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1、学习必备 欢迎下载 文科立体几何 2003 年（本小题满分 12 分）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1 中点，点 P 为 BD1 中点.（1）证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线；（2）求点 D1 到面 BDE 的距离.2004 年（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD，DCPD，E是 PC 的中点。（1）证明/PA平面 EDB；（2）求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值。ADCBEP学习必备 欢迎下载 2005 年（本小题满分 12 分）如图，在斜三棱柱111CB
2、AABC 中，aBAAAACABACAABA1111,，侧面11BCCB与底面 ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱AACB111、的中点（）求AA1与底面 ABC所成的角（）证明EA1平面FCB1（）求经过CBAA、1四点的球的体积 2006 年（本题满分 12 分）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（）证明/平面；（）设，证明平面 ABCDEFOABCDCDE/12EFBCFOCDE3BCCDEO CDFC1B1A1ABCFE离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱
3、中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 2007 年（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）求和平面所成的角的大小；（）求二面角
4、的大小 2008 年（本小题满分 12 分）如 图，在 四 棱 锥ABCDP 中，底 面A B C D是 矩 形 已 知60,22,2,2,3PABPDPAADAB（）证明AD平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角ABDP的大小 2009 年（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，平面，平分，为的中点，PABCDPA ABCDABADACCD，60ABC PAABBCEPCPBPADA PDCPABCDPDABCDADCDDBADCEPC1,2 2ADCDDB离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年
5、本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 （1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值 2010 年（本
6、小题满分 12 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45.（）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；（）证明 CD平面 ABF；（）求二面角 B-EF-A的正切值。/PABDEAC PBDBCPBD离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图
7、在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 2011 年（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥中，底面为 平行四边形，为中点，平面，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正切值 2012 年（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，P
8、D=CD=2.（I）求异面直线 PA与 BC所成角的正切值；（II）证明平面 PDC 平面 ABCD；（III）求直线 PB与平面 ABCD 所成角的正弦值。PABCDABCD045ADC1ADACOACPO ABCD2PO MPDPBACMAD PACAMABCD3DCABPMO离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱
9、锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 2013 年（本小题共 14 分）如图，在四棱锥中，平面底面，。和分别是和的中点，求证：（）底面；（）平面；（）平面平面。PABCD/ABCDABAD2CDABPAD ABCDPAADEFCDPCPA ABCD/BEPADBEF PCDFCEADBP离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形
10、侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 文科立体几何答案
11、 2003 年（1）证法一：取 BD 中点 M.连结 MC，FM.F 为 BD1中点，FMD1D 且 FM=21D1D.又 EC21CC1且 ECMC，四边形 EFMC 是矩形 EFCC1.又 CM面 DBD1.EF面 DBD1.BD1面 DBD1.EFBD1.故 EF 为 BD1 与 CC1的公垂线.证法二：建立如图的坐标系，得 B（0，1，0），D1（1，0，2），F（21，21，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.,0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21,21(1111EFBDCCEFBDCCEF 即 EFCC1，EFBD1.故 EF 是为 BD1 与 CC1的公垂线
12、.（）解：连结 ED1，有 VEDBD1=VD1DBE.由（）知 EF面 DBD1，设点 D1到面 BDE 的距离为 d.3322322223)2(2321.22221,22,2.1,2.2111dSSEFEDBEBDABAAEFSdSDBEDBDDBDDBE则 故点 D1到平面 DBE 的距离为332.2004 年 方法一：（1）证明：连结 AC、AC 交 BD 于 O。连结 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 的中点。在PAC中，EO 是中位线 EOPA/离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如
13、图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 而EO平面 EDB 且/PA平面EDB，所以，/PA平面 EDB。（2）解：作DCEF 交 CD
14、 于 F。连结 BF，设正方形 ABCD 的边长为a。PD底面 ABCD DCPD PDEF/F 为 DC 的中点 EF底面 ABCD，BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，故EBF为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角。在BCFRt中，aaaCFBCBF25)2(2222 221aPDEF 在EFBRt中 55252tanaaBFEFEBF 所以EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为55 PEBCDAFO 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点。设aDC （1）证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G。连结 EG。依题意得)0,0,(aA，),0,0(aP，)2,2,
15、0(aaE 底面 ABCD 是正方形 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为)0,2,2(aa ),0,(aPA )2,0,2(aaEG EGPA2 这表明EGPA/而EG平面EDB且/PA平面 EDB /PA平面 EDB（2）解：依题意得)0,(aaB，)0,0(aC 取 DC 的中点)0,2,0(aF 连结 EF，BF )2,0,0(aFE，)0,2,(aaFB，)0,0(aDC 0 FBFE，0 DCFE FBFE，DCFE EF底面 ABCD，BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，故EBF为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角。在EFBRt中，2aFE，aaaFB25)2(2
