第63讲圆与圆的位置关系.docx

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1、第63讲与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系设圆 Oi: (Xai)2+(ybi)2=r?(ri0),圆。2: (x产+十一匕2)2=植720).方法位置念、几何法:圆心距d与小2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离。厂1 +72无解外切d=ri +2一组实数解相交|Q 一厂2|衣厂1 +厂2两组不同的实数解内切d=r1r2(r1r2)组实数解内含0d=4 的公切线的条数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 圆G: (x+l)2+(y2=4的圆心为G(1,2),半径为2,圆。2: (%3)2+(y2=4的圆心为 。2(3,2),半径为2,两圆的圆心距|。1

2、。2尸(一1 3y+(22=4 = 2 + 2,即两圆的圆心距等于两圆的半径 之和,故两圆外切,故公切线的条数为3.3、圆(x+2)2+f=4与圆。-1)2+。-4)2=9的位置关系为()A.内切 B.相交C.外切 D.相离【答案】C【解析】由题意,得两圆心距离d=5,门+ = 2 + 3 = 5,所以两圆外切.4、已知圆G:炉+产2x6y1 =0和圆。2: +产一io%i2y+45 = 0,则圆G和圆C2的公共弦所在直 线的方程为.【答案】4x+3y23 = 0【解析】圆G和圆C2的方程相减,得4x+3y 23 = 0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y23=0.考向一的位置关系

3、例 1 已知两圆 x2 + y2 2xl6)/1 = 0 和 x2+y2 10x12y+m = 0.m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?求m = 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【解析】两圆的标准方程为(x1产+仅一3)2 = 11, (x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为A/(5,6), 半径分别为11和61-/77.当两圆外切时,5-1 2+ 6-3 2= 11+ 61-m,解得 m = 25 + 10 11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心距5,故只有61-m- 11 = 5,解得m = 25 10 11.当6 = 45时,4- 11MN

4、=511+4,两圆相交,其两圆的公共弦所在直线方程为俨+必一2x -6y-l)-(x2+y2-10x-12y+45) = 0,即 4x+3y-23 = 0.14x1 + 3x3-231所以公共弦长为211 2-142 + 324 = 2 7.变式1、( 1)已知圆Ci: (%6/)2+(y+2)2=4与圆C2: (x+/?)2 + (y+2)2= 1相外切,则ab的最大值为.【答案】94【解析】由圆析与圆C2相外切,可得 3+6)2+(-2 + 2)2=2+1 = 3,即(q + 6)2 = 9,根据基本不等式,。十力79得 2 J 49当且仅当kb时等号成立.故打的最大值为(2)已知圆G:

5、Q Q)2 + (y + 2)2 = 4与圆。2: Q + b)2 + (y + 2)2= 1 ,则层+夕的最小值为.【答案】12db nq2-|-/72(q + 6)2【解析】由圆C与圆。2内切,得(q + 6)2 + ( 2 + 2)2=1,即5+ 6)2式 乂 2 J,可知序+ 21)22=;,当且仅当。=b时等号成立,故。2+扶的最小值为;变式2、(1)已知两圆C: x2+/-2x+10y-24 = 0, C2:/+产+ 21+27一8 = 0,则两圆公共弦所在的直线 方程是.(2)两圆 x2+y26x+6j48 = 0 与 x2+j+4x8j/44 = 0 公切线的条数是.(3)已知

6、。O的方程是N+/-2 = 0,。,的方程是N+产8工+10 = 0,若由动点p向。和。O,所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是【答案(1)X27+4 = 0 (2)2(3)x=;【解析】:(1)两圆的方程相减得:x2y+4 = 0.(2)两圆圆心距d= 74 = 1与圆/+/=!相切4【答案】ABD【解析】圆G: 一+必=的圆心为(0,0),半径为1,圆G: / + /=4的圆心为G(0,0),半径为2,观察图象可得2-14归。归2 + 1,所以归。|的取值范围是1,3, A对,工内+必必=1,.点/)(西,凹)在直线士工+必歹=1上, 1 又G (0,0)到直线玉x + y = 1的距离

7、4 = / , = 1,又圆G的半径为1,“;+K 直线工/+乂歹=1是圆G在尸点处的切线,B对, 点/(再,必)在圆G上,.;+才=1,4,C2(o,0)到直线x,x + yy = 4的距离d2= / ?、= 4 ,又圆q的半径为2,,玉+必 直线玉、+必歹=4与圆G相离,C错,圆/+/二的圆心为(o,o),半径为:,42点(0,0)到直线x2x += 1的距离4 = / 22,了2 +歹2129.直线X/ +为与圆、相切D对,故选:ABD.16上一点,过P变式、(2022湖北武昌高三期末)已知圆。的方程为一+/=1, p是圆c: (x-2+/【答案】3 595作圆。的两条切线,切点分别为小

