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1、2022年湖南省娄底市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共12小题，每小题3 分，满 分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1.（3分）2 0 2 2 的倒数是（）2.A.2 0 2 2B.-2 0 2 2（3分）下列式子正确的是（c 2022D.12022)A.3 2 5B.(a2)3a5D.a 3+a2=a53.（3分）一个小组1 0 名同学的出生月份（单位：月）如下表所示:C.Cab)2=加编号1234567891 0月份26861 047887这组数据（月份）的众数是（）A.1 0B.8C.7D
2、.64.（3分）下列与2 0 2 2 年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）5.（3分）截 至 2 0 2 2 年 6月 2日，世界第四大水电站一一云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5 0 0 0 亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.5 2 亿吨，减排二氧化碳约4.1 6 亿吨.5 0 0 0 亿用科学记数法表示为（）A.50X IO10 B.5X1O11 C.0.5X1O12 D.5X 10126.(3分)一条古称在称物时的状态如图所示，已知N 1=80,则/2=()I 1 1 A -1-1-C.-1 0 1 2 D.-I 0 1 28.（3分）将直线y=2x+l向上平移2个单位，相
3、 当 于（）A.向左平移2个单位 B.向左平移1个单位C.向右平移2个单位 D.向右平移1个单位9.（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（）10.（3分）如图，等边 ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边aA B C的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与A2C的面积之比是（）A.近 兀-B.近 C.立兀,D.近18 18 9 911.（3 分）在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，已知点P（加，1）、Q
4、（1,m）（胆 0 且相片1）,过点P、。的直线与两坐标轴相交于A、8 两点，连接OP、0 Q,则下列结论中成立的有（）点尸、。在反比例函数=典的图象上；xAOB为等腰直角三角形；0 ZPOQ0,N 0 时，lgM+lgN=lg（M N）.例如：依3+这5=如 5,则（这 5）2+/g5X/g2+/g2的 值 为（）A.5 B.2 C.1 D.0二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，满 分18分）13.（3 分）函数y=-L-的自变量x 的取值范围是_ _ _ _ _ _.Vx-l14.（3 分）已知实数XI,X2是 方 程/+X-1=0 的两根，则 XU2=.15.（3 分）黑色袋子中
5、装有质地均匀，大小相同的编号为1 15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1 个球，则摸出的球编号为偶数的概率是.16.（3 分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是AO的黄金分割点，即 OE0.618AD延长，尸与A相交于点G,则 反 D E.（精确到0.001）1 7.（3分）菱形A B C D的边长为2,N 4 8 C=4 5 ,点 P、。分别是B C、B D上的动点,C Q+P Q的最小值为.1 8.（3分）如图，已知等腰 A B C 的顶角/BAC的 大 小 为 仇 点。为边BC上的动点（与8、
6、C不重合），将 绕 点 A沿顺时针方向旋转。角度时点。落在 处，连接.给出下列结论：4 C 丝A B。；ACBS/XA。；当8 =C 时，的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的应号）.三、解 答 题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）1 9.（6 分）计算：（2 0 2 2-n）+（A）+|1 -V 3 I -2 s i n 6 0 .2彳 32 0.（6分）先化简，再求值：（x+2+_ 红），其中x是满足条件xW2的合适的x-2 X2-4X+4非负整数.四、解 答 题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21.（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的 关于组织责任督学进行
