《2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组9.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组9.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、椭圆及其性质考点一椭圆的定义和标准方程1.（多选题）（2 0 2 0 新高考I ,9,5 分）已知曲线C:m x2+ny-l.（）A.若 m n0,则 C 是椭圆,其焦点在y 轴上B.若 m=n0,则 C 是圆,其半径为厂C.若 m n0,则 C 是两条直线2 2答 案 A CD A 选项中，若 m n0,则方程m x2+ny2=l 可 变 形 为,+丁=1,因为m n0,所以0 -所以此曲线表示椭圆,且焦点在y 轴上,所以A正确.B 选项中，若 m=n0,则 方 程 可 变 形 为 f+y/J,所以此曲线表示圆,半径为三,所以BV不正确.C 选项中，若 m n0,则方程m x ny l 可化
2、为y 2=L（x d R）,即 y=-,表示两条直线,所以D正确.故选A CD.2 22.（2 0 15 广东文,8,5 分）已知椭圆原+?=1（1110）的左焦点为品（-4,0）,则 111=（）答案 B 依题意有 2 5-m J 16,，.丁。，.m=3.选 B.2 23.（2 0 14 大纲全国,理6,文 9,5 分）已知椭圆（a b0）的左、右焦点为R、民,离心率为当过国的直线1 交 C 于 A、B 两点.若 A B B 的周长为4 展，则 C 的方程为（）2 2 2 2 2 2 2A.-+-r-=l B.+y2=l C.-=1 D.+-13 2 3 J 12 8 12 4答 案 A
3、由题意及椭圆的定义知4 a=4 低 则 a=g,又 一 君?.1,.代 2,.”的方程为2 2亍+丁=1,选 A.4.(2 0 13 广东文,9,5 分)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(l,0),离心率等于g,则 C 的方程是()2 2 2 2A+l 8.7+斓=12 2 2 2。丁+丁=1 DR+丁 1答 案 D 由右焦点为F(l,0)可知c=l,因为离心率等于g,即一=；,故 a=2,由a M A c?知 b2=3,2 2故椭圆C的方程为了f-y G.故选1).2 25.(2 0 14 辽宁,理15,文 15,5 分)已知椭圆C:+-1,点 M与 C 的焦点不重合.若M关于C 的9
4、4焦点的对称点分别为A,B,线段M N 的中点在C 上，则|A N|+1B N|.答 案 12解析 根据已知条件画出图形,如图.设M N 的中点为P,B、&为椭圆C 的焦点,连接P E、P F2.显然P E 是 的 中 位 线,P F?是M B N 的中位线，|AN|+|BN|=2|PFI|+2|PF2|=2(|PFI|+|PFZ|)=2X6=12.评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接P K、P F 2 利用椭圆的定义是求解的关键.考 点 二 椭圆的几何性质2 21.(2 0 18课 标 1 文,4,5 分)已知椭圆C:-+T=1的一个焦点为(2)。)，则 C 的离心率
5、为()A.|B.1 口竿3 2 2 3答 案 C本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.由题意可知c=2,b2=4,.*.a2=b2+c2=4+2=8,则 a=2 近,故选C方法总结求椭圆离心率的常用方法:（1）求得a,c的值,直接代入e=-求解.（2）列出关于a,b,c 的 齐 次 方 程,结 合 消 去 b,从而转化为关于e 的方程求解.2.（2 0 18课标I I 文，11,5分）已知F F 2 是椭圆C 的两个焦点,P是 C 上的一点.若P F P F z,且N P F P=6 0 ,则 C 的离心率为（）T 遮C.D.V 3-1答 案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.2 2不妨设椭
6、圆方程为F+F=1（a b0）.在 R S F F F z 中，因为N P F zF i=6 0 F iF zW c,所以 P R|=c,|P F j=gc.由椭圆的定义得|P F j +|P F z|=2 a,即逐 c+c=2 a,所以椭圆的离心率-故选D.V3+1疑难突破 利用椭圆的定义P F +|P F/=2 a,结合题意得到a 与 c的等量关系是求解的关键,也是难点的突破口.2 23.（2 0 1 7 浙江，理 2,文 2,5分）椭圆方+7=1 的离心率是（）A.半 B.9 C；D.13 3 3 9答 案 B本题考查椭圆的标准方程和几何性质.由题意得,a=3,c=W.离心率e=-=.故
