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1、第11讲圆与圆的位置关系题型一：圆与圆的位置关系【例1】(2022全国高二课时练习)、=3”是“圆/ +)/=1与圆(x + )2+y2=4相切，的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当两圆外切时，=3或。=3；当两圆内切时，。=1或。=1 .再利用充分必要条件的定义判 断得解.【详解】解：若圆V+y2=i与圆红+4+,2=4相切，当两圆外切时，)(-0)2+()2 =2 + 1,所以4=-3或 = 3；当两圆内切时，J(-a-0)2 +0? =2-1,所以4=1或=-1.当。=3时，犬+ y? = 1与圆+ + y2=4相切,所以、=
2、3是咽/ + 丁 = 1与圆(x + q+ 丁 = 4相切”的充分条件.当圆/+ 9 =i与圆(x + qJ + J=4相切时，。=3不一定成立，所以、=3是咽炉+ / = 1与圆(x + Q+ y = 4相切”的不必要条件.所以、=3是咽Y + 9 = 1与圆(x + q+ V = 4相切”的充分不必要条件.故选：A【例2】(北京高二期末)已知圆。的方程为(犬y+(y 方)2=4,圆。2的方程为-+(y- + 1)2=1,其中a/cR.那么这两个圆的位置关系不可能为()A.外离B.外切C.内含D.内切【答案】C【解析】圆O/(x a)2+(y /7)2=4的圆心为半径为4=2圆。2 ：光2
3、+(-6+1)2 - 1的圆心为,半径为r2=1所以|。2|= 病石21 = 4弓，所以两圆不可能内含，故选C线/距离为3的直线/的条数有()A. IB. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】以A为圆心，1为半径，B为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A与圆B的公切线条数，判断两 圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A为圆心，1为半径，B为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A到直线/的距离为1,点B到直线/距离为3的直线/的条数即为圆A与圆B的公切线条数，因为|A同 = J(2 5+(3 + l)2 =51 + 3,所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足
4、条件的直线/有4条.故选：D【例3】(2022全国新高考1卷)写出与圆+ = 1和(x3)2+。-4/=16都相切的一条直线的方程.35725【答案】尸_% + ；或=全_/工=_1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆/ + y2=i的圆心为半径为1,圆(% 3)2 + (y-4尸=16的圆心。1为(3,4),半径为4,两圆圆心闻上为J32+4= =5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，433当切线为/时，因为殳q=Q，所以勺=-“设方程为广-7+ (。)_d= J =1535。到/的距离 厂寸 ，解得，=,所以/的方程为y =-二工+:，J1 + 444当切线为2
5、时，设直线方程为丘+y+，= 0,其中P。，kQ,由题意J/ 物汨力，I ，解得彳3攵+ 4+回 4川+攵2：=2472525 k五a五 二五当切线为时丁 易知切线方程为九=1,35725故答案为：尸一片+尸尸五A五或户4【题型专练】1. （2022.贵州黔东南.高二期末（文）若圆/ +），=1与圆（工_。）2+（,_4）2=6有3条公切线，则正数”()A. -3B. 3C. 5D. 3 或一3【答案】B【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.【详解】由题可知两圆外切，又圆f + y2=i的圆心为（o,o）,半径为1,圆（1-城+（广4）2=16的圆心为（,4）,半径为4,.而
6、+不=5,; Q = 3 ,又 4 0 ,Q = 3故选：B.2. （2022.全国高二课时练习）已知圆。|：/+（丁一。）2=9与圆有四条公切线，则实数。 的取值可能是（）A. -4B. -2C. 2、/D 3【答案】AD【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解.【详解】圆心。（0,。），半径4=3,圆心G（。,。），半径4=1.因为两圆有四条公切线，所以两圆外离.又两圆圆心距=血同，所以血同3 + 1,解得”2后或 2山.故选：AD.3. （2022全国.高二课时练习）已知圆：（x 2+（y 1=1,圆N:（x + 2+（丁 + 1了 =1 ,则下列是N
