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1、第9讲 直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。知识梳理一、直线与圆的位置关系及判断(直线：AxByC0，圆：(xa)2(yb)2r2)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrom代数法：由消元得到一元二次方程的判别式00r1r2d|r1r2|r1r2|d0时，C1与C2相交(2)判别式0时，C1与C2外切或内切(3)判别式0时，C1与C2外离或内含名师导学知识点1 直线与圆位置关系的判定【例1-1】已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当
2、b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？【解】法一直线与圆的位置关系问题可转化为方程组有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题代入，整理得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)当2b0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b2或b2时，0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b2时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离法二圆心(0，0)到直线yxb的距离为d，圆的半径r.当dr，即时，直线与圆相交，2br，即时，直线与圆相离，b2或b2.当2b2或b1，故点M在圆外当切
3、线斜率存在时，设切线方程是y4k(x2)，即kxy42k0，由于直线与圆相切，故1，解得k.所以切线方程为24x7y200.又当切线斜率不存在时，直线x2与圆相切综上所述，所求切线方程为24x7y200或x2.【变式训练2-1】若将例2-1中的点M的坐标改为(1，2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？【解】由于(11)2(23)21，故点M在圆上，设圆的圆心为C，则C(1，3)，显然CM的斜率不存在圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率k0，切线方程为y2.知识点3 直线与圆相交的有关问题【例3-1】求直线xy20被圆x2y24截得的弦长【解】法一直线xy20和圆x2y24的公共点坐标
4、就是方程组的解解这个方程组，得所以公共点的坐标为(，1)，(0，2)，所以直线xy20被圆x2y24截得的弦长为2.法二如图，设直线xy20与圆x2y24交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OMAB(O为坐标原点)，所以|OM|.所以|AB|2|AM|222.【变式训练3-1】已知直线ykx(k0)与圆C：(x2)2y21相交于A，B两点，若|AB|，则k_【解析】圆心到直线的距离d，|AB|，1，k. k0，k.【答案】知识点4 两圆位置关系的判定【例4-1】a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外离？【解】将两圆方
5、程写成标准方程，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a5.【变式训练4-1】圆(x4)2y29和圆x2(y3)24的公切线有()A1条 B2条 C3条 D4条【解析】圆(x4)2y29的圆心为(4，0)，半径等于3，圆x2(y3)24的圆心为(0，3)，半径等于2.两圆的
6、圆心距等于523，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C.【答案】C知识点5 两圆相切问题【例5-1】已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，则圆C的方程是_【解析】设圆C的半径为r，又圆心距d5，当圆C与圆O外切时，r15，r4，当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆C的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336.【答案】(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336【变式训练5-1】若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于 ()A21 B19 C9 D11【解析】C2：x2y26x8ym0化为(x3)2(y4)225m.C1，C2两
7、圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，两圆圆心距d5，又两圆半径分别为1，则dr1r2，即51，解得m9.【答案】C知识点6 两圆相交的问题【例6-1】已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80，判断两圆的位置关系【解】将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15.圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25，r1r25，r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交【变式训练6-1】在例6-1的条件下，求公共弦的长度【解】法一由例6-1知圆C1的圆心为(1，5)，其到直线x2y40的
8、距离d3，公共弦长l222.法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.知识点7 直线与圆的方程的应用【例7-1】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？【解】建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上依题意，有A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0)设这座圆拱桥的拱圆的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有解此方程组，得a0，b10.5，r14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在
9、水面以上高3 m，30)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0，当水面下降1米后，水面宽为2x02米【答案】2知识点8 坐标法证明几何问题【例8-1】如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.【证明】以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a，0)，则|CD|，C(a，)，圆O：x2y2r2，圆C：(xa)2(y)2r2a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax2yr2a2.令xa，得y，H(a，)，即H为CD中点，EF平分CD.【变式训练8-1】如图，直角AB
10、C的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值【证明】如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)名师导练2.5.1 直线与圆的位置关系A组-应知应会1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定【解析】点M(a，b)在圆x2
11、y21外，a2b21.圆心(0，0)到直线axby1的距离d1r，则直线与圆的位置关系是相交【答案】B2平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50【解析】依题意可设所求切线方程为2xyc0，则圆心(0，0)到直线2xyc0的距离为，解得c5.故所求切线方程为2xy50或2xy50.【答案】D3已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22【解析】由条件，知xy0与xy