7、选B.易 错 警 示 1.把椭圆和双曲线中的a,b,c 之间的关系式记混,而错选A.22.把离心率记成e=或 e=,而错选C 或 D.4.（2 0 1 6 课 标 I 文,5,5 分）直线1 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到1 的距离为其短轴长明，则该椭圆的离心率为（）7B*C b-3答 案 B如图，|0 B|为椭圆中心到1 的距离，则|0 A|0 F|=|AF|OB|,即 b c=a 二，所以e=；.故选 B.易错警示 椭圆中心到直线1 的距离为;X 2 b=?,容易将短轴长误认为b.42评析本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量关系是求解的关键.2 25.（2 0 1
8、5 福建文，1 1,5 分）已知椭圆E：F+F=l（a b 0）的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直 线 1:3 x-4 y=0 交椭圆E 于 A,B 两点.若|AR +|BF|=4,点 M到直线1 的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是（）爪（。里 B.（词 喑,1）旧）答 案 A直 线 l:3 x-4 y=0 过原点，从而A,B两点关于原点对称，于是|AF|+|BF|=2 a=4,所以a=2.不妨令M（Q,b）,则由点M（0,b）到直线1 的距离不小于&得,，注 即 b 2 l.所以5 旧+.4）2 5：2,；W，又 0 e b 0）上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点Fl.A是椭圆
9、与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且ABOP（O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）答 案 C左焦点为件（-c,0）,P R J _ x 轴,当 X=-C 时,一+=1=2=b 2(l-)=_ =y|1=_ (负值不合题意，已舍去)，点 p(-，=)2由斜率公式得k,4 B 二 一 一,k op=-.2*AB/0 P,LB=k op=-=b=c.V a2=b2+c2=2 c e y.故选 C.2 27.(2 0 1 3 辽宁文，1 1,5分)已知椭圆C:+=l(a b 0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于 A、B 两点,连接 AF,BF.若|AB I=1 0,|BF
10、|=8,c osN ABF=,则 C 的离心率为().3 5 小4 p.6“B”C.-D.-答 案 B如图，设|AF =x,贝 ij c os N ABF 今 生解得x=6,.N AF B=9 0 ,由椭圆及直线关于原点对称可知AF j=8,且ZF AF i=ZF AB+ZF BA=9 0 ,F AR 是直角三角形，二|F F|=1 0,故2 a=8+6=1 4,2 c=1 0,故选 B.评析 本题考查余弦定理,椭圆的几何性质,考查了数形结合思想及运算求解能力.2 2q8.（2 0 12 课标理,4,5 分）设F 2 是椭圆E：F+F=1（a b0）的左,右焦点,P 为直线x=5上一点,R P
11、R 是底角为3 0 的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A*叱 D.i答 案 C 设直线x=1a 与 x 轴交于点Q,由题意得ZPF2Q=60 ,|F F|=|F F/=2 c,HQ=1a-c,.a-c=1x 2 c,.e j；,故选 C.评析 本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.2 29.（2 0 11课标全国文,4,5 分）椭圆二+1 的离心率为（）10 OA B.J C.-D.43 2 3 22 2答案 D i t+=1 a=16,b2=8,c2=a2-b=16-8=8,16 8，c=2 近,故选 D.2 210.(2 0 16课标i n,11,5 分
12、)已知0为坐标原点,F是椭圆C:+=l(a b0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P 为 C上一点,且PF x 轴.过点A的直线1 与线段PF 交于点M,与 y 轴交于点E.若直线B M经过O E的中点，则 C的 离 心 率 为()A.1C.l D.13 2 3 4答 案 A 本题考查椭圆的几何性质，考查了学生的运算求解能力和对数形结合思想方法的运用.解法一:设点M(-c,yo),0 E的中点为N,则直线A M 的斜率k=二从而直线A M的方程为y=_-L(x+a),令 x=0,得点E 的纵坐标yf i=-同理,0 E 的中点N的纵坐标y、=+因为 2 yN=yE,所为 2 _-_ 1,
