6 C=9 0。，进一步通过推导角度关系得到ZN =ZEBC=ZABE=ZDCA,a w 4 c为等腰三角形，再根据子母型相似得到AADCSNAC,最终根据相似三角形的
18、性质即可得出AC2=ADNC.【详解】（1）如图所示，MB=ME.BD是NABC的角平分线,:/M BE=NMEB，ZABE=NEBC，又 BC为直径,/.N 胡 C=90,/.ZABE+ZMEB=9O,二 NEBC+/MBE=9O,即8M与。相切.答案第16页，总22页(2):ZABE=NEBC,*-AD=C D，:.AD=CD,：.ZDAC=ZDCA,，AA。为等腰三角形，又./8DC=9(),，NBDN=90。，NN+/NG=90。，又,：/NGD=/B G F,且 由(1)可得NMBC=90。，NF/BM,：.NNFB=90,即 NN=/EBC=/ABE=/DCA,/F,在MACOF中
19、，根据勾股定理，O f2=c r)2+CF2即可；答案第17页，总22页(3)将 ABE逆时针绕点4 旋转90。到 ACD,由 ABC为等腰直角三角形，可求/b=90。,由48=夜，在 RA ABC中由勾股定理3 c =2，由AHL8C，可求BH=CH=4=1,可表示尸=12恒+12巾,8=1七111%7?=1皿1 1 或，可证A4E尸四ZkA。尸(SAS),得至ij EF=。尸，由EF-=BE2+CF2可得(tana+tan/?)2=(1-ta n a)2+(1-ta n前,整理即得结论.【详解】(1)证明：:ABC是等腰直角三角形，：.AB=AC,ZBAC=90,NABC=N4CB=45。
20、，JCDLBC,：.ZDCB=90,：.ZDCA=90-ZACB=90-45=45o=ZABE,在 ABE和 4 8 中，AB=AC(SAS),(2)证明:ABE四AC。，ZBAEZCAD,AE=AD,：ZEAF=45,：.ZBAE+ZFAC=900-ZEAF=90o-45o=45,：.ZFAD=ZFAC+ZCAD=Z FAC+ZBAE=45=ZEAF,在人七尸和 AOF中，AE=AD=45,ZDCF=ZDCA+ZACF=45o+45o=90,:AB=6,AC=AB-5/2，在Rm ABC中由勾股定理BC=JAB-AC?=J(及+(V2)2=2VAH1BC,.BH=CH=AH=-B C =,2
21、 EF=EH+FH=AHtana+AH tan/?=tana+tan,BE=BH-EH=1 -tana,CF=CH-HF=1 -tan,/ZEAF=45,ZBAE+Z CAF=90-Z EAF=45,；NDAF=NDAC+N CAF=NBAE+N CAF=45*NEAF,在 AE尸和 AO尸中，AE=AD NEAF=NDAF,AF=AF：./AEF/ADF(SAS),：.EF=DFf在肋CO尸中，2=。2+。尸2即 所2=8石2+。/2,(tan a+tan 诉=(l-tanof)2+(1-tan/，整理得 2 tan。tan 尸=l-2tana+l-2tan，即 tan a tan/?=1
22、tan a tan(3,tan cr+tan/?=l-tan a tan 万，.tan 空tan 0=ta n 45。=t an(。+),1 -tan a-tan(3答案第19页，总22页tan(a+)=tana+ta”1 -tan a-tan 0【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，三角形旋转变换，勾股定理，锐角三角函数及其公式推导，掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键.326.(1)b=-2,c=-3；(2)m =；不存在，理由见解析2【分析】(1)将 A(1,0),B(3,0)代 入 尸 可 求 出 答 案；(2)设点P(?，加 2-2?-3),则
23、点。(加，加)，再利用二次函数的性质即可求解；分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论.【详解】解：(1);抛物线产/+版+与/轴交于点4(-1,0),B(3,0),.J l-/?4-C=09+3+c=0 b=2解得：,/.h=-2,c=-3；(2)由(1)得，抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3,设点 P(nz,m2-2m-3),则点。(加，机)，0/n3,(3 Y 21PQ=m-於-2机-3)=-户+37n+3=-m-4-,I 2)4V-l0,.当加=三3 时，PQ有最大值，最大值为2巴1；2 4 抛物线的函数表达式为：y=x-2x-3,答案第20页，总22页AC(0,-3),，OB=O
24、C=3,由题意，点 尸（机，m2-2m-3）,则点Q（加，机）,:PQI/OC,当 OC为菱形的边，则 PQ=OC=3,当点。在点尸上方时，PQ=n r+3m+3=3，即-m?+3m=0，/.m（m-3）=0,解得机=0 或加=3,当相=0 时，点尸与点。重合，菱形不存在，当初=3 时，点 尸与点B 重合，此时BC p2OC=35/2 w O C，菱形也不存在;当点。在点尸下方时，若点Q 在第三象限，如图，NCOQ=45。,答案第21页，总22页根据菱形的性质NCO C=/POe=45。，则点P与点4重合,此时。4=lw O C=3,菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，C/同理，菱形不存在，综上，不存在以点0、C、尸、。为顶点的四边形是菱形.【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键.答案第22页，总 22页