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1、学习必备 欢迎下载 D B A C 立体几何专题复习 1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（1）异面直线所成的角的范围是2,0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（2）直线与平面所成的角的范围是2,0。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中
2、计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面
3、上的射影是底面三角形的外心；b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c.如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指,0(，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条学习必备 欢迎下载 DBCAS射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线 得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜
4、足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：cos SS(S为原斜面面积,S为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线a的距离为点到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为，过作a的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线a的距离。在直角三
5、角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为nm:，则点，到平面的距离之比也为nm:特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线ba,间的距离为ba,间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线ba,的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线ba,间的距离找或作出分别过ba,且与b，a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线ba,间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只
6、存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。1.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值 （）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC 底面ABCD，得SO 底面ABCD 因为SASB，所以AOBO，又45ABC，故A O B为等腰
7、直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由2 2ADBC，3SA，2AO，线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平
8、面上的射影在这个角的平分线上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上学习必备 欢迎下载 O D B C A S A E B C F S D H G M 1A 1C 1B C B A M D E 得1SO，11SD SAB的面积22111222SABSAAB连结DB，得DAB的 面 积21sin13522SAB AD,设D到 平 面SAB的 距 离 为h，由 于DS A BSA BVV，得121133h SSO S，解得2h 设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD 2.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为
9、正方形，侧棱SD 底面ABCDEF，分别为ABSC，的中点（1）证明EF 平面SAD；（2）设2SDDC，求二面角A EFD的余弦值（1）作F GD C交SD于 点G，则G为SD的 中 点 连 结12AGFGCD，又CDAB，故FGAEAEFG，为平行四边形EFAG，又AG 平面SADEF，平面SAD所以EF 平面SAD 2）不妨设2DC，则42SDDGADG，为等腰直角三角形 取AG中点H，连结DH，则DHAG 又AB平面SAD，所以ABDH，而A BA GA，所以DH 面AEF取EF中点M，连结MH，则HMEF连结DM，则DMEF故DMH为二面角A EFD的平面角 2tan21DHDMHH
10、M 4.如 图，在 直 三 棱 柱111ABCABC中，90ACB，ACBCa，DE，分别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA上的点，二面角MDEA为30（I）证明：111ABC D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离（I）证明：连结CD，三棱柱111ABCABC是直三棱柱，1CC 平 面ABC，CD为1C D在 平 面ABC内 的 射影ABC中，ACBC，D为AB中点，线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下
11、找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上学习必备 欢迎下载 ABCD，1ABC D11ABAB，111ABC D （II）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF DE，分 别 为ABBC，的 中 点，DEAC/又AFC E/，CE
12、AC AFDEMA平面ABC，AF为MF在平面ABC内的射影 MFDEMFA为二面角MDEA的平面角，30MFA 在RtMAF中，122aAFBC，30MFA，36AMa 作AGMF，垂足为G，MFDE，AFDE，DE 平面AMF，平面MDE 平面AMF，AG平面MDE在RtGAF中，30GFA，2aAF，4aAG，即A到平面MDE的距离为4aCADE/，/CA平面MDE，C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为4a 解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MFDE，分别为ABBC，的中点，DEAC/又AFCE/，,CEAC AFDE MA平面ABC，AF是MF在平面A
13、BC内的射影，MFDE MFA为二面角MDEA的平面角，30MFA 在RtMAF中，122aAFBC，30MFA，36AMa 设C到平面MDE的距离为h，MCDECMDEVV 1133CDEMDESMASh 2128CDEaSCE DE，36MAa，211322cos3012MDEAFSDE MFDEa，221313386312aaah，4ah，即C到平面MDE的距离为4a 1.四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC 底面BCDE，1A 1C 1B C B A M D E F G C E A B 线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问题转化
14、为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上学习必备 欢迎下载 NMABDCO2BC，2CD，ABAC（）证明：ADCE；（
15、）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小 2.如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离 3.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线 AB与 MD所成角的大小；（）求点 B到平面 OCD的距离。4.如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面ABC 侧面11AABB.（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面1ABC所成的角为,二面角1ABCA
16、的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.1.解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，ABAC，AFBC，又面ABC 面BCDE，AF 面BCDE，AFCE F O G A C D E B 线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面
17、的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上学习必备 欢迎下载 2tantan2CEDFDC，90OEDODE，90DOE，即CEDF，CE面ADF，CEAD（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角 2 33AC CDCGAD，63DG，22303EGDEDG，6CE，则22210cos210CGGECECGECG GE，10 arccos10CGE，即二面
18、角CADE的大小10 arccos10 2.（）取AB中点D，连结PDCD，APBP，PDAB ACBC，CDAB PDCDD，AB平面PCD PC 平面PCD，PCAB（）ACBC，APBP，APCBPC 又PCAC，PCBC 又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC 取AP中点E连结BECE，ABBP，BEAP EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP BEC是二面角BAPC的平面角 在BCE中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE A C B D P A C B E P 线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问
19、题转化为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上学习必备 欢迎下载 二面角BAPC的大小为6arcsin3（）由（）知AB
20、 平面PCD，平面APB 平面PCD 过C作CHPD，垂足为H 平面APB平面PCDPD，CH平面APB CH的长即为点C到平面APB的距离 由（）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC CD 平面ABC，PCCD 在RtPCD中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD 332PDCDPCCH 点C到平面APB的距离为2 33 3.（1）取 OB中点 E，连接 ME，NE MECDMECD，AB,AB 又,NEOCMNEOCD平面平面 MNOCD平面 （2）CDAB,MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MP 平面ABCD，OACDMP 2
21、,42ADPDP=222MDMAAD，1cos,23DPMDPMDCMDPMD A C B D P H 线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线
22、上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上学习必备 欢迎下载 所以 AB与MD所成角的大小为3 （3）AB平面OCD,点 A和点 B到平面 OCD的距离相等，连接 OP,过点 A作 AQOP 于点 Q，,APCD OACDCDOAPAQCD平面 又,AQOPAQOCD平面,线段 AQ的长就是点 A到平面 OCD的距离 2222213 24122OPODDPOAADDP ，22APDP 222233 22OA APAQOP，所以点 B到平面 OCD的距离为23 4.（）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作 ADA1B于D，
23、则 由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得 AD 平面A1BC,又 BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC.（）解法 1：连接 CD，则由（）知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，1ABA是二面角A1BCA的平面角，即1,ACDABA 于是在 RtADC中，sin,ADAC 在 RtADB中，sin,ADAB 由ABAC，得sinsin，又02 ，所以 ，线所成的角的范围是求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位置顶点选择在特殊的位置上证法具体步骤如下找过斜线上一点与平面垂直的直线连结垂足和斜足得出斜线在平面的射影确定出所求的角把该角置于三角形中计算注斜线和平面所成的角是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角即为线面角为斜线与平面的射影上如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上如果一条直线与一个角的两边的夹角相等那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上两个平面相互垂直一个平面上