13、即 2 a-2 c=a+c,所以 e=故选 A.4-3解法二:如图，设 0 E 的中点为 N,由题意知|A F|=a-c,|B F|=a+c,|0 F|=c 0 A|=|0 B|=a,又，:p 即 一=/，.a=3 c,故 eT-211.(2 0 18 浙江，17,4分)己知点P(0,1),椭圆7+yz=m(m l)上两点A,B满 足 一=2 一 则 当4m=时，点 B 横坐标的绝对值最大.答 案 5解析 本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算,二次函数的最值.设 B (t,u),由-=2；易得 A (-2 t,3-2 u).仔 +2=m,.点A,B 都在椭圆上，：2(+(3-2 u)=m,
14、从而有二+3 u?T 2 u+9=0,即-+u?=4 u-3.4 4即有 4 u-3=m=u=一 一+(=m,(m-5)2+4.4 16 4 2 4 4当 m=5时，(钓皿=4,即111 叩=2,即当m=5时，点 B 横坐标的绝对值最大.思路 分 析(1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标.(2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式.(3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数.(4)利用二次函数的最值得结论.2 212.(2 0 15浙江文，15,4分)椭圆,+=1(a b0)的右焦点F(c,0)关于直线y=-x 的
15、对称点Q在 椭 圆 上,则 椭 圆 的 离 心 率 是.答 案 y解 析 令 Q的坐标为(x o,y),F Q 的中点为M(U 上,于)，由点M 在直线y=-x 上得bx 0-cy+bc=O.又因为直线EQ 垂直于直线y-x,所以即cx o+byo-cO,联立0-C得点Q(二一),把点Q的 坐 标 代 入 并 化 简 得 a=4 c6+a4c2,两边同除以a 得4 e6+e2-l=0,令 t=e；贝!贝！14 t3 _t+2 tT=0,贝(t(2 t+D+(2 tT)=0,解得 1日,因为0 e b0)的左,右焦点为F,F2)过 F z 作 x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点,F B 与y轴
16、相交于点D,若A D F,B,则椭圆C 的 离 心 率 等 于.答 案 y解析 不妨设A 在 x 轴上方，由于A B 过 F?且垂直于x 轴，因此可得A(,B(由O D 0 0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是 F、F 若|A F j,|F F z|,|F B|成等比数歹U,则此椭圆的离心率为_ _ _ _ _ _ _.答 案咚5解析 解 A F i|=a-c,|B F】|=a+c,|FIF2|=2C,则有 4 c2=(a-c)(a+c),得 e=*3评析本题考查了桶圆的离心率的概念,椭圆和等比数列的基本性质.考点三直线与椭圆的位置关系2 21.(2 013 课 标 I 理，10,5
17、 分)已知椭圆E:+l(a b 0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交 E于 A,B两点.若A B 的中点坐标为(1,-1),则 E的 方 程 为()2 2儿 布+犷 12 2c 坛F 12 2答 案 D 直线A B 的斜率k 嗤弓,设 A(x i,yi),B(X 2,y2),(2 2 1-I-1=1,;:-2 +-2 =I-得l-2即 k=2 X*9.2 2万又 a2-b2=c2=9,1+21+2由得a2=18,b2=9.2 2所以椭圆E的方程为R+丁=1,故选D.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用根与系数的关系解决中点问题.1 2 22.(2 01
18、4 江西理，15,5 分)过点M(l,l)作斜率为弓的直线与椭圆C：F+F=l(a b 0)相交于A,B两点,若M是线段A B 的中点，则椭圆C的 离 心 率 等 于.答 案 v2 2解析 设 A(x i,yi),B (x2,y-2),则 j+T=l，2 2T+=i .、两式相减并整理得=-一 上A把已知条件代入上式得,-|=5x1.尹 故椭圆的离心率e=J -评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题也可以利用韦达定理求解.2 23.(2 02 0江苏，18,16分)在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆E:+=1 的左,右焦点分别为4
19、3F i,F 2,点 A在椭圆E上且在第一象限内,A F 2，F F 2,直线A R 与椭圆E 相交于另一点B.(1)求 A F E 的周长；(2)在 x 轴上任取一点P,直线A P 与椭圆E的右准线相交于点Q,求 一 一*的最小值；(3)设点M在椭圆E上，记O A B 与A M A B 的面积分别为Sb S2,若 S2=3 Sb求点M的坐标.解析 本题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.2 2(1)设椭圆E：T+T=1的长轴长为2 a,短轴长为2 b,焦距为2 c,则 a=4,b、3,c2=l.
