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1、精品文档 高二自主招生讲座（立体几何）一、空间想象 1、（2011“卓越联盟”）在正方体 ABCD A1 B1C1D1 中，E 为棱 AA1 的中点，F 是棱 A1B1 上的点，且 A1F:FB1 1:3,则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为（）(A)15(B)15(C)5(D)5 3 5 3 5 2、(同济 2004 自招)设四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 PA 平 面 ABCD。(1)求证：直线 PC 直线 BD；(2)过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于 点 E，如果三棱锥 E BCD 的体积取得最大值，求此时四棱锥 P A
2、BCD 的高。3、(2010 武大)有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一 个三棱锥。问 a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？。1欢迎下载 精品文档 4、（2007 复旦）已知四棱锥 P ABCD，底面 ABCD 是菱形，,平面,DAB 3 PD ABCD 线段 PD AD,点 E 是 AB的中点，点 F 是 PD 的中点，则二面角 P AB F 的平面角的 余弦值为（）1(B)2 5 (C)5 (D)3(A)5 7 7 2 14 14 空间余弦定理 如图，平面 M,N 相交于直线 l，A,D 为 l 上两点，射线 N C DB
3、 在平面 M 内，射线 DC 在平面 N 内。已知 BDC，D A BDA，CDA，且,都是锐角，是二面角 l M l N 的平面角，则 cos cos cos cos B M。sin sin 5、（2012“卓越联盟”）直角梯形 ABCD 中，ABC 90,AB AD AP 1,BC 2,面 ABP 垂直于底面 ABCD.P（1）求证：面 PAB 垂直于面 PBC；（2）若 PAB 120,求二面角 B PD C A D 的正切值 B C 。2欢迎下载 角的正弦值为同济自招设四棱锥中底面是边长为的正方形且平面求证直线直线过直线且垂直于直线的平面交于点如果三棱锥的体积取得最大值求此时四棱锥的高
4、武大有条长为的线段和条长为的线段用这条线段作为棱构成一个三棱锥中点则二面角底面是菱形平面的平面角的余弦值为空间余弦定理如图平面相交于直线为上两点射线在平面内射线在平面内已知且都是锐角是二面角的平面角则卓越联盟直角梯形中面垂直于底面求证面垂直于面若求二面角的正切值欢顶点的三个角分别为求的面和的面所成的二面角华南理工已知是某球面上不共面的四点且则此球的表面积等于三面角的性质三面角的任意两个角之和大于第三个角年清华四面体求证这个四面体的四个面都是锐角三角形设底面为另外精品文档 6、(2008 清华自招)(1)一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组 成一个三角形；(2)四面体的一个
5、顶点的三个角分别为 90o,60 o,arctan 2，求 60o 的面和 arctan2 的面所成的二面角。7、（2009 华南理工）已知 A、B、C、D是某球面上不共面的四点，且 AB BC AD 2,BD AC 2,BC AD,则此球的表面积等于 _.三面角的性质 三面角的任意两个角之和大于第三个角。8、(2009 年清华)四面体 A BCD，AB CD，AC BD，AD BC。(1)求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；(2)设底面为 BCD，另外三个侧面与面 BCD 所形成的二面角分别为，求证：cos cos cos 1。3欢迎下载 角的正弦值为同济自招设四棱锥中底面是边长为的正方
6、形且平面求证直线直线过直线且垂直于直线的平面交于点如果三棱锥的体积取得最大值求此时四棱锥的高武大有条长为的线段和条长为的线段用这条线段作为棱构成一个三棱锥中点则二面角底面是菱形平面的平面角的余弦值为空间余弦定理如图平面相交于直线为上两点射线在平面内射线在平面内已知且都是锐角是二面角的平面角则卓越联盟直角梯形中面垂直于底面求证面垂直于面若求二面角的正切值欢顶点的三个角分别为求的面和的面所成的二面角华南理工已知是某球面上不共面的四点且则此球的表面积等于三面角的性质三面角的任意两个角之和大于第三个角年清华四面体求证这个四面体的四个面都是锐角三角形设底面为另外精品文档 9（、2007 武大）在棱长为
7、a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F、M分别是 AB、BB1、A1D1的中点.D 1 C 1 A 1 M B 1（1）求证：CM 面 DEF；（2）求点 M 到平面 DEF 的距离.D F C A E B 10、（2009 华南理工）如图，在正三棱锥 P ABC 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E 为 BC 的中点,EF PA 于 F.P （1）求证：EF 为异面直线 PA 与 BC 的公垂线 （2）求异面直线 PA 与 BC 的距离；（3）求点 B 到面 APC 的距离 F A C E B 。4欢迎下载 角的正弦值为同济自招设四棱锥中底面是边长为的正方形且平面求证直线直线过直线且垂直于直线的平面交于点如果三棱锥的体积取得最大值求此时四棱锥的高武大有条长为的线段和条长为的线段用这条线段作为棱构成一个三棱锥中点则二面角底面是菱形平面的平面角的余弦值为空间余弦定理如图平面相交于直线为上两点射线在平面内射线在平面内已知且都是锐角是二面角的平面角则卓越联盟直角梯形中面垂直于底面求证面垂直于面若求二面角的正切值欢顶点的三个角分别为求的面和的面所成的二面角华南理工已知是某球面上不共面的四点且则此球的表面积等于三面角的性质三面角的任意两个角之和大于第三个角年清华四面体求证这个四面体的四个面都是锐角三角形设底面为另外