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1、2016年 7月 9日数学周测试卷 一、解答题（共 25小题；共 325分）1.如图，正方体 1111 的棱长为 2 （1）在图中找出平面，平面 11，平面 11 的一个法向量；（2）以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标 2.如图，在正方体 1111 中，求 与平面 11 所成角的余弦值 3.设 ，分别是两条异面直线 1，2 的方向向量，且 cos,=12，求异面直线 和 2 所成的角 4.如图，直三棱柱 ，=90，=2，=1，点 、分别为 和 的中点（锥体体积公式=13，其中 为底面面积，为高）（1）证明：平面；（2）求三棱锥 的体积 5.三棱锥 中，侧面 与底面
2、 垂直，=3 （1）求证：；（2）设 =2 3，求 与平面 所成角的大小 6.如图，和 所在平面互相垂直，且 =2，=120，分别为 ，的中点 （1）求证：；（2）求二面角 的正弦值 7.如图，四边形 为正方形，平面，=12 （1）证明：平面；（2）求棱锥 的体积与棱锥 的体积比值 8.如图，在 中，=90，=152，两点分别在 ，上，使=2，=3现将 沿 折成直二面角，求：（1）异面直线 与 的距离；（2）二面角 的大小（用反三角函数表示）9.如图，直三棱柱 111 中，分别是 ，1 的中点 （1）证明：1平面1；（2）设 1=2，=2 2，求三棱锥 1 的体积 10.如图，正四棱锥 的所有
3、棱长均为 2，分别为棱 ，的中点 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分
4、别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明（1）求证：平面，并求出直线 到平面 的距离；（2）求点 到平面 的距离 11.已知过球面上三点 ，的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 =6，=4计算球的表面积与体积 12.如图，三棱柱 111 中，点 1 在平面 内的射影 在 上，=90，=1，=1=2 （1）证明：11；（2）设直线 1 与平面 11 的距离为 3，求二面角 1 的大小 13.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，=2，=2，=5，,分别是棱,的中点 （1）证明：平面；（2）若二面角 为 60，证明：平面 平面；求直线 与平面 所成角的正弦值 14.如图，在四棱柱 1111 中，侧
5、棱 1底面，=1，=1=2，=5用向量法解决下列问题：（1）若 的中点为 ，求 1 与 所成的角；（2）求二面角 1 1（锐角）的余弦值 15.已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 =2，=1，平面，分别是线段 ，的中点 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别
6、是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 （1）证明：；（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面?若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由（3）若 与平面 所成的角为 45，求二面角 的余弦值 16.如图，直三棱柱 111 中，=，1=，为 1 的中点，为 1 上的一点，=31 （1）证明：为异面直线 1 与 的公垂线；（2）设异面直线 1 与 的夹角为 45，求二面角 111 的大小 17.已知在四棱锥 中
7、，=2=2，分别为 ，的中点 （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若 =，求二面角 的大小 18.如图，在直三棱柱 111 中，=4，=3，为 的中点 （1）求异面直线 1 和 的距离；（2）若 11，求二面角 1 1 的平面角的余弦值 19.如图 1，在等腰梯形 中，=12=2 =60，为 中点，点 ，分别为 ，的中点，将 沿 折起到 1 的位置，使得平面 1 平面（如图 2）原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的
8、正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 （1）求证：1 （2）求直线 1 与平面 1 所成角的正弦值（3）侧棱 1 上是否存在点 ，使得 平面 1，若存在，求处 11 的值，若不存在，说明理由 20.在正三角形 中，分别是 ，边上的点，满足:=
9、:=:=1:2（如图 1）将 沿 折起到 1 的位置，使二面角 1 成直二面角，连接 1，1（如图 2）（1）求证：1平面；（2）求直线 1 与平面 1 所成角的大小；（3）求二面角 1 的余弦值 21.如图，四面体 中，是 的中点，和 均为等边三角形，=2，=6 （1）求证：平面；（2）求二面角 的余弦值；（3）求 点到平面 的距离 22.如图，已知 平面，=4，=2，为等边三角形 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的