20、所以 A F E 的周长为2 a+2 c=6.(2)椭圆E的右准线为x=4.设 P(x,0),Q(4,y),则=(x,0),=(x-4,-y),*-x (x-4)=(x-2):-4-4,在 x=2 时取等号.所 以-,一(的最小值为-4.r2 2(3)因为椭圆E:7+丁=1 的左,右焦点分别为Fl;点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF2F,F2J则 F,(-l,0),F2(l,0),A(l,分,所以直线 A B:3x-4y+3=0.设 M(x,y),因为$2=38,所以点M 到直线A B 的距离等于点0到直线A B的距离的3 倍.由 此 得 T +：=3X 仪。5 5则 3x-4y+1 2=
21、0 或 3x-4y-6=0.(3-4+1 2 =0,由2,2 得 7x，2 4x+32=0,此方程无解；1 丁+丁=1，(3-4-6=0,由 2 2 得 7x T 2 x-4=0,所以 x=2 或I 丁+丁=1，7代入直线1:3x-4y-6=0,对应分别得y=0 或 y=-y.因此点M 的坐标为(2,0)或,2 24.(2 0 1 9天津理，1 8,1 3分)设椭圆F+r l(a b 0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为当.(D 求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线P B与 X 轴的交点,点N在 y 轴的负半轴上.若I O N|=|
22、0 F (0 为原点)，且 0 P 1 MN,求直线P B的斜率.解析本小题主耍考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分1 3分.(D 设椭圆的半焦距为c,依题意,2 b=4,-=珞,又a2=b2+c2,可得a=V5,b=2,c=l.2 2所以,椭圆的方程为=+丁=1.5 4(2)由题意,设P(XP,yP)(XPO),M (x*0).设直线PB的斜率为k(kKO),又 B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立-=+2,2 2+=1,、5 4整理得(4+5k?)x+ZOkxO,可得
23、 xp=-4+5”代入y=kx+2得进而直线P 的 斜 率 一 安.在 y=kx+2中，令 y=。,得X LK 由题意得N(0,-1),所以直线MN的 斜 率 为 下 由 OPLMN,得 手 (-万卜-1,化简得k2=y,从而k=理所以，直线PB的斜率为呼或一尊思 路 分 析(1)根据条件求出基本量a,b 得到椭圆方程.(2)要利用条件OPMN,必须求P 点和M、N点坐标.由直线PB的方程与椭圆方程联立得到P点坐标,求出M及 N点坐标,利用kor kN=-l求出kpB.2 25.(2019天津文,19,14分)设椭圆工+1 (ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.己知 匾|0A|=2
24、0B|(0为原点).(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为)的直线1 与椭圆在x 轴上方的交点为P,圆 C 同时与x 轴和直线1相切，圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有%a=2b.又由 a2=b2+c2,消去 b 得 a2=(y a)2+c2,解得一=；.所以，椭圆的离心率为g.L 2 2 由 知,a=2c,b=V5c,故椭圆方程为 7+产1由题意,F(-c,0
25、),则直线1 的方程为y(x+c).(2 2，二 一 消去 y 并化简，得至U 7X2+6CX-13C2=0,解得 x尸 c,x2=-.=Z(x+c),代入至U 1 的方程,解得了 3 y2=-c.因为点P 在 x 轴上方，所以P(,|c).由圆心C在直线x=4上，可设C(4,t).3因为O C A P,且 由 知 A(-2 c,0)，故 丁 三 ，解 得 t=2.则 C(4,2).因为圆C与 x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与 1 相切，得 耳 上 犁 2,可得c=2.同2 2所以,椭圆的方程为左+b l.思 路 分 析(1)由已知条件,得a 与 b 的比例关系，代入a2=b2+c2