7、两圆公切线的直线方程为（）A. y=OB 3x4y=0C x-2y +石= 0D x-2y-y5 = 0【答案】ACD【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点0 对称，即可知有两条公切线过原点0,另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距 离公式求出直线方程，从而解出.【详解】圆M的圆心为M（2, 1）,半径彳=1.圆N的圆心为N（2, -1）,半径弓二1.圆心距d = 2指2,两圆相离，故有四条公切线.又两圆关于原点0对称，则有两条切线过原点0,设切线方程为y=&，则圆 心到直线的距离gW = l,解得女=0或攵=金，对应方
8、程分别为y=0, 4x3y=0.另两条切线与直线MN Jl + 223bIiI I i平行，而/的：丁 = 7尤，设切线方程为y = + 则丁丁一，解得匕=组，切线方程为x 2y +石=0,22J1 + -2V 4x - 2 y - yfs = 0.故选：ACD.4. （2022广东广州.高二期末）写出与圆/ + 丁=1和圆（x_4+（y + 3）2=16都相切的一条切线方程*【答案】y = l或24x + 7y + 25 = 0或4x-3y-5 = 0【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆f+ 丁=1的圆心为。（0,0）,半径为1；圆（-4）2+（y + 3）2=16的
9、圆心为c（4,-3）,半径为4,圆心距为|。=5,所以两圆外切，如图，有三条切线A”，易得切线4的方程为y = i,344因为AOC,且女=_；,所以设，3：y = _x + b，即4x3y +3b = 0,则0（0,0）到4的距离回=1，解得匕=：（舍去）或-，所以4：4x-3y-5 = 0,3/ /、3 y = x（41可知4和4关于oc：y = -=%对称，联立4 ,解得一彳在4上，4 3在4上任取一点（。/），设其关于。的对称点为（工,%）,-yo%- 2 - X !7 3一4 3424一257 一25- - -七 为、解一只 2424 f 4、则4= 4= 一亏，所以直线 4：一1
10、= 一亍 x + ，即 24x + 7y + 25 = ，25 3综上，切线方程为y = l或24x + 7y + 25 = 0或4x3y 5 = 0.故答案为：y = l 或 24x + 7y + 25 = 0 或 4x-3y-5 = 0.题型四：有关圆的轨迹方程【例1】(广东)已知动点M与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离的比为;，求动点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状.MO【解析】设点Q).则而化简得:【答案】(x + l)2 + y2=4,以(TO)为圆心2为半径的圆f + y2 +_ 3 = 0 n。+1)2 + y2 = 4为以(一1,0)为圆心2为半径的圆.【例2】已知R
11、tZk A8C的斜边为A8,且41,0)，3(3,0).求：(1)直角顶点。的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【答案】(1) +/-2%-3=0()#0) (2) (x-2)2+/=1(j#0)【解析】(1)方法一 设C(x, y),因为A, B, C三点不共线，所以归0.因为AC，3c 且5C, AC斜率均存在，所以Me心c= - l，又Mc=#T除0=言所以x；3=f化简得 f+y2 2x3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y22% 3=0()#0).方法二 设A8的中点为。，由中点坐标公式得0(1,0),由直角三角形的性质知|CQ|=；|A8| = 2,由圆的定义知，
12、动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A, B, C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(xl)2+y2=40).(2)设M(x, y), C(xo,泗)，因为3(3,0), M是线段BC的中点，由中点坐标公式得X=誓,)，=当，所以 xo=2x3, yo=2y.由(1)知，点 C 的轨迹方程为(xl)2+y2=400),将 x=2x3, yo=2y 代入得(2x4)2+(2)，)2=4,即(X2)2+y2=i.因此动点M的轨迹方程为(%2)2+y2=i00).【例3】(2022.全国高二课时练习)已知点A(o,l), 3(例-1),动点尸(x,y)