12、40都与圆相切，且平行，所以圆C的圆心C在直线xy20上由得圆心C(1，1)又因为两平行线间距离d2，所以所求圆的半径长r，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.【答案】B4若直线ykx与圆x2y26x80相切，且切点在第四象限，则k_【解析】圆x2y26x80，即(x3)2y21，其圆心为(3，0)、半径等于1.由题意可得k0时，得m5，当m5时，曲线C表示圆；(2)圆C的圆心坐标为(1，2)，半径为.直线l：yxm与圆C相切，解得：m3，满足m5.m3.B组-素养提升8在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为的点共有()A1个 B2个C3个 D4个【解析】圆心为(1，2)，半径r
13、2，从而圆心到直线xy10的距离d，故圆上有3个点满足题意【答案】C9圆x2y24x6y120过点(1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则mn等于()A102 B5C103 D5【解析】圆的方程x2y24x6y120化为标准方程为(x2)2(y3)225.所以圆心为(2，3)，半径长为5.因为(12)2(03)21825，所以点(1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m10.当(1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距d3，所以最小弦长为222，所以mn102.【答案】A10设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a_【解析】圆心到直线的
14、距离d1，解得a0.【答案】011由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_【解析】切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.【答案】12(1)求圆x2y210的切线方程，使得它经过点M(2，)；(2)求圆x2y24的切线方程，使得它经过点Q(3，0)【解】(1)点M的坐标适合圆的方程，点M在圆x2y210上，由题可知圆心为O(0，0)，则直线OM的斜率kOM.圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率为k.故经过点M的切线方程为y(x2)，整理得：2xy100.(2)容易判断点Q(3，
15、0)在圆外设切线的方程为yk(x3)，即kxy3k0，又圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以2.解得：k.所求切线方程为：y(x3)，即2x5y60或2x5y60.13已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程(1)【证明】因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以解得即l恒过定点A(3，1)因为圆心为C(1，2)，所以|AC|5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点(2)【解】由题意可知弦长最小时，lAC.因为kAC，所以l的斜率为
16、2.又l过点A(3，1)，所以l的方程为2xy50.2.5.2 圆与圆的位置关系A组-应知应会1圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是 ()A外离 B相交 C内切 D外切【解析】圆C1：x2y29的圆心为C1(0，0)，半径r13；圆C2：x2y28x6y90化为(x4)2(y3)216，圆心为C2(4，3)，半径r24，圆心距|C1C2|5.因为|r1r2|C1C2|34r1r2，所以两圆相交【答案】B2过两圆x2y26x4y0及x2y24x2y40的交点的直线的方程是()Axy20 Bxy20C5x3y20 D不存在【解析】由得xy20.【答案】A3若圆C1：(x2)2(ym)29
17、与圆C2：(xm)2(y1)24外切，则实数m的值为 ()A2 B5 C2或5 D不确定【解析】两圆的圆心分别为(2，m)，(m，1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得32，解得m2或5.【答案】C4已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为_【解析】圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，直线C1C2的方程为xy30，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为xy30.【答案】xy305圆C1：x2y22mxm240与圆C2：x2y22x4my4m280相交，则实数m的取值范围是_【解析】整理圆C1得(xm)2y24，整
18、理圆C2得(x1)2(y2m)29，C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(1，2m)，半径为3.两圆相交，圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，即15，解得：0m2或m.【答案】(0，2)或6求圆C1：x2y22x0和圆C2：x2y24y0的圆心距|C1C2|，并确定圆C1和圆C2的位置关系【解】圆C1：x2y22x0化为(x1)2y21，圆C2：x2y24y0化为x2(y2)24，圆C1，C2的圆心坐标，半径长分别为C1(1，0)，r11；C2(0，2)，r22.|C1C2|.又21|C1C2|0，解得m5；所以m的取值范围为(，5)(2)把圆x2y28x12y360
19、化为标准方程得：(x4)2(y6)216，得到圆心坐标为(4，6)，半径为4，则两圆心间的距离d5，因为两圆的位置关系是外切，所以dRr即45，解得m4；(3)因为圆心C的坐标为(1，2)，则圆心C到直线l的距离d，所以()2d2，即5m1，解得m4.13已知圆C1：x2y24x2y50，圆C2：x2y22x2y140.(1)试判断两圆的位置关系；(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程【解】(1)圆C1：x2y24x2y50，即(x2)2(y1)210，其圆心为C1(2，1)，半径等于，C2：x2y22x2y140，即(x1)2(y1)216，其圆心为
20、C2(1，1)为圆心，半径等于4.由于两圆的圆心距等于3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x6)，即kxy36k0，由弦长公式可得圆心到直线l的距离d2，再由点到直线的距离公式可得d2，解得k0或k.故直线l的方程为y3或4x3y150.2.5.3直线与圆的方程的应用A组-应知应会1方程xk有唯一解，则实数k的取值范围是()A B(，)C1，1) Dk|k或1k1【解析】由题意知，直线yxk与半圆x2y21(y0)只有一个交点，结合图形(图略)易得1k0)，它表
21、示的图形是圆x2y29在x轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得，当30)有公共点【答案】(3，311过点P(1，1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_【解析】由题意知点P(1，1)在圆x2y24内，若过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1，1)的连线垂直，该直线斜率为1，由点斜式方程得y1(x1)，即xy20.【答案】xy2012如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km
22、的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)【解】如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2y2252.直线AB方程：1，即3x4y1200.设O到AB距离为d，则d2425，所以外籍轮船能被海监船监测到设监测时间为t，则t(h)所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h.13如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|ST|.【证明】如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则可得圆的方程x2y24，A(0，2)，B(0，2)，设P(x0，y0)，则xy4.直线AP的方程为：yx2，令y0得xR，直线BP的方程为：yx2，令y0得xS.切线PT方程为x0xy0y4，由对称性知点T在x轴上，故令y0得xT.|RT|xRxT|，|ST|xSxT|，|RT|ST|.