26、,得 a 与 c 的齐次关系,进而求得离心率.(2)设出直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点P 的坐标(含参数c),由k A k o c,求得C 点坐标以及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c的方程,求得c的值,最终确定椭圆方程.2 26.(2 0 1 9江苏，1 7,1 4分)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C：F+,=1(a b 0)的焦点为F i(-1,0),F2(l,0).过 F z 作 x 轴的垂线1,在 x 轴的上方,1 与圆F z：&-1)2+/=41 交于点A,与椭圆C 交于点D.连接A F,并延长交圆F z 于点B,连接B F,
27、交椭圆C 于点E,连接D F,.已知D F,.(D 求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标.解析 本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分1 4分.(1)设椭圆C的焦距为2 c.因为 F,(-l,0),F2(l,0),所以 F F*2,c=l.又因为 D E，4 A F2X 轴,所以 D F2=J_j A j(，_ 2 2=|.因此 2 a=D F i+D F2=4,从而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b-3.2 2因此,椭圆C的标准方程为丁+丁 1.2 2(2)解法一：由知,椭圆C：
28、T+T=1,a=2.因为AF2X轴,所以点A的横坐标为1.将 x=l代入圆&的方程a-1)2+/=1 6,解得y=4.因为点A在 x 轴上方,所以A(l,4).又 F (T,0),所以直线 A&:y=2 x+2.由(=2 +2,-1)2+2得 5X2+6X-11=0,=1 6,解得x=l或 X=-?.D将 X=-代入 y=2 x+2,得 y=-g.D3因此B(-又 F2(l,0),所以直线 B F2:y=j(x-l).=：(x T),2 2,T+T=1由得 7 x-6 x-1 3=0,解得 x=-l 或 x=y.又因为E是线段B F z 与椭圆的交点,所以x=-l.将 x=-l 代入 y t(
29、x T),得 y=-1.因此2 2解法二：由 知,椭 圆 亡 了+丁 1.如图，连接E F,.因为 B F2=2 a,E F.+E F2=2 a,所以 E F 尸 E B,从而 N B R E=N B.因为 F 2 A=F i B,所以/A=/B.所以N A=N B H E,从而 E R F 2 A.因为A F z _ L x 轴，所以E F-x 轴.因为R(T,0),由1 2 2 解得y=*I 7 +丁=1，2又因为E是线段B F z 与椭圆的交点,所以y-因此2 27.(2 01 8 课标H I 理,2 0,1 2 分)已知斜率为k的直线1 与椭圆C:+=1 交于A,B 两点,线段4 3A
30、 B 的中点为(m 0).证明:k ；设 F为 C的右焦点,P为 C上一点，且+一-W).证明：t I 1 I 成等差数列,并求该数列的公差.解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.证 明：设 A(x i,y i),B(X2,y2),2 2 2 2则疗1，铲产两式相减,并由上&k得 k=0.1-2 4 3由 题 设 知 与 上于是k=-.4由题设得0 m|,故 k -1.(2)由题意得 F(l,0).设 P(x3,y3),贝(J(X 3T,y3)+(x i-l,y i)+(x2-l,y 2)=(0,0).由(1)及题设得 X3=3-(X I+X2)=1,y3=
31、-(y i+y 2)=-2 mJ(广1)2 +3(卜一1 2-寸.同 理 一 1 二 2-.所以 1 +1 1=4-;(X I+X2)=3.故 2|11 +1,1,B P 1 1 1 I N 成等差数列.设该数列的公差为d,则2 1 d l二|*|一|*|i+2)2-4 i；.将田芸代入得k=-l.所 以 1 的方程为y=-x+1 代入C的方程,并整理得7X2-14X+1=0.4 4故 XI+X2=2,X i X z 4,代入解得i d|=粤.Z O 40所以该数列的公差为寻或-察.2(5 40思 路 分 析(1)利 用“点差法”建立k与 m 的关系式，由m 的范围得到k的范围.根 据 题 设
32、 一*+一+一=0及点P 在 C上,确定m 的值.进一步得出I|、|1、I-N 的关系，再求公差.解 后 反 思(1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程(组)，解决相关问题.(2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦端点A、B的坐标,分别代入圆锥曲线方程并作差,变形后可出现弦A B 的中点坐标和直线A B 的斜率.2 2f c8.(2 0 1 8 北京文,2 0,1 4分)已知椭圆M:+=l(a b 0)的离心率为争焦距为2 方.斜率为k的直线1 与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程；若