13、满足paP5 = 1，则点3的轨迹 为.【答案】(x-1)2 + /=3【解析】【分析】用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹.【详解】PA= (-x,l- y), P3 = (2 苍1 - y),PA PB = -x(2 - x) - (1 - y)。+ y) = -2x + x? - 1 + J =1，化简得：(X 1 +)2=3,所以，点尸的轨迹为圆:(x-1)2 + j2=3故答案为：(x1)2 + V=3【例4】(2022.全国高二期中)当点A在曲线f + y2=i上运动时，连接a与定点8(6,0),则AB的中点P 的轨迹方程为.【答案】(x 3)2 +
14、 丁=!4【解析】【分析】设出点A、P坐标，根据中点坐标公式得到其关系，借助A点在已知曲线上代入可得.【详解】设 A(Xo，%),P(x,y),1% = 2X - 6c crc则由中点坐标公式可得 )，代入f + y2=i得(2x 6)2+(2y)2=l为=2y整理得P的轨迹方程为(x-3)2 + 丁 = .故答案为：(X 3)2 + /=!4【题型专练】1 .(全国高二课时练习)方程)，=屈二3表示的曲线是()A. 一个圆B.两条射线C.半个圆D. 一条射线【答案】c解析由y = j36_X2得y2 =36_12,即12 + ,2=36（2 0）,曲线表示圆X2+52=36在工轴上方的 半圆
15、.故选：C.2 .（上海高二专题练习）已知圆。过三个点”（1,0）, N（3,2）, R（5,0）.（1）求圆。的方程；（2）过原点。的动直线/与圆C相交于不同的A、B两点，求线段A3的中点。的轨迹.3 3【答案】（1） （x-3）2 + y2=4；（2）的轨迹是以（于0）为圆心，鼻为半径的圆（点加在圆。内，不与 边界重合）.【解析】（1）设圆方程为了2+）72+6+W+尸=。，l + D + F = 0（D = -6则 v 9 + 4 + 30 +2+/=0 ,解得 E = 0 ,25 + 50+/=0F = 5VX.所以圆方程为 x2-6x+r+5 = 0,即（X 3）2 + /=4；（2
16、）由（1） C（3,0）,设。（x,y）,则由 OQJ_QC得，OQ-CQ = 0,即（x,y）（x 3,y） = 0, x2-3x+y2=0,（%-1）2 + /=.33又。在圆C内部，所以。的轨迹是以（三,0）为圆心，一为半径的圆（点。在圆C内部）.223.（上海）圆C过点A（6Q）, 8（1,5）,且圆心在直线/:2x 7y + 8 =。上.（1）求圆。的方程；P为圆C上的任意一点，定点。（8,0）,求线段PQ中点M的轨迹方程.（11 A21 a【答案】（1） （x 3）2+（一2）2=13； （2） X- +（ 1）2=上.I 2J 4【解析】（1）直线的斜率上=* = 1,1-6所以
17、AB的垂直平分线m的斜率为1.AB的中点的横坐标和纵坐标分别为冗=史=1，y =-=-. 22225（71因此，直线机的方程为= i元一不.即xy1 =。.又圆心在直线/上，所以圆心是直线机与直线/的交点.联立方程组x-y-l = Ox = 3L-7y+8 =。解虱=2所以圆心坐标为。（3,2）,又半径/二 |C4|= 而，则所求圆的方程是（x 3）2 + （y 2）2 = 13.（2）设线段尸。的中点月5,）M为线段尸。的中点，则+ 8-=x22x0 = 2x - 8 %=2yP(2x 8,2y)代入圆 C中得(2x 8 3尸 +(2y 2尸=13 ,即线段PQ中点M的轨迹方程为(11?xI
18、 2j+ (y 1)2=；44.（江苏）在半面直角坐标系中,如果点P的坐标（x,y）满足x = a + rcos0y = b+ rsinO其中。为参数，r0.证明：点P的轨迹是圆心为（。力），半径为的圆.【答案】证明见解析.X = + A*COS 0【解析】由17,八可得（X-。y+-刀2 =/，所以点。的轨迹是圆心为（43，半径为的圆.y = b+rsm3题型五：与圆有关的最值【例1】（2022全国.高二课时练习）过4-3,0）、3（3,0）两点的所有圆中面积最小的圆方程是.【答案】V+y2=9【解析】【分析】过4-3,0）、3（3,0）两点的所有圆中面积最小的圆是以A3为直径的圆，由此可求
19、得答案.【详解】由题意知 A(-3,0)、3(3,0)的中点为(0,0),|45|=6 ,因为过4-3,0)、例3,0)两点的所有圆中面积最小的圆是以.为直径的圆, 此时圆的半径最小, 故该圆方程为：f + y2=9,故答案为：Y+y2=9【例2】已知实数羽y满足方程f+y2以+1=0,则(11的最大值和最小值分别为 和；(2)yx的最大值和最小值分别为 和；(3)f+y2的最大值和最小值分别为 和.【答案】(1)小 -小 (2) 2+a/6, 2y6.(3) 7+4-/3 74*/3【解析】原方程可化为(x2)2+y2 = 3,表示以(2,0)为圆心，木为半径的圆.(式的几何意义是圆上一点与