16、2 离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的
17、正切值年本学习必备 欢迎下载 55252tanaaFBFEEBF 所以，EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为55。PEBCDAFGzyx 2005 年 解：（）过1A作HA1平面ABC，垂足为H 连结AH，并延长交BC于G，于是AHA1为AA1与底面ABC所成的角 ACAABA11，AG为BAC的平分线 又ACAB，BCAG，且G为BC的中点 因此，由三垂线定理BCAA1 BBAA11/，且BBEG1/，BCEG 于是AGE为二面角EBCA的平面角，即120 AGE 由于四边形AGEA1为平行四边形，得601 AGA（）证明：设EG与CB1的交点为P，则点P为EG的中点连结PF 在平行四
18、边形1AGEA中，因F为AA1的中点，故FPEA/1 而FP平面FCB1，EA1平面FCB1，所以/1EA平面FCB1（）连结CA1 在ACA1和ABA1中，由于ABAC，ACAABA11，AAAA11，则 ACA1ABA1，故BACA11由已知得aCABAAA111 又HA1平面ABC，H为ABC的外心 设所求球的球心为O，则HAO1，且球心O与AA1中点的连线AAOF1 PC1B1A1ABCFEGHO离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证
19、明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 在FOARt1中，3330cos21cos111aaHAAFAOA故所求球的半径aR33，球的体积33273434aRV 2006 年（I）证明：取 CD 中点 M，
20、连结 OM.在矩形 ABCD 中，OM 21BC，又 EF 21BC，则 EF OM，连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形.FOEM.又FO平面 CDE，且 EM平面 CDE，FO平面CDE.（II）证明：连结 FM.由（I）和已知条件，在等边CDE 中，CM=DM，.2123EFBCCDEMCDEM且 因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EOFM.CDEMCDOMCD,平面 EOM.从而 CDEO.而 FMCD=M，所以 EO平面 CDF.2007 年（）解：在四棱锥PABCD中，因PA 底面ABCD，AB 平面ABCD，故PAA B 又ABAD，PAADA，从而AB 平面PA
21、D故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角 在RtPAB中，ABPA，故45APB 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45（）证明：在四棱锥PABCD中，因PA 底面ABCD，CD 平面ABCD，故CDPA 由条件CDPC，PAACA，CD面PAC 又AE 面PAC，AECD 由PA ABBC，60ABC，可得ACPA E是PC的中点，AEPC，PCCDC综上得AE 平面PCD（）解：过点E作EMPD，垂足为M，连结AM由（）知，AE 平面PCD，AM=A B C D P E M 离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角
22、的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 在平面PCD内的射影是EM，则AMPD 因此AME是二面
23、角A PDC的平面角 由已知，可得30CAD 设ACa，可得 PAa，2 33ADa，213PDa，22AEa 在RtADP中，AMPD，AM PDPA AD，则 2 32 737213aaPA ADAMaPDa 在RtAEM中，14sin4AEAMEAM 所以二面角A PDC的大小14arcsin4 2008 年（）证明：在PAD中，由题设22,2 PDPA可得 222PDADPA于是PAAD.在矩形ABCD中，ABAD.又AABPA，所以AD平面PAB（）解：由题设，ADBC/，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中，由余弦定理得 由（）知AD平面PAB，PB平面P
24、AB，所以PBAD，因而PBBC，于是PBC是直角三角形，故27tanBCPBPCB 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为27arctan （）解：过点 P 做ABPH 于 H，过点 H 做BDHE 于 E，连结 PE 因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以PHAD.又AABAD，因而PH平面ABCD，故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，PEBD，从而PEH是二面角ABDP的平面角。由题设可得，7cos222PABABPAABPAPB离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜
25、三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 134,13,2,160cos,360sin22BHBDADHEADABBDAHABBHPAAHPAP
26、H 于是再PHERT中，439tanPEH 所以二面角ABDP的大小为439arctan 2009 年 证明：设HBDAC，连结 EH，在ADC中，因为 AD=CD，且 DB 平分ADC，所以 H 为 AC 的中点，又有题设，E 为 PC 的中点，故PAEH/,又 BDEPABDEHE平面平面,所以BDEPA平面/（2）证明：因为ABCDPD平面，ABCDAC平面，所以ACPD 由（1）知，ACBD,DBDPD故PBDAC平面(3)解：由PBDAC平面可知，BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影，所以CBH为直线与平面 PBD 所成的角。由CDAD,223,22,22,1BHCHDHDBCD
27、AD可得 在BHCRt中，31tanBHCHCBH,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为31。2010 年(I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故CED为异面直线 CE与 AF所成的角.因为 FA平面 ABCD，所以 FACD.故 EDCD.在 RtCDE中，CD=1，ED=2 2，CE=22CDED=3,故 cosCED=EDCE=2 23.所以异面直线 CE和 AF所成角的余弦值为2 23.()证明：过点 B作 BG/CD,交 AD于点 G，则45BGACDA.由45BAD,可得 BGAB,从而 CDAB,又 CDFA,FAAB=A,所以 CD平面 ABF.
28、()解：由（）及已知，可得 AG=2，即 G为 AD的中点.取 EF的中点 N，连接 GN，则GNEF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N作 NMEF，交 BC 于 M，则GN M为二面角 B-EF-A的平面角。离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角
29、的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 连接 GM，可得 AD平面 GNM,故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM=22.由 NG/FA,FAGM,得 NGGM.在 RtNGM 中，tanGM1NG4GNM,所以二面角 B-EF-A 的正切值为14.2011 年 没有答案 2012 年 离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习
30、必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本学习必备 欢迎下载 2013 年 离年本小题满分分如图在四棱锥中底面是正方形侧棱底面是的中点证明平面求与底面所成的角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在斜三棱柱中侧面与底面所成的二面角为分别是棱的中点求与底面所成的角证明求经过平学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥求和平面求二面角中底面是的中点所成的角的大小的大小年本小题满分分如图在四棱锥中底面是矩形已知证明平面求异面直线与所成的角的大小求二面角的大小年本小题满分分如图在图在五面体中四边形是正方形平面求异面直线与所成角的余弦值证明平面求二面角的正切值学习必备欢迎下载年本小题满分分如图在四棱锥平行四边形平面为中点证明平面证明平面求直线与平面为为中点中底面所成角的正切值年本