33、k=l,求 A B 1 的最大值；(3)设 P(-2,0),直线P A 与椭圆M的另一个交点为C,直线P B 与椭圆M的另一个交点为D.若C,D 和点Q(-：，0共线，求 k.2 _ 2 _|_ 2-邛2 =2A/2,解得 a=V 3,b=l.2所以椭圆M的方程为丁+y 2=l.(2)设直线 1 的方程为 y=x+m,A(xb y D,B(x2,y z).由+一+2、o1得 4x+6 mx+3 m2-3=0.rr-K i 3 3 2-3所以 Xi+X2-_T_,X1X?-.2 4A B -J(2I)2+(2i)=2(21)=M(l+2)12I+2)2+3 4 i+7所 以 常旦 x-山1.1+
34、7 4 i+7 所以 yc-(a+2).设 D(x i),yD).同理得 y)-.4 2+/4 2+/记直线C Q,DQ 的斜率分别为k c。,贝!J k cQ-k i xC；2 ；+；：一 ：2、+:7=4(y i-y2-xi+x2).-1+一 -*+-4+7 4 4 2+7 4因为C,D,Q 三点共线，所以 kCQ-k i)Q=O.故 y-y 2=xi-x2.所以直线1 的斜率k=上 上 1.22 29.(2 0 1 8 天津文，1 9,1 4分)设椭圆F+-或l(a b 0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为|A B|=V H.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l:y=k x(k
35、 X 0,点 Q的坐标为(-xb-y i).由ZB P M 的面积是B P Q 面积的 2 倍,可得|P M|=2 1 P Q|,从而 X2-XI=2XI-(Xi),即 X2=5XI.易知直线A B 的方程为2 x+3 y=6,由方程组，3=6,消去丫,可得 心.由 方 程 组2 2丁+丁=1，消去y,可得=,V9 2+4由 X2-5XI,可得e2 +4=5 (3 k+2),两边平方,整理得 1 8 k+2 5 k+8=0,解得 k=-，或 k=当 k=f 时,X2=-9 b 0).(=2,由题意得 _ =q解得c=V 3.所以 b2=a2-c2=1.2所以椭圆C的方程为丁+y 2=L(2)设
36、 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知m W 2,且 n W0.直线A M 的斜率k.产一花，故直线DE 的斜率k E=-.所以直线DE 的方程为y-(x-m).直线B N 的方程为y=(x-2).2-皿=(x-m),联.丁(x-2),解得点E的纵坐标yE=-4.4-+”由点M 在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以 y s=-n.又 SABW：IB D|,I y i；!=|)B D|,I n|,SABWF B D j,n ,所以4 B D E 与4 B D N 的面积之比为4 :5.易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=k x+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=
37、t y+n,则要考虑斜率为0的情况.2 21 1.(2 0 1 7 天津文,2 0,1 4 分)已 知 椭 圆(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点 E2的坐标为(0,c),A E F A 的面积为下.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段A E ,|F Q|=1 c,延长线段F Q 与椭圆交于点P,点 M,N在 x 轴上,PM Q N,且直线PM 与直线Q N 间的距离为c,四边形PQ N M 的面积为3 c.(i)求直线F P的斜率;(i i)求椭圆的方程.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解