10、正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明（1）求证：平面 平面（2）求 二面角 的平面角的余弦值 23.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的菱形，=4，底面，=2，为 的中点，为 的中点，以 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以
11、下问题：（1）证明：直线 平面；（2）求异面直线 与 所成角的大小；（3）求点 到平面 的距离 24.如图，已知边长为 4 的菱形 中，=，=60将菱形 沿对角线 折起得到三棱锥，设二面角 的大小为 （1）当=90 时，求异面直线 与 所成角的余弦值；（2）当=60 时，求直线 与平面 所成角的正弦值 25.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，平面 平面，=，=，=90 （1）求异面直线 与 所成角的大小；（2）求二面角 的余弦值 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点
12、锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明答案 第一部分 1.（1）由正方体可得 1平面，平面11，平面 的一个法向量为 1，平面 11 的一个法向量为；连接 ，1，得 平面11，平面 11 的一
13、个法向量为 （2）如图，建立空间直角坐标系，可得 1(0,0,2)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)1=(0,0,2)，=(0,2,0)，=(2,2,0)2.以 ，1 为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 1(0,0,1)，1(1,1,1)，(0,1,0)，设平面 11 的法向量为 =(,)，则 11=0，1=0，解得 =(1,1,1)，=(1,1,0)，所以 与平面 11 所成角 cos=2 2 3=63 所以 与平面 11 所成角的余弦值是 33 3.因为 cos,=12，,0,，所以,=23 所以 1 和 2 所成的角为 3 4.（1）证法一：连接 ，
14、由已知=90，=，三棱柱 为直三棱柱，所以 为 中点 又因为 为 的中点，所以 又 平面，平面，因此 平面 证法二：取 中点 ，连接 ，因为，分别为 与 的中点，所以 ，所以 平面，平面，又 =，因此平面 平面，而 平面 因此 平面 （2）解法一：连接 ，如图，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面
15、角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 由题意得 ，所以 平面 又 =12 =1，故 =12=12=16.解法二：=12=16.5.（1）如图，取 中点 ，连接,=，又 侧面 底面，底面 又 =，=为直角三角形 （2）如图，取 的中点，连接,，则有 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面
16、直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明=12=3,=12(23)2+(23)2=6,=22=3,由（1）有 平面，再结合 =，可知 .平面 平面，又 =
17、3 是等腰直角三角形，取 的中点 ，连接,，则 ,又 平面 平面，且交线是 ，平面 即为 与平面 所成的角 =12=1232(3)2=62,=6,sin=12，=6，故 与平面 所成的角为 6 6.（1）法一：如图，过 作 ，垂足为 ，连 ，由 可证出 ，所以=2，即 又 ，因此 面，又 面，所以 法二：由题意，以 为坐标原点，在平面 内过 作垂直 的直线为 轴，所在直线为 轴，在平面 内过 作垂直 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为
18、和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 易得 (0,0,0),(0,1,3),(3,1,0),(0,2,0),因而(0,12,32),(32,12,0),所以=(32,0,32),=(
19、0,2,0),因此 =0，从而，所以 （2）法一：在图中，过 作 ，垂足为 ，连 ，由平面 平面，从而 平面，所以 又 ，所以 平面，从而 .因此 为二面角 的平面角；在 中，可得 =12=12 cos30=32,由 知 =34,因此 tan=2,从而 sin=2 55,即二面角 的正弦值为 2 55 法二：在图中，平面 的一个法向量为 1=(0,0,1)，设平面 的法向量 2=(,)，又=(32,12,0),=(0,12,32),由 2=0,2=0,得其中一个 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的
20、如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明2=(1,3,1),设二面角 的大小为 ，且由题意知 为锐角，则 cos=cos 1,2 =1 2 1 2=1 5,因 sin