20、原点连线的斜率，所以设?=%，即丁=此当直线)=&与圆相切时(如图)，斜率 %取最大值或最小值，此时1小，解得所以的最大值为小，最小值为一切.(2)yx可看作是直线y=x+h在y轴上的截距.如图所示，当直线与圆相切时，纵截距人取得最大值或最小值，此时气岩辿=/，解得b=2共同，所以yx的最大值为一2+优，最小值为一2一加. (3濡十V表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得 最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以f+V的最大值是Q+小)2 = 7+4/，f+y2的最小值是 (2-#)2=7-4小.(1)(3)【例3】(2022.浙江宁波.高一
21、期中)已知复数z满足|z + l-i| = l (i为虚数单位)，则1的最大值为()A. 2B. V2 + 1C. V3 + 1D. 1【答案】B解析令2 =工+., x, y eR ,则 |z + l_i| = |x+l+(y_l 川=1,即(x + l+(y-l)2 =1 ,表示点(x,y)与点(-1,1)距离为1的点集，此时，同=|工_= J%?+ / 表示圆(x+l)2 +(y-l)2=1上点到原点距离，所以z的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值, 而圆心到原点距离为血，且半径为1,所以圆上点到原点的距离的最大值为逝+1.故选：B.【题型专练】1.（全国高二课时练习）若x + Jl
22、-y2 =0,则三的取值范围为【答案】-个力 2 2【解析】因为x +=0，所以正手=无所以x2 + y2=（xAfQ = AfC-r=2y5.3 . （2022.河南洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|W二|OZ,也即复数z的模的几何意义为z对应 的点Z到原点的距离.已知复数z满足忖=2,则|z-3-4i|的最大值为（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】=2 ,.Z对应的点z(x, y)的轨迹为圆X2 + y2= 4 ；|z-3-4i|的几何意义为点Zy)到点(3,4)的距离,
23、.二 z_3_4i|n. =J(O 3)2+(0_4+2 = 7.故选:C.4 .已知 M(x, y)为圆 C x2+V4xi4y+45=0 上任意一点，且点。(-2,3). 求|MQ的最大值和最小值；求式的最大值和最小值.x十2【答案】(1) 6722也(2) 2+小，2-3.【解析】(1)由圆 C： x2+y2-4x-14y+45=0,可得。-2)2 + ()，-7产=8,，圆心C的坐标为(2,7),半径r=2y2.又IQC=、2+22 + 7 32=4陋,|M2|max=4y2 + 2yf2 = 6y/2, |。扃尸462也=2也.可知琶表示直线MQ的斜率k. 人I乙设直线MQ的方程为y
24、3 = A(x+2), 即日一y+2Z+3 = 0.直线MQ与圆。有交点，.|2Z7+2E+3I.，1+於272,可得2-小W任2+小,三|的最大值为2+小，最小值为2一小. 人I乙【例3】（山东聊城而高二期末）已知圆G ：（x-6/）2+（j-6z）2=8（.0）与圆。2：/ + ）；22R 23； = 0没有公共点，则实数。的取值范围为（）A. （0,2）B.（4,+8）C.（0,2）U（4,+oo）D.（0,1）u（0,2）u（4,4w）【答案】c【解析】圆G：（X q）2+（y ）2=8,表示以G（。，。）为圆心，半径4=2/5的圆；所以圆G：（xTr+（yT）2 = 2，圆心。2（u
25、），半径为3 =夜所以|。102| =5（。1）2+（。_1）2 =后k1卜由于两圆没有公共点，则|GG|v卜T|或者|一+1，解得02或者。4,故选C【例4】（2021 .山西.长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C： （x-6）2+（y-8）2 =1和两点A（-佻0）,3（仅0）（租0）,若圆。上存在点P,使得NAP5 = 90。，则根的最大值为（）A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】由题意得夕点轨迹，转化为有交点问题【详解】ZAPB = 90,记A3中点为。，则1。门=加，故P点的轨迹是以原点为圆心， 2为半径的圆，又P在圆。上，所以两圆有交点，则I相一
26、区+ 1,而|OC|=后博= 10，得9根11.故选：Ba【例5】（2023全国高三专题练习）已知圆0:%2 + 丁= 圆m：（x_q）2 +（1）2 =,若圆时上存在点P,4过点P作圆。的两条切线，切点分别为4 B,使得/AP8 = ,则实数。的取值范围是（）A. -715,715B. -73,73C. V3,V15D.后，一gU6,后【答案】D【分析】由题意求出OP的距离，得到。的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案.3【详解】由题可知圆。的半径为不，圆”上存在点尸，过点P作圆。的两条切线， 2切点分别为A, B,使得N4P3 = 60。，则NA尸0 = 30。，在RtAPAO中，归。|=3