38、能力，以及综合分析问题和解决问题的能力.(1)设椭圆的离心率为e.由己知,可得;(c+a)c=又由 b2=a2-c 可得 2 c2+ac-a2=0,即 2 e2+e-l=0.又因为0 e 0),则直线F P 的斜率为由(1)知 a=2 c,可得直线A E 的方程为1+-=1,即 x+2 y-2 c=0,与直线F P的方程联立,可解得丫 魄，即点Q的 坐 标 为(生 备 匕)由 已 知 国 I *,有 出备+c f+(三)=(1)：整理得3 m2-4 m=0,所以m=1,即直线F P 的斜率为年2 2(i i)由a=2 c,可得b=V 3 c,故椭圆方程可以表示为-1.(3 -4 4-3 =02
39、,2 消去y,整理得 7X2+6CX-13C2=0,解得X=*-(舍去)，或 x=c.因此可得点P(,为,进而可得|F P|=J(+)，(/彳，所以|PQ|=|F P|-|F Q|由已知,线段PQ 的长即为PM 与 Q N 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和 Q N 都垂直于直线F P.因为 Q N J_ F P,所以|Q N|=|F Q|t a n/Q F N x 3、,所以F Q N 的面积为:|F Q|Q N|=A；,同理F PM 的面积等于箸,由 四边形PQ N M 的面积为3 c,得 某-9=3孰整理得c 2=2 c,又由c 0,得 c=2.2 2所以,椭圆的方程为左+/1.10
40、 1Z方 法 点 拨 1.求离心率常用的方法：(1)直接求a,c,利用定义求解；(2)构造a,c 的齐次式,利用方程思想求出离心率e的值.2 .求直线斜率的常用方法：(1)公式法:k=上 二(x i W x J,其中两点坐标分别为1 2(X.,y.),(X 2,y2);利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=(m W O);(4)点差法.3 .解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.2 21 2.(2 0 1 6 四川理,2 0,1 3 分)已知椭圆E：,+p=l (ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+
41、3 与椭圆E 有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设 0是坐标原点,直线V平行于0 T,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线1 交于点P.证明:存在常数L 使得|PT =A|P A|P B ,并 求 X 的值.解 析(1)由已知,a=V b,2 2则椭圆E 的方程为+-=1.(2 2+=1 3 x2-12x+(18-2b2)=0.=-+3,方程的判别式为 =24 (b?-3),由 =0,得 b2=3,此时方程的解为x=2,2 2所以椭圆E 的方程为+,1.0 0,解得由得 X i+X 2=/p X1X2，所以|P A|=4 2.-!）2+（1+1）2=畀 2-彳-）
42、|,同 理 P B|焉2-2|.所以|P A|P B|用（2-3-JR-1-2）|力|（2-/）岂（2-）（1+2）+12用（吟）笃（2）+中I 学故存在常数入=|,使得I P T 2=X|P A|P B .评析 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题,这类题中常用的方法是方程法,并结合根与系数的关系,两点间距离公式,难点是运算量比较大,注意运算技巧.13.（20 15 福建理，18,13 分）已知椭圆E:-5+F l（a b 0）过点（0,五），且离心率e q.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1 :x=m y-l （m G R）交椭圆E 于 A,B 两点,判断点G（，0）与以线段AB 为直径
43、的圆的位置关系，并说明理由.2 2所以椭圆E 的方程为7+下二1.（2）设点 A（xb y i）,B（X2,y2）,AB 的中点为 H（x o,y0）.由12 2 得（小2+2）y 2-2m y-3=0,所以 y i+y 2=A-；,y i y2=-从而 y0=-j.99所以 I G H I Y o +）+o=（o +：）+川以+D：+|m y o+青_ _ _ _ _ _ 2 _（2）/（匚 2）2 _（l+2）（匚 “2444-+*八4-l=(i+m 2)(2_y)y 2)1故 I G H F+(而+黜f。,所以|G H 故点G(-1,0)在以AB 为直径的圆外.解法二：(1)同解法一.设
44、点 A(x i,y i),B(X2,y z),则-(1 +1,J,由 2 2 得(m 4 2)y 2-2m y-3=0,IT+T=1所以 y i+y 2=2&+2,y i y 2=_ 2+?,从向 ,=(1+；)(2+3+八 丫 2=(i+)(2+5 ,2,.X/,x 25 -3(2+l),5 2,25 17 2+2 X A力+y m=(m+l)y iy2+im (y M +俗-+?+F KE有 。，所以co s ().又一；一(不共线,所以/A G B 为锐角.故点G,0)在以AB 为直径的圆外.评析本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查