7、“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10以上，B：8 10力，C：6 8%，D：6以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共 名;（2）a=.b=；（3）补全条形统计图.锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点尸处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm,即 尸。=3。开始训练时，将弹簧的端点。调在点B处，此时弹簧长尸3=4cm,弹力大小是100M经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点。调到点C
8、处，使弹力大小变为300 N,已知NPBC=120,求8 c的长.注：弹簧的弹力与形变成正比，即尸=H A x,A是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x o,在外力作用下，弹簧的长度为x,则A x=x-xo.五、解 答 题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）2 3.（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍 少4 m g,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为6 2?g.（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏
9、树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约5 0 0 0 0片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？2 4.（9分）如图，以B C为边分别作菱形B C O E和菱形B C F G （点C,D,广共线），动点A在以B C为直径且处于菱形8 C F G内的圆弧上，连接E F交B C于点O.设NG=&（1）求证：无 论。为何值，E F与 相 互 平 分：并请直接写出使E F L 8 c成立的0值.（2）当。=90时，试给出ta n乙4 B C的值，使得E尸垂直平分A C,请说明理由.六、综 合 题（本大题共2小题，每小题10分
10、，共20分）25.（1 0分）如图，已知8。是R t A B C的角平分线，点O是斜边A B上的动点，以点。为圆心，O B长 为 半 径 的 经 过 点。，与O A相交于点E.（1）判定A C与。的位置关系，为什么？(2)若 B C=3,8=旦，2求 s i nN OB C、s i nN A B C 的值；试用s i nN井B C和c os N Q B C表示s i nN A B C,猜 测s i n2a与s i na、c os a的关系，并用a=30给予验证.26.(1 0分)如 图，抛物线旷=12 -2x -6与x轴相交于点A、点B,与y轴相交于点C.(1)请直接写出点A,B,C的坐标；(
11、2)点P(m,)(0 w-2 解，得 xW2,解，得 x-1.所以原不等式组的解集为：-1 0,N 0 时，lgM+lgN=lg(MN).例如：Ig3+lg5=lg5,则 Qg5)2+/g5X/g2+/g2 的 值 为()A.5 B.2 C.1 D.0【解答】解：原式=/g5(Ig5+lg2)+lg2=lg5Xlg(5X2)+Ig2=lg5lgl0+lg2=lg5+lg2=/gl0=1.故选：C.二、填 空 题(本大题共6 小题，每小题3 分，满 分 18分)13.(3 分)函 数 y=J 的自变量x 的取值范围是 x .V X-1【解答】解：由题意得：X-10,解得：X1,故答案为：x.14
12、.(3 分)已知实数箱，无 2是方程/+X-1=0的两根，则 XU2=7.【解答】解：.方程f+x -1=0 中的。=人=1,c=-1,.XX2=一 1.故答案是：-L15.（3 分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1 15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1 个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 二.-1 5一【解答】解：由题意可得，从袋中随机摸出1 个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7 种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是工，1 5故答案为：工.1 516.（3 分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观,通过手绘（如图
13、）、测量、计算发现点E 是AO的黄金分割点,即DE-0.618A D 延长 H F 与 A D相交于点G,则E G 0.618 D E.（精确到0.001）【解答】解：.点E 是 A。的黄金分割点，且 O E R）.618AD,.班=唐 0.618,A D D E由题意得：EG=AE,.里 心 0.618,D E：.EG0.6WE,故答案 为:0.618.17.（3 分）菱形A8CZ）的边长为2,NABC=45,点尸、Q 分别是2C、2。上的动点,C Q+P Q的最小值为DA【解答】解：连接A Q,作 A/7LBC于”,.四边形ABC。是菱形，J.ABCB,ZABQZCBQ,:BQ=BQ,:.