21、=2 5=2 55,即二面角 的正弦值为 2 55 7.（1）由条件知 为直角梯形 平面，平面 平面，交线为 又四边形 为正方形，平面，可得 在直角梯形 中可得 =22,则 所以 平面 （2）设 =由题设知 为棱锥 的高，所以棱锥 的体积 1=133.由（1）知 为棱锥 的高，而 =2，的面积为 222，所以棱锥 的体积 2=133.故棱锥 的体积与棱锥 的体积比值为 1 8.（1）如图 1 中，因为=，所以 又因为=90，从而 在图 2 中，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为
22、和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 因 是直二面角，故 底面，从而 而 ，故 为异面直线 与 的公垂线 下面求 之长在图 1 中，由=2,得=23.又已知 =3，从而 =32=92
23、,=22=(152)2(92)2=6.因=13，故 =2.即异面直线 与 的距离为 2 （2）方法一：在图 2中，过 作 ，交 的延长线于 ，连接 由（1）知，底面，由三垂线定理知 ，故 为二面角 的平面角 在底面 中，=，所以 =2,=13152=52,因此 sin=45.从而在 Rt 中，=3,=sin=sin=125.在 Rt，中 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积
24、与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明=4,tan=53.因此所求二面角 的大小为 arctan53 方法二：如图 3，由（1）知，以 点为坐标原点，,的方向为,轴的正方向建立空间直角坐标系，则 (0,0,0),(0,0,4),(2,92,0),(0,3,0).所以=(2,32,0),=(0
25、,0,4),过 作 ，交 的延长线于 ，连接 设 (0,0,0)，从而=(0,0,0),=(0,03,0),由 ，有 =0,即 20+320=0,又由，得 02=0332,联立、，解得 0=3625,0=4825,即(3625,4825,0),得=(3625,4825,4),因为 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求
26、异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明=(3625)(2)+4825(32)=0,故 ，又因 ，所以 为所求的二面角 的平面角 因=(3625,4825,0)，有=(3625)2+(4825)2=125,=4,所以 tan=53.因此所求二面角 的大小为 arctan53 9.（1）连接 1 交 1 于 ，可得 1，又 面1，1面1，所以 1平面1
27、 （2）直棱柱 111 中，1面，所以 1，又 ，1=，所以 面1，所以三棱锥 1 可以把面 1 作为底面，高就是 =2，底面 1 的面积为 4 2 2 22 2=3 22，所以三棱锥 1 的体积为 3 22 2 13=1 10.（1）因为 ，分别为棱 ，的中点，所以 又 平面，平面，所以 平面 如图建立空间直角坐标系，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如
28、图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明则(2,0,0)，(0,2,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(22,22,0)，(22,22,0)，(0,22,22)设平面 的法向量为=(,)，=(0,2,0)，=(22,0,22)，可得=(1,0,1)，所以点 到平面 的距离为=12 即直线 到平面 的距离为
29、12 （2）因为=(3 22,22,0)，所以点 到平面 的距离为=32 11.如图，设球面的半径为 ，是 的外心，外接圆半径为 ，则 面 在 Rt 中，cos=26=13，则 sin=2 23，在 中，由正弦定理得 6sin=2，=9 24，即=9 24 在 Rt 中，由题意得 2142=81216，得 =3 62 球的表面积=42=4964=54 球的体积为 43(3 62)3=27 6 12.（1）1 平面，1 平面 11，故平面 11 平面 又 ，所以 平面 11 如图，连接 1，因为侧面 11 为菱形，故 11，由 平面 11 知 1，而 1=，故可得 1面1，所以 11 （2）平面
30、 11，平面 11，故平面 11 平面 11 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是
31、平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明作 11，为垂足，则 1 平面 11 又直线 1 平面 11，因而 1 为直线 1 与平面 11 的距离，1=3 因为 1 为 1 的角平分线，故 1=1=3 作 ，为垂足，连接 1，由题可知 1面，所以 1 因此，可知 面1，因此 1，故 1 为二面角 1 的平面角 由 =1212=1,得 为 的中点，=12=55,所以 tan1=1=15,所以二面角 1 的大小为 arctan 15 13.（1）如图，取 中点，连接 ，因为 为 中点，所以 为 中位线，所以 且 =12=，所以四边形 为平行四边形，因为 平面，平面，所以 平面 （2）连接