45、数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.2 214.(20 15 安徽理,20,13 分)设椭圆E 的方程为p+p=l (a b 0),点 0为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0),点 B的坐标为(0,b),点 M在线段AB 上，满足石川=21M A|,直线0 M 的斜率为得.(D 求 E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为(0,-b),N 为线段AC的中点，点 N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为;求E的方程.解析 由题设条件知，点 M的坐标为(京,河，又 脸 吊 从 而 二 哈进而得 a=V5 b,c-J一二2=2b.故 e=.5(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方
46、程为高+=1,点 N 的坐标为(苧b,-；b).设点N 关于直线AB 的对称点S 的 坐 标 为(J则线段N S 的中点T的坐标为(b +净+一 婀=1,b +;).又点T在直线AB 上,且k s k.w-1,从而有?i,2 4 三=强I i-Tb解得b=3.r-2 2所以a=3 V5,故椭圆E的方程为45 9评析本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题，利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.1 5.(20 1 4 课 标 I理,20,1 2分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1 (a b 0)的离心率为当F 是椭圆 E
47、的右焦点，直线AF 的斜率为竽,0为坐标原点.(1)求 E的方程；(2)设过点A 的动直线1 与 E 相交于P,Q两点.当0 PQ 的面积最大时,求1 的方程.解 析(1)设 F(c,0),由条件知,2=手，得 c=M.又一哼,所以 a=2,b2=a2-c2=l.2故 E的方程为丁+y Jl.4当 l _ L x 轴时不合题意，故设 1:y=k x-2,P(x i,y i),Q(x2,y 2).2将 y=k x-2 代入一+y?=l 得(1+4 1?人2-1 6 1 +1 2=0.4当 A=1 6(4 k2-3)0,即 k2 ,x-从而 I PQ 1=7 _2+1|x-X2|一 2：4 4 +
48、l又点0到直线PQ 的距离d=7 1,V 2+所以OPQ 的面积设 y五二t,则 t o,SA(W-Z|2=T-因为t+-4,当且仅当t=2,即 k=?时等号成立,且满足 0,所以，当A O R Q 的面积最大时，1 的方程为y=y x-2或 y=-?x-2.评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题，考查方程思想、函数思想、整体代换以及换元法的应用.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.2 21 6.(20 1 4 课标II理,20,1 2分)设F F,分别是椭圆C:+=1 (a b 0)的左,右焦点,M 是 C
49、上一点且W 眄 与 x 轴垂直.直线MF,与 C的另一个交点为N.(1)若直线M N 的斜率为a求 C的离心率；(2)若直线MN在 y 轴上的截距为2,且|MN|=5 1 HN|,求 a,b.解 析(D 根据c=V 2_ 2及题设知2b2=3 a c.将 七 七 代 入 2b J3 a c,解得一日或-2(舍去).故 c的离心率为;.(2)由题意,得原点0为 F E的中点,MF,y 轴,所以直线MF,与 y 轴的交点D(0,2)是线段MFi2的中点,故一=4,即 b2=4 a.由|MN|=5|R N|得|D F=2|Fi N|.设 N(x“y,),由题意知y 0,则欧一 即1 尸*HI=2,1 =-1.代入C的方程,得咨+L将及代入得*辿+；1.解得 a=7,b J4 a=28,故 a=7,b=2次.评析 本题考查了椭圆的几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.