14、ABQm ACBQ（SAS）,J.AQCQ,当点A、Q、P 共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，：AB=2,4 B C=4 5 ,:.A H=5；.CQ+PQ的最小值为&,故答案为：近.18.（3 分）如图，已知等腰A8C的顶角/B A C 的大小为。，点。为边BC上的动点（与8、C 不重合），将 AQ绕点A 沿顺时针方向旋转。角度时点。落在。处，连接.给出下列结论：*丝即；H C 8SZ A。；当BO=CD时，4。的面积取得最小值.其 中 正 确 的 结 论 有 （填结论对应的应号）.c4D【解答】解：由题意可知AC=A8,AD=AD,N C A D=N B A D,.AC。丝AB。，故正确
15、；：AC=AB,AD=AD,NBAC=ND AD=Q,.蛆=上，AD ADACBs 4）,故正确；V/A C B /A D D,.SAADDZ （AD）2,2AJiCB AC；当ADLBC时，AD最小，A。的面积取得最小值.而 AB=AC,：.BD=CD,.当8=C时，A的面积取得最小值，故正确；故答案为：.三、解 答 题（本大题共2 小题，每小题6 分，共 12分）19.（6 分）计算：（2022-n）+（A）+H-731-2sin60.2【解答】解：原式=1+2+愿-1 -2 X 1 12=1+2+73-1 -V3=2.,320.（6 分）先化简，再求值：（x+2+_红），其中x 是满足条
16、件xW 2的合适的x-2 X2-4X+4非负整数.2 3【解答】解：原式=（=1+工）+X 一x-2 x-2（x-2）2-x2.（x-2）2x-2 x，x-2x,W 0且X-2W 0,.xWO 且 xN2,，x=l,则原式=2=-1.1四、解 答 题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21.（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的 关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10/?以上，B：8/z-lO/z,C：6/z8儿D：6/z以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整
17、的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共 2 0 0名:（2）a=30,b=50；（3）补全条形统计图.【解答】解：（1）本次调查的学生共：105%=200（名）,故答案为：200；(2)a=_2 _X 1 0 0=3 0,人=1 2 2 x 1 0 0=5 0,2 0 0 2 0 0故答案为：3 0,5 0；2 2.（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm,即尸。=3 c m.开始训练时，将弹簧的端点。调在点B 处，此时弹簧长P8=4 c/m弹力
18、大小是1 0 0 M 经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点。调到点C处，使弹力大小变为300M已知N P 3 C=1 2 0。，求 B C的长.注：弹簧的弹力与形变成正比，即尸=4 ,k 是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为刈，在外力作用下，弹簧的长度为X,则A x=x-x o.JiC【解答】解：由题意可得,xo=3cm,1 0 0=攵(4-3),解得=1 0 0,/.F=1 0 0 A x,当尸=3 0 0 时，3 0 0=1 0 0 X(PC-3),解得 PC=6 cm,由图可得，ZM B=9 0 ,Z P B C=1 2 0 ,/
19、.ZAPB=30,:PB=4cm,；AB=2c，n,PA=p g2-A B2 =V 3 (cm),;PC=5cm,，A C=VPC2-PA2=(cm),：.B C=A C -A B=(2 6 -2)cm,即 BC 的 长 是(2A/6-2)cm.五、解 答 题（本大题共2 小题，每小题9 分，共 18分）2 3.（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍 少4 m g,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为6 2mg.（1）请分别求
20、出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约5 0 0 0 0 片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【解答】解：(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg,由题意得：刊=6 2,Ix=2 y-4解得 x=4 0,l y=2 2答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为4 0 相 g,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为2 2 m g；(2)5 0 0 0 0 X 4 0=2 0 0 0 0 0 0 (mg)=2kg,答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.2 4.(