32、 ,因为 =，=，而 为 中点，故 ，所以 为二面角 的平面角 在 中，由 =2,=5,可解得 =2.中，由 =2,可解得 =1.在三角形 中，=2，=1，=60，由余弦定理，可解得 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点
33、的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明=3,从而=90，即 ，又 ，从而 ，因此 平面 又 平面，所以平面 平面；连接 ，由 知 平面 所以 为直线 与平面 所成的角，由 =3,=5,=2,得 为直角，而 =12=32,可得 =112，故 =112又 =1，故在 Rt 中，可得 sin=2 1111.所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 2 1111 14.（1）由 =，的中点为 ，所以 如图，以 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 (0,0
34、,0)，(1,0,0)，1(0,0,2)，(0,2,0)，(2,1,0)，1(1,0,2)，1(2,1,2)，(0,1,0)1=(0,2,2)，=(2,0,0)，因为 1=(0,2,2)(2,0,0)=0+0+0=0，所以 1，即 1 与 所成的角为 2 （2）设平面 1 与平面 1 所成的角为 ，平面 1 的法向量为=(1,1,1)，平面 1 的法向量为 =(2,2,1)1=(1,0,2)，1=(2,1,2)，=(0,2,0)由 1=0,=0,得 12=0,21=0,解得 1=2,1=0,所以=(2,0,1)，同理可得 =(1,0,1)，设的夹角为 ，则 cos=2+1 5 2=1010，由
35、图知 cos=cos=1010，所以二面角 1 1（锐角）的余弦值为 1010 15.（1）平面，=90，=1，=2，建立如图所示的空间直角坐标系，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且
36、计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 则 (0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,2,0)不妨令 (0,0,)，=(1,1,)，=(1,1,0)，=1 1+1(1)+()0=0，即 （2）如图所示，设平面 的法向量为 =(,)，由 =0,=0,得 +=0,=0.令 =1，得=2，所以 =(2,2,1)设 点坐标为(0,0,)(0 )，(12,0,0)，则=(12,0,)要使 平面，只需 =0，即(12)2+0 2+1=4=0，得=14,从而满足 =14 的点 即为
37、所求 （3）平面，是平面 的法向量，易得=(1,0,0)，又 平面，是 与平面 所成的角，得=45，=1，平面 的法向量为 =(12,12,1)，所以 cos,=1214+14+1=66,因为所求二面角为锐角，故所求二面角 的余弦值为 66 16.（1）法一：如图，连接 1，记 1 与 1 的交点为 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使
38、现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 因为面 11 为正方形，故 11，且 =1 又 =31，所以 =1，又 为 1 的中点，故 ，1 作 ，为垂足，由 =知，为 中点 又由底面 面11，得 面11 连接 ，则 1，故 ，易得 所以 为异面直线 1 与 的公垂线 法二：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，射线 1 为 轴正半轴
39、，建立如图所示的空间直角坐标系 设 =2，则 (2,0,0),1(0,2,0),(0,1,0),(12,32,0).又设 (1,0,)，则=(12,12,0),1=(2,2,0),=(1,1,).于是 1=0，=0，故 1，所以 为异面直线 1 与 的公垂线 （2）解法一：因为 1，故 为异面直线 1 与 的夹角，=45 设 =2，则 1=22,=2,=2,=3.如图，作 111，为垂足因为底面 111面11，故 1面11，又作 1，为垂足，连接 1，易得 11，因此 1 为二面角 111 的平面角 又 1=11112(1211)211=2 2 3,1=11212=33,1=22+(3)2=7
40、,=111=2 33 7,所以 tan1=1=14，所以二面角 111 的大小为 arctan 14 解法二：因为 1,等于异面直线 1 与 的夹角，故 1=1cos45,原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心
41、的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明即 22 2+2 22=4,解得 =2，故=(1,0,2)又 1=1=(0,2,0)，所以 1=+1=(1,2,2).设平面 11 的法向量为=(,)，则 1=0,1=0,即 +2+2=0,2=0.令=2，则 =1,=0，故=(2,0,1)设平面 11 的法向量为 =(,)，则 1=0,1=0,即 +2+2=0,22=0.令=2，则=2,=1，故 =(2,2,1)所以 cos,=1 15.由于 ,等于二面角 111 的