27、,所以点P在圆f + y2=9上，由于点尸也在圆M,故两圆有公共点.又圆M的半径等于1,圆心坐标/（/），a3-1|OM|3 + 1, 2 Ja? +1 4，故选：D.【题型专练】1 .（浙江高二期末）圆G：（x 1+产=1与圆G：（x 4）2+（y 4）2=17的位置关系为（）A.内切B.相切C.相交D.外离【答案】C【解析】圆G：（%iy + y2=i的圆心为G（l,0）,半径为4=1圆G ：（X 4）2 + （y 4）2 = 17的圆心为C2（4,4）,半径为弓=后所以44=旧 1|GG| = 二产 = 54 +与=4或iGGkk-目=2,所以J(l +(g 0了4或J(l +(百一ol
28、 + g或al旧或0aV2.故选：AD3 .(江西上高二中高二其他模拟(文)已知圆G ：工2 + 2-21+ /改+ 1 =。(机 R)关于直线 + 2y + l =。对称，圆。2的标准方程是(x + 2y+(y 3=16,则圆C与圆。2的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】B解析圆 G ： , + y? - 2x + my +1 = 0 ,9 rrr T表示以a 1,一不为圆心，因为2 7(W 1八+1=0I 2J圆G关于直线冗+ 2+ 1 = 0对称。所以圆心G 1，一一 在直线1 + 2y + l = 0上，即l + 2x2)解得m=2,所以圆G：(xT+(y + l)
29、2=l，圆心半径为彳=1圆 C2: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 16 ,圆心 G ( 2,3),半径为弓=4所以|CC2| = J(3 + 1)2+(2 1)2 =5 =弓+ ，所以两圆相外切，故选B4 . (2022山东聊城,二模)已知点。在圆。：x2 + y2=4一WA(_3,0), *0,4),满足AP_L的的点尸的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】设轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点。(乂、)，则 Y + y2=4,且 AP = (x + 3,y)/P = (x,y 4),由 AP_LBP,得APBP =
30、 x(x + 3) + y(y-4) = J + / +3x-4y = 0 ,即(X + ?2+(y 2)2=二， 2435故点P的轨迹为一个圆心为(-=,2)、半径为|的圆,22则两圆的圆心距为g,半径和为| + 2 = g,半径差为：-2 =1， 222221 s 9有所以两圆相交，满足这样的点P有2个2 2 2故选：B.5 .（全国高二（文）已知圆G的标准方程是（*4）2+（y 4）2 =25,圆G： x2 + y2-4x + my + 3 = 0关于直线x+gy + l = O对称，则圆G与圆。2的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】C【解析】圆G：（x 4+（y 4
31、）2=25,表示以（4,4）为圆心，半径4二5的圆；因为圆G ： + ）2 一4%+町+ 3 = 0关于直线x +1 = 0对称。所以圆心G 2, 在直线x + Jy + l = O2）/ 上，R|J 2 +V3 x +1 = 0,解得机=26， 2）所以圆G ：（尤？）？+（y += 4，圆心。2（2,行），半径为弓=2所以|GC21 = J（4 2丫+（4 +省?，所以5 2|GG|J4+360）,若圆G和。2有公共点，则的取值范围是（）A.（0,1b.（0,3c. 1,3D. L+00）【答案】c【解析】圆G：/ + y2=i,表示以G（o,o）为圆心，半径4=1的圆；所以圆。2：/+6
32、 2）2 =产卜0）,圆心。2（0,2）,半径为弓=一所以。Cj = 2,由于两圆有公共点，则卜解得”Y3所以两圆相交，故选C7 .（2022河北高三阶段练习）已知圆。：12 + 丁2 + 2% + 8丁_8 = 0,圆6：/ + 9=/（r0）,则“5r5 + 47是“圆G与圆G相交”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两圆相交可求得5JT7_5 +JT7,由此可判断5JT75+和5（r5+JF7推理关系，即可 得出答案.【详解】圆G的标准方程为（x + iy+（x + 4=25,故|GG|二J万，若圆G与圆G相交，则