21、9分)如 图，以 BC为边分别作菱形8 C C E 和菱形B C P G(点 C,D,尸共线)，动点A在以BC为直径且处于菱形8 C F G 内的圆弧上，连接E尸交8 C于点。.设 N G=8.(1)求证：无论。为何值，E F 与 B C相互平分；并请直接写出使EFJ_ B C 成立的。值.(2)当。=90 时，试给出t an/A 2 C 的值，使得E F 垂直平分AC,请说明理由.【解答】(1)证明：；四边形8 C F G,四边形8 C D E 都是菱形,C.C F/BG,C D/BE,C B=C F=C D=B G=B E,V D,C,F 共线，：.G,B,E 共线，：.DF/EG,DF=
22、GE,：.四边形D E G F是平行四边形，.EF与 5c互相平分.当 E R L f G 时，,;G F=B G=B E,：.EG=2GF,：.ZGEF=30 ,.-.e=90 -3 0 =6 0 ；(2)解：当tanNABC=2时，M垂直平分线段AC理由：如 图(2)中，设AC交EF于点J.四边形5CFG是菱形，：.ZG=ZFCO=9O0,r与8 c互相平分，:.OC=OB,:.CF=BC,:FC=20C,tan Z FOC=tan/ABC,/ABC=NFOC,：.OJ/AB,I OC=OB,CJ=AJi 8C是直径，：.ZBAC=ZOJC=90,E/垂直平分线段AC.六、综合题(本大题共
23、2小题，每小题10分，共20分)25.(10分)如 图，己知8。是RtZABC的角平分线，点。是斜边AB上的动点，以点。为圆心，0 8长为半径的。经过点。，与OA相交于点(1)判定AC与。的位置关系，为什么？(2)若 BC=3,8=旦，2求 sin/OBC、sin/ABC 的值；试用sinZDBC和 cosNDBC表示 sinNABC,猜测sin2a与 sina、cosa的关系，并用a=3 0 给予验证.【解答】解：（D 4 C 是。切线，理由如下:如图，连接。）,；.N O D B=N O B D,：B D是ABC的角平分线，:.N O B D=NDBC,:.Z O D B=/D B C,：
24、.OD/BC,.NOD4=NC=90,是O。的半径，S.ACLOD,；.AC是。的切线；(2)在 RtZBC 中，；BC=3,CD=-,2二二逃,32AB/)=VCD2+BC2=：.sin ZDBC=3CD 2B D 3 V 5如图2,连接OE,O D,过点。作。G_LBC于G,返52：.ZODC=ZC=ZCGO=90,.四边形OOCG是矩形，OG=CD=1,2：BE是。的切线，:.NBDE=9G,：.cos ZDBE=cos Z CBD,屁=里B D BE2：.BE=-,4OB=1.BE=-,2 8_3Asin N ABC=或=基=生0B 58.2sinNZ)BC cosN。8 c=2X 返
25、 X=匹,5 3以5 52，sinZABC2sin Z DBC,cos Z DBC；猜想：sin2a=2sinacosa,理由如下:当 a=30 时，sin2a=sin60=W 1,_ _ 22sinacosa=2X A x2 2 2sin2a=2sinacosa.26.(10分)如 图，抛物线y=L?-2x-6 与 x 轴相交于点A、点 3,与 y 轴相交于点C.2(1)请直接写出点A,B,C 的坐标;(2)点 尸(m,n)(0 w 6)在抛物线上，当?取何值时，PBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值.(3)点 F 是抛物线上的动点，作 FEAC交 x 轴于点E,是否存在点凡 使得以A
26、、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若不备用图【解答】解：(1)当x=0 时，y=-6,：.C(0,-6),当 y=0 时，-k?-2 x-6=0,2 x i=6,X2=-2,A A(-2,0),B(6,0)；设点尸(w,2-2m-6),2.SAPOC=-Q CP=-X 6I I1=3/M,S/B OP=y OB .|,y p|=3 (-ym2+2/n+6),V S A B oc=-l:SAPBC=S 四边形-SBOC=(SM O C+S OB)-SABOC=3，+3(-lm2+2/7?+6)-18=一 旦 Cm-3)2+2L,2 2,当 机=3
27、时，SZJBC最 大=&；2方法二：如图2,:B(6,0),C(0,-6),工直线8 C 的解析式为:y=x-6,AD(zn,tn-6),:.PD=(tn-6)-2m-6)=-2 2.SAPB C=lP D.0 B=y X6(-m2+3m)=(/w-3)乙 乙 乙 乙 乙当，”=3 时，S&PBC 鼠 大=；2当aACFE 时，AE/CF,.抛物线对称轴为直线：X=2电=2,2.Fl 点的坐标:(4,-6),如图4,当。A C E F时，作 尸G_LA E于G,；.FG=0 C=6,当 y=6 时，-kx2-lx-6=6,2.x i =2+2A/7 X2=2-1-1,：.Fi(2+2救，6),F3(2-2V7.6),综上所述：F(4,-6)或(2+2 4，6)或(2-2 4，6).