42、平面角，所以二面角 111 的大小为 arccos 1515 17.（1）因为 =，为 中点，所以 ，又 ，得 ，因为 ，都在平面 内，且 =，所以 平面 （2）连接 交 于点 ，连接 ，因为 平行且等于 ，所以 为 中点，又 为 中点，所以 ，因为 平面，平面，所以 平面；（3）取 中点 ，连接 ，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使
43、现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 若 =，设 =2，则 =，=3，所以 2+2=2，所以 又 ，=，所以 面，所以 又 ，所以 又 ，所以 即为所求二面角的平面角 因为 ，而=60，所以=60 18.（1）因为 =，为 的中点，故 又在直三棱柱中，1 平面，故 1，所以异面直线 1 和 的距离为 =22=5 （2）由 ，1
44、，1=，故 平面 11，从而 1，1，故 11 为所求的二面角 1 1 的平面角 因为 1 是 1 在平面 11 上的射影，又已知 11，由三垂线定理的逆定理得 11，从而 11，1 都与 1 互余，因此 11=1,所以 Rt 1 Rt 11 因此 1=111,得 12=11=8,从而 1=12+2=23,1=1=23,所以在 11 中，由余弦定理得 cos11=12+121122 1 1=13.19.（1）如图 1，在等腰梯形 中，由 ，=12=2，=60，为 中点，所以 为等边三角形，如图 2，因为 为 的中点，所以 1，又因为平面 1 平面，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如
45、图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明且平面 1 平面=，所以 1 平面，所以
46、 1 （2）连接 ，由已知得 =，又 为 的中点，所以 ，由(1)知 1 平面，所以 1，1 所以 1，两两垂直，以 为原点，1 分别为 ，轴建立空间直角坐标系（如图）因为 =2，易知 1=3，所以 1(0,0,3)，(1,0,0)，(0,3,0)，(1,0,0)，所以 1=(1,0,3)，1=(0,3,3)，1=(1,0,3)，设平面 1 的一个法向量为 =(,)，由 1=0,1=0,得 3 3=0,3=0,即 =0,+3=0,取 =1，得 =(3,1,1)，设直线 1 与平面 1 所成角为 ，则 sin=cos1,=3 32 5=3 5=155,所以直线 1 与平面 1 所成角的正弦值为
47、155 （3）假设在侧棱 1 上存在点 ，使得 平面 1 ，设 1=1，0,1，因为=1+1=1+1，所以=(1,0,3)+(0,3,3)=(1,3,3 3)，易证四边形 为菱形，且 ，又由问题(1)可知，1，所以 平面 1，所以=(1,3,0)为平面 1 的一个法向量，由 =(1,3,3 3)(1,3,0)=1 3=0，得=13(0,1)所以侧棱 1 上存在点 ，使得 平面 1，且 11=13 20.（1）在图 1 中，取 的中点 ，连接 原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三棱柱点分别为和
48、的中点锥体体积公式其中为底面面积为高证明平面求三求二面角的正弦值如图四边形为正方形平面证明平面求棱锥的体积与棱锥的体积比值如图在中两点分别在上使现将沿折成直二面角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示如图直三棱柱中分别是的中点证明平面设求三棱过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半且计算球的表面积与体积如图三棱柱中点在平面内的射影在上证明设直线与平面的距离为求二面角如图四棱锥的底面是平行四边形分别是棱的中点的大小证明平面若二面角为证明 因为:=:=1:2，所以 =2，而 =60，所以 是正三角形，又 =1，所以 ，在图 2 中，1，所以 1 为二面角 1 的平面角 由题设条件知此
49、二面角为直二面角，所以 1 又 =，所以 1平面，即 1平面 （2）建立分别以 ，1 为 轴，轴，轴的空间直角坐标系，则 (0,0,0)，1(0,0,1)，(2,0,0)，(0,3,0)，(1,3,0)，则 1=(0,0,1)，1=(2,0,1)，=(1,3,0)设平面 1 的法向量 1=(1,1,1)，由 1平面 知，1，1，即 211=0,1+31=0,令 1=3，得 1=1，1=2 3，1=(3,1,2 3)cos,1=1 1=3 0+1 0+2 3(1)3+1+12 0+0+1=32,所以直线 1 与平面 1 所成的角为 60 （3）=(0,3,1)，=(1,0,0)，设平面 的法向量
50、为 2=(2,2,2)由 2平面 知，2，2，即 22=0,322=0,令 2=1，得 2=0，2=3，2=(0,1,3)cos 1,2=1 2 12=3 0+1 1+2 3 3 3+1+12 0+1+3=78,所以二面角 1 的余弦值是 78 21.（1）连接 ，因为 为等边三角形，为 的中点，所以 ，因为 和 为等边三角形，为 的中点，=2，=6，所以 =3 在 中，因为 2+2=2，所以=90，即 ，因为 =，面 （2）解法一：过 作 于 ，连接 ，原点建立空间直角坐标系求出中三个法向量的坐标如图在正方体中求与平面所成角的余弦值设分别是两条异面直线的方向向量且角求异面直线和所成的如图直三