33、有卜-5|cc|5+乙即上一 5|v J175 + ，解得 5 厂5 +JT7,推不出 5y5 + JT7,当5r5 + 47,满足5 如厂5 +故巧 / = 0作差可得4x-4y =。，即公共弦A3所在直线的方程为x-y =(),故A正确，B错误；1-0对于c,圆心。口，。)到直线Uy = 0的距离为d =a+(_)2V2可，圆。1的半径尸=1,所以|阴=2 1-V22对于D,点尸为圆。”一动点，则点尸到直线”距离的最大值为小=争1,故D正确.故选：AD.【例3】(2022.河南二模(文)已知圆G：/ + y2 一五+ 2y = 0与圆。22 + 2 +62 = 0的公共弦所在直线恒过点P,
34、则点尸的坐标为()A. (1,-1) B. (1,1)C. (1/)D (1,1)【答案】A【解析】由 Y+ J? 一米+ 2y = 0 , x2+ y2+ - 2 = 0两式相减得公共弦所在直线方程为：京+ (%-2万-2 =。,分别取攵=0=2,得-2y-2 = 02x-2 = 0故选：A【题型专练】1. (2021 福建南靖县第一中学高二期中)下列说法正确的是()A.过点P(l,2)且在尢、 轴截距相等的直线方程为x+y-3 =。B.过点(-1,2)且垂直于直线x-2y + 3 =。的直线方程为2x+y = 0C.过两圆Y + j? + 6% +4y = 0及2 + 丁2+4%+ 2P一
35、4 =。的交点的直线的方程是工+丁 + 2 = 0, 5 3D.直线 =2) + 4与曲线有两个不同的交点，则实数左的取值范围是k bI【答案】BC【分析】求出直线的方程，可判断A选项；利用两直线垂直求出直线的方程，可判断B选项；求出相交弦 所在直线的方程，可判断C选项；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出人的取值范围，可判断D 选项.【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为丁 =丘，则有4=2,此时所求直线方程为y = 2x, 若直线不过原点，设所求直线方程为x+y = Q(wO),则q = 1 + 2 = 3,此时所求直线方程为x+y-3 = 0, 所以，过点尸(1,2)且
36、在X、y轴截距相等的直线方程为y = 2x或x+y 3 =。，A错；对于B选项，直线x-2y + 3 = 0的斜率为所以，过点(T2)且垂直于直线x-2y + 3 =。的直线方程为y-2 = -2(x + l),即2x + y = 0, B对；对于C选项，圆d + y2+6x + 4y = 0的标准方程为(x + 37+(y + 2=13,圆心为4(-3,-2),半径为圆V + /+4x + 2y 4 =。的标准方程为(工+ 2丫+(丁 + 1)2=9,圆心为网2,1),半径为2二3,阴=J(-3 + 2+(-2 + 1)2 =正,:.r-r2ABrr29故两圆相交，将两圆方程作差得x+y +
37、 2 = 0,所以，过两圆Y + y2+6x + 4y =。及工2 +),2+4%+ 2y一4 =。的交点的直线的方程是x+y + 2 =。，C对；对于 D 选项，由 y=l+j4-? 1 可得 y - 1=，4-,得x2+(,_) =4,所以曲线y =1 +4- X2表小圆Y +(y _1) = 4的上半圆，直线y =2) + 4表示过点E(2,4)且斜率为攵的直线，如下图所示：当直线y =2) + 4与半圆y = 1+相切且切点位于第二象限时,3 2Z|一 / 二=25则、历？，解得攵=看；k0当直线y =2） + 4过点/（一2,1）时，则YZ：+4 = 1,解得 =：.幺S 3由图可知
38、，直线y = M%-2）+4与曲线y=i+Q7有两个不同的交点，则实数%的取值范围是扇qj D 错.故选：BC.2.（天津市南仓中学高二期末）已知圆G：/ + y2 =4和圆6：/+）；2+2做6 = 0（0）的公共弦长为2, 则实数的值为（）A. B. Jjc. D. V232【答案】A【解析】圆G与圆G两式相减得公共弦48所在直线的方程为y = L,因为圆G的圆心为G（，），半径 a为r = 2,所以圆心（0,0）到直线的距离为d = J,则|4目=2犷彳=2J = 2,解得a = 土日因。0,故选：A题型三：两圆公切线问题【例1】（2022全国.高二课时练习）设圆G：/ + V 2x + 4y = 4,圆G ： / +产+6x 8y = 0 ,则圆G，G的公切线有（）A. 1条B.2条C.3条D. 4条【答案】B【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系， 从而得解.【详解】由题意，得圆G：（xl+（y + 2）2=32,圆心G（l,2）,圆G：a+3+（y 4=52,圆心G（34）,5-3抬。2卜2/5 + 3, G与G相交，有2条公切线.故选：B.【例2】（2022.贵州.遵义四中高二期末）已知点4（2,3）1（5,-1）,则满足点A到直线/的距离为1,点8到直