8、B,则万.丽的取值范围为【解析】如图, 设力与P3的夹角为2a,则 |%| 二 |P8|1 _ cos atan a sin a二 苏丽= 莎 IPB cos2a= os。cos2a=1 +2a -os2a .sin al cos2。P 是圆 C: (x 2f+/=16上一点, 2 = 4-IOC | PO |22又两圆有公共点,则OW J(2 0+(2 0)2 W2J8 4=加6.故答案为:(一8,6.2、(2022山东枣庄高三期末)设O。 :/+歹2 =1与。02:/+3-2)2 =4相交于48两点,则【答案】叵2【解析】 将。01 :/+ / = 1和:工2 + 3 2)2 = 4两式相

9、减:得过43两点的直线方程:二!,4则圆心OI (0,0)到尸!的距离为!, 44所以AB=211一故答案为:叵 23、(深圳市罗湖区期末试题)圆Q :丁+246 = 0与圆。2:一+歹26x + 8y = 0公共弦长为(B. V10D. 375A. V5C. 275【答案】C【解析】联立两个圆的方程x2 + y2 -4y 6 = 0x2 + y2 -6x + 8y = 0两式相减可得公共弦方程x - 2-1 = 0 ,圆a : 一+(歹一 2二1 o的圆心坐标为a(0,2),半径为尸=丽,圆心a(0,2)到公共弦的距离为4 =0 4 1V1 + 4公共弦长为 d = 2G2 _ d; =2V

10、10-5 = 2V5 .故选:C.4、(2022年重庆市第八中学高三模拟试卷)(多选题)若过点(2,1)的圆C与两坐标轴都相切,且与过点4(0,6)和点8(8,0)的直线相离,设P为圆。上的动点,则下列说法正确的是()A.圆心。的坐标为(1,1)或(5,5)B. /AP面积的最大值为22C.当最小时,|。*=53兀D.不存在点产使/9 = 4【答案】BCD【解析】【详解】由题意知圆心必在第一象限,设圆心的坐标为(兄。),则圆的半径为。,圆的标准方程为(x q)2=q2,由题意可得(2 a+(l q)2=2,解得q = i或q = 5,当q = 1时,圆心(1,1)到直线/后6% + 81-48

11、 = 0的距离为t/=6一尸=1,V62+82/、6x5 + 8x5-481当 =5时,圆心(5,5)到直线。小6x + 8 48 = 0的距离为1 =而 .r=5,又圆。与” 6x + 8y 48 =。相离,所以圆心的坐标为(1,1), A错误;因为点P到直线6x + 8 48 = 0的距离的最大值为d =1+ 8一眼+/=丝,105所以S“8P工!|/8|1 = 22, B正确;当NP/5最小时,P4与圆。相切,由对称性或勾股定理可得归力| =山=1 = 5, C正确;3 1 AB_ s 万假设存在点p使/必=,则的外接圆圆的半径为33万,4 sin 4设圆A/方程为(x Q+(y =50

12、,贝ij(0-+(6 - 6)2 = 50 (a = 7 fa = 1?,解得,r 或 V ,.(8-Q)+(0叫=50 b = 7 b = -l又因为尸为圆。上的动点,当圆心”(1,1)时,|CM| = 21 + 5收,所以圆与圆C相离,点P不存在,D正确,故选:BCD5、(2022河北唐山高三期末)(多选题)圆M:工2+/+2%一4歹+ 3 =。关于直线2ax +力+ 6 = 0对称,记点 P(。力),下列结论正确的是()A.点P的轨迹方程为x-y-3 = 0B.以PM为直径的圆过定点。(2,-1)C.的最小值为6D.若直线力与圆M切于点4则陷|24【答案】ABD【解析】圆 M:12+/+

13、2%4 + 3 = 0配方得:(x + l)2+(y-2)2=2,:圆M关于直线2x + 6 = 0对称,直线2ax +勿+ 6 = 0过圆心河(一1,2).-2a+ 26 + 6 = 0,即4-63 = 0,,点P的轨迹方程为工-歹-3 = 0 , A正确.由如。=字4 = 1,则如。(。=一1,则以PM为直径的圆过定点。(2,-1), B正确.-1 2归必的最小值即为“(T2)到直线工7-3 = 0的距离,由于d =1 2 3Jl +1y/2=3后,则1PMm园=3亿C错误.由于闸=/加一|4时=4月际-2,要使|切|取最小,即|PM|取最小值,W|niin=PQ= 3V2 , | PQf-2 = 7182 = 4 ,则 D 正确.故